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東北大学　2021年度　前期日程　理系

第6問積分法の解答・解説

部分積分・テイラーの定理の剰余項・不等式の評価・e の近似当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して $e^{a} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ を示す

答 $R_{n} = \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ とおくと部分積分で $R_{n - 1} = \frac{a ^{n}}{n !} + R_{n}$

$R_{n}$ を部分積分すると $R_{n - 1}$ との関係が出る。 $R_{0} = e^{a} - 1$ から順に足し上げれば示せる。

$R_{n} = \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ （ $n ≧ 0$ ）とおく。 $n = 0$ では

R_{0} = \int_{0}^{a} e^{x} d x = e^{a} - 1

である。 $n ≧ 1$ で部分積分（ $e^{x}$ を積分、 $\frac{( a - x ) ^{n}}{n !}$ を微分）すると

R_{n} = [\frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x}]_{0}^{a} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n - 1}}{( n - 1 ) !} e^{x} d x

である（ $\frac{d}{d x} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} = - \frac{( a - x ) ^{n - 1}}{( n - 1 ) !}$ なので符号が反転して $+$ になる）。第1項は $x = a$ で $0$ 、 $x = 0$ で $\frac{a ^{n}}{n !}$ だから

R_{n} = - \frac{a ^{n}}{n !} + R_{n - 1}, すなわち R_{n - 1} = \frac{a ^{n}}{n !} + R_{n}

である。これを $n$ 回繰り返すと

R_{0} = \frac{a}{1 !} + R_{1} = \frac{a}{1 !} + \frac{a ^{2}}{2 !} + R_{2} = \dots = k = 1 \sum n \frac{a ^{k}}{k !} + R_{n}

である。 $R_{0} = e^{a} - 1$ とあわせて

e^{a} = 1 + k = 1 \sum n \frac{a ^{k}}{k !} + R_{n} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x

である。 $■$

$a = 1, n = 5$ で数値計算すると、右辺は $2.718281828459$ で $e$ と一致した。

$(a - x)^{n}$ を微分すると内側の $- 1$ が出る。部分積分の符号に注意する。

$[]_{0}^{a}$ の上端が $0$ になるのがポイント。下端だけが残る。

(2)正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して $\frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !} ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}$ を示す

答 $0 ≦ x ≦ a$ で $1 ≦ e^{x} ≦ e^{a}$ を使い、 $\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x = \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}$ を掛ける

被積分関数のうち $e^{x}$ の部分だけを定数で上下から押さえる。残りの積分は直接計算できる。

$0 ≦ x ≦ a$ では $e^{x}$ は増加だから

1 = e^{0} ≦ e^{x} ≦ e^{a}

である。また $\frac{( a - x ) ^{n}}{n !} ≧ 0$ なので、これを掛けて $0$ から $a$ まで積分すると

\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ e^{a} \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x

である。真ん中以外の積分は直接計算できて

\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x = [- \frac{( a - x ) ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}]_{0}^{a} = \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}

である。よって

\frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !} ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}

である。 $■$

$a = 1, n = 5$ では $R_{5} = 0.001615162$ で、下界 $\frac{1}{6 !} = 0.001388889$ 、上界 $\frac{e}{6 !} = 0.003775391$ のあいだに入った。

不等式を掛けるときは、掛ける側 $\frac{( a - x ) ^{n}}{n !}$ が $0$ 以上であることを確認する。

(3) $e - (1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) < 1 0^{- 3}$ を満たす最小の正の整数 $n$ を求める

答 $n = 6$

(1) を $a = 1$ で使うと、絶対値の中身はちょうど $R_{n}$ になる。(2) の上下の評価で、 $n ≦ 5$ では不可、 $n = 6$ では可を示す。

(1) で $a = 1$ とすると

e - (1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) = R_{n}, R_{n} = \int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x > 0

である。よって絶対値は $R_{n}$ そのもので、(2) の $a = 1$ の場合から

\frac{1}{( n + 1 ) !} ≦ R_{n} ≦ \frac{e}{( n + 1 ) !}

である。

$n ≦ 5$ では不可。 $(n + 1)! ≦ 6! = 720 < 1000$ なので $R_{n} ≧ \frac{1}{( n + 1 ) !} > \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}$ となり、条件を満たさない。

$n = 6$ は可。 $(n + 1)! = 7! = 5040$ で、 $e < 3$ を使うと

R_{6} ≦ \frac{e}{5040} < \frac{3}{5040} = \frac{1}{1680} < \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}

である。したがって求める最小の $n$ は

n = 6

である。

実際 $1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{6 !} = 2.7180556$ で、 $e = 2.7182818$ との差は $2.26 \times 1 0^{- 4}$ 。 $n = 5$ では差が $1.62 \times 1 0^{- 3}$ で $1 0^{- 3}$ を超える。

数値では $n = 5$ で $1.615 \times 1 0^{- 3}$ 、 $n = 6$ で $2.263 \times 1 0^{- 4}$ となり、 $1 0^{- 3}$ を下回る最小の $n$ は $6$ だった。

$R_{n} > 0$ なので絶対値は外れる。符号の確認を飛ばさない。

「最小の $n$ 」なので、 $n = 6$ で成り立つことと $n ≦ 5$ で成り立たないことの両方を示す。下からの評価 $\frac{1}{( n + 1 )!}$ が後者に効く。

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問題文について

(1)正の実数 a と正の整数 n に対して ea=1+a+2!a2​+⋯+n!an​+∫0a​n!(a−x)n​exdx を示す

(2)正の実数 a と正の整数 n に対して (n+1)!an+1​≦∫0a​n!(a−x)n​exdx≦(n+1)!eaan+1​ を示す

(3)​e−(1+1+2!1​+⋯+n!1​)​<10−3 を満たす最小の正の整数 n を求める

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