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全6問・無料

東北大学　2021年度　前期日程　理系

東北大理系 2021年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　2次関数

解の配置・判別式・領域の図示・場合分け当サイトの体感難易度：標準

$a, b$ を実数とするとき、曲線 $y = a x^{2} + b x + 1$ が $x$ 軸の正の部分と共有点をもたないような点 $(a, b)$ の領域を図示する

答 $a ≧ 0$ かつ $b ≧ 0$ 、または $b < 0$ かつ $a > \frac{b ^{2}}{4}$

$f (x) = a x^{2} + b x + 1$ とおくと $f (0) = 1 > 0$ が効く。 $a$ の符号で場合分けし、 $a > 0$ のときは「判別式」と「軸の位置」で正の解の有無を判定する。

$f (x) = a x^{2} + b x + 1$ とおく。 $f (0) = 1 > 0$ である。求めるのは「 $f (x) = 0$ が正の解をもたない」条件である。

$a < 0$ のとき。 $x \to + \infty$ で $f (x) \to - \infty$ であり $f (0) = 1 > 0$ だから、中間値の定理より正の解が必ずある。よって不適。

$a = 0$ のとき。 $f (x) = b x + 1$ である。 $b = 0$ なら $f \equiv 1$ で解なし。 $b \neq = 0$ なら解は $x = - \frac{1}{b}$ で、これが正になるのは $b < 0$ のときである。よって正の解をもたないのは $b ≧ 0$ のときである。

$a > 0$ のとき。 下に凸の放物線で $f (0) = 1 > 0$ だから、正の解をもつのは「実数解をもち、かつ軸が正」のときに限る。すなわち

b^{2} - 4 a ≧ 0 かつ - \frac{b}{2 a} > 0 (⟺ b < 0)

である。その否定をとると、正の解をもたない条件は

b ≧ 0 または b^{2} < 4 a

である。

まとめ。 3つの場合を合わせると、求める領域は

{a ≧ 0 かつ b ≧ 0} \cup {b < 0 かつ a > \frac{b ^{2}}{4}}

である（ $b < 0$ で $a > \frac{b ^{2}}{4}$ なら自動的に $a > 0$ ）。図示すると次のようになる。

横軸 a、縦軸 b。網かけが求める領域。b ≧ 0 の側は b 軸（a = 0）を含み、b < 0 の側は放物線 a = b²/4 を含まない。

$(a, b) = (1, - 3)$ では $b^{2} = 9 > 4 = 4 a$ で、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ の解 $\frac{3 \pm 5}{2}$ はどちらも正。 $(a, b) = (3, - 3)$ では $9 < 12$ で実数解なし。

$a = 0$ （1次になる場合）を別に扱う。2次方程式として処理すると漏れる。

$a > 0$ では $f (0) > 0$ なので「2解とも正」か「2解とも負」のどちらかになる。軸の符号だけで区別できる。

境界の扱い： $b ≧ 0$ 側は $a = 0$ を含み、 $b < 0$ 側は $b^{2} = 4 a$ （重解が正）を含まない。

第1問だけのページ

第2問　図形と方程式

面積比・内分点・2変数の値域・整数解当サイトの体感難易度：やや難

(1) $0 < a < 1$ 、 $0 < b < 1$ とし、三角形 $ABC$ で辺 $AB$ を $a : 1 - a$ に内分する点を $P$ 、辺 $BC$ を $b : 1 - b$ に内分する点を $Q$ 、辺 $CA$ の中点を $R$ 、 $S = △ ABC$ 、 $T = △ PQR$ とするとき、 $\frac{T}{S}$ を $a, b$ で表す

答 $\frac{T}{S} = \frac{1 - a - b + 2 ab}{2}$

$A$ を基準にして $u = AB$ 、 $v = AC$ で3点を表す。面積比は「 $u, v$ での係数の行列式」で決まるので、 $u, v$ の具体形は要らない。

$u = AB$ 、 $v = AC$ とおくと

AP = a u, AQ = u + b (v - u) = (1 - b) u + b v, AR = \frac{1}{2} v

である。よって

PQ = (1 - a - b) u + b v, PR = - a u + \frac{1}{2} v

である。 $u = (u_{1}, u_{2})$ 、 $v = (v_{1}, v_{2})$ の成分で書くと、三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} ∣$ などで表され、 $p = α u + β v$ 、 $q = γ u + δ v$ に対して

∣ p と q が張る平行四辺形 ∣ = ∣ α δ - β γ ∣ \cdot ∣ u と v が張る平行四辺形 ∣

が成り立つ。したがって

\frac{T}{S} = (1 - a - b) \cdot \frac{1}{2} - b \cdot (- a) = \frac{1 - a - b + 2 ab}{2}

