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大阪大学　2020年度　前期日程　理系

第4問積分・極限の解答・解説

領域の面積・双曲線と直線の交点・対数を含む極限・有理化当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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$t$ を正の実数とする。 $x y$ 平面において連立不等式 $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ 、 $x y \leq 1$ 、 $x + y \leq t$ の表す領域の面積を $S (t)$ とおく。 $t \to \infty lim (S (t) - 2 lo g t)$ を求める

答 $1$

$t > 2$ では三角形から「 $x y > 1$ のはみ出し」を引く。 $β = \frac{t + t ^{2} - 4}{2}$ を使って $S (t) = \frac{t ^{2}}{2} - \frac{t}{2} t^{2} - 4 + 2 lo g β$ 。

$t \to \infty$ を考えるので $t > 2$ としてよい。双曲線 $x y = 1$ と直線 $x + y = t$ の交点の $x$ 座標は

x (t - x) = 1, x^{2} - t x + 1 = 0

の解である。判別式は $t^{2} - 4 > 0$ なので2つあり

α = \frac{t - t ^{2} - 4}{2}, β = \frac{t + t ^{2} - 4}{2}

とおく。解と係数の関係から $α β = 1$ 、 $α + β = t$ である。

領域は、三角形 $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ 、 $x + y \leq t$ （面積 $\frac{t ^{2}}{2}$ ）から、 $x y > 1$ の部分を除いたものである。除く部分は $α \leq x \leq β$ で双曲線 $y = \frac{1}{x}$ と直線 $y = t - x$ にはさまれた部分なので、その面積 $A$ は

A = \int_{α}^{β} {(t - x) - \frac{1}{x}} d x = [t x - \frac{x ^{2}}{2} - lo g x]_{α}^{β} = t (β - α) - \frac{β ^{2} - α ^{2}}{2} - lo g \frac{β}{α} = (β - α) (t - \frac{α + β}{2}) - lo g \frac{β}{α} = \frac{t}{2} (β - α) - lo g \frac{β}{α}

である。 $β - α = t^{2} - 4$ 、 $α = \frac{1}{β}$ より $\frac{β}{α} = β^{2}$ なので

S (t) = \frac{t ^{2}}{2} - \frac{t}{2} t^{2} - 4 + 2 lo g β

である。したがって

S (t) - 2 lo g t = P (t) \frac{t}{2} (t - t^{2} - 4) + Q (t) 2 lo g \frac{β}{t}

と分けられる。

$P (t)$ 。分子を有理化すると

P (t) = \frac{t}{2} \cdot \frac{t ^{2} - ( t ^{2} - 4 )}{t + t ^{2} - 4} = \frac{2 t}{t + t ^{2} - 4} = \frac{2}{1 + 1 - \frac{4}{t ^{2}}}

なので $t \to \infty$ で $P (t) \to \frac{2}{1 + 1} = 1$ である。

$Q (t)$ 。

\frac{β}{t} = \frac{1 + 1 - \frac{4}{t ^{2}}}{2} ⟶ 1

なので $Q (t) \to 2 lo g 1 = 0$ である。

よって

t \to \infty lim (S (t) - 2 lo g t) = 1 + 0 = 1

である。

t = 3 のとき。網をかけた部分が領域で、上側の境界は x が小さいところと大きいところでは直線 x + y = 3、真ん中では双曲線 xy = 1（点線はその延長）。2 つの交点の x 座標が α ≒ 0.382 と β ≒ 2.618。

$2 lo g t$ が出てくる理由は、領域が $x$ 軸・ $y$ 軸に沿って2本の細長い「ひげ」を伸ばすからである。 $x$ 軸側のひげの面積は $\int^{t} \frac{d x}{x} \sim lo g t$ 、 $y$ 軸側も同じで、合わせて $2 lo g t$ になる。残る $1$ はひげの付け根（原点近く）の寄与である。

$S (t) - 2 lo g t$ は $t = 1 0^{4}$ で $0.99999999$ 、 $t = 1 0^{6}$ 以降は $1.0000000$ だった。

$t \leq 2$ では双曲線と直線が交わらず、領域はそのまま三角形で $S (t) = \frac{t ^{2}}{2}$ になる。極限には関係しないが、場合分けの存在は意識しておく。

$\frac{t ^{2}}{2} - \frac{t}{2} t^{2} - 4$ をそのまま $t \to \infty$ とすると $\infty - \infty$ になる。有理化が要点。

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t を正の実数とする。xy 平面において連立不等式 x≥0、y≥0、xy≤1、x+y≤t の表す領域の面積を S(t) とおく。t→∞lim​(S(t)−2logt) を求める

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