である。最後に絶対値を外す。 $1 - a - b + 2 ab$ を $b$ について整理すると

1 - a - b + 2 ab = (1 - a) - b (1 - 2 a)

$a ≦ \frac{1}{2}$ ： $1 - 2 a ≧ 0$ なので $0 < b < 1$ より $> (1 - a) - (1 - 2 a) = a > 0$
$a > \frac{1}{2}$ ： $1 - 2 a < 0$ なので $> 1 - a > 0$

とつねに正である。よって

\frac{T}{S} = \frac{1 - a - b + 2 ab}{2}

である。

$a = b = \frac{1}{2}$ なら $P, Q, R$ はすべて中点で中点三角形になり、 $\frac{T}{S} = \frac{1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ 。よく知られた値と合う。

三角形と $a, b$ を2万組ランダムにとって確かめ、反例は $0$ 件だった。

「 $AB$ を $a : 1 - a$ に内分」は $AP = a AB$ 。比の向きを取り違えない。

面積比は $u, v$ の取り方によらない。具体的な三角形で計算しなくてよい。

(2) $a, b$ が $0 < a < \frac{1}{2}$ 、 $0 < b < \frac{1}{2}$ の範囲を動くとき、 $\frac{T}{S}$ のとりうる値の範囲を求める

答 $\frac{1}{4} < \frac{T}{S} < \frac{1}{2}$

$g (a, b) = 1 - a - b + 2 ab$ は $a$ を固定すると $b$ の1次式。1次式の値域は端点で決まるので、 $b$ を先に動かし、次に $a$ を動かす、と2段階で考える。

$g (a, b) = 1 - a - b + 2 ab$ とおくと $\frac{T}{S} = \frac{g}{2}$ である。 $a$ を固定すると

g = (1 - a) - (1 - 2 a) b

は $b$ の1次式で、 $0 < a < \frac{1}{2}$ より傾き $- (1 - 2 a) < 0$ 、つまり $b$ について減少する。 $0 < b < \frac{1}{2}$ だから

g (a, \frac{1}{2}) < g < g (a, 0)

すなわち

\frac{1}{2} < g < 1 - a

である（ $g (a, \frac{1}{2}) = 1 - a - \frac{1}{2} + a = \frac{1}{2}$ 、 $g (a, 0) = 1 - a$ ）。次に $a$ を $0 < a < \frac{1}{2}$ で動かすと $1 - a$ は $(\frac{1}{2}, 1)$ を動くので、 $g$ のとりうる値は

\frac{1}{2} < g < 1

の範囲に収まる。逆にこの範囲のどの値もとれる。実際 $a$ を $0$ に近づけ $b$ を $0$ に近づければ $g \to 1$ 、 $a, b$ を $\frac{1}{2}$ に近づければ $g \to \frac{1}{2}$ で、 $g$ は連続だから中間の値もすべてとる。したがって

\frac{1}{4} < \frac{T}{S} < \frac{1}{2}

である。

$a, b$ を細かく動かすと $\frac{T}{S}$ は $0.250002$ から $0.497253$ までを動いた。

端点 $a, b = 0, \frac{1}{2}$ は範囲に入らないので、不等号はすべて真の不等号になる。

「すべての中間値をとる」ことに触れておく。範囲を上下から押さえただけでは、値域が区間全体だとは言えない。

(3) $p, q$ を $3$ 以上の整数とし $a = \frac{1}{p}$ 、 $b = \frac{1}{q}$ とするとき、 $\frac{S}{T}$ が整数となる組 $(p, q)$ をすべて求める

答 $(p, q) = (4, 6), (6, 4)$

(2) と同じ評価で $\frac{S}{T}$ の動く範囲を押さえると、整数になりうる値がただ1つに絞れる。そのあとは $(p - 3) (q - 3) = 3$ という形の整数問題になる。

(1) より

\frac{S}{T} = \frac{2}{1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{2}{pq}} = \frac{2 pq}{pq - p - q + 2}

である。

値の範囲。 $p, q ≧ 3$ より $0 < a ≦ \frac{1}{3}$ 、 $0 < b ≦ \frac{1}{3}$ である。(2) と同じ計算で、 $g = 1 - a - b + 2 ab$ は $a$ を固定すると $b$ について減少するから

g (a, \frac{1}{3}) ≦ g < g (a, 0), \frac{2 - a}{3} ≦ g < 1 - a

である（ $g (a, \frac{1}{3}) = 1 - a - \frac{1}{3} + \frac{2 a}{3} = \frac{2}{3} - \frac{a}{3}$ ）。 $0 < a ≦ \frac{1}{3}$ で動かすと $\frac{2 - a}{3} ≧ \frac{2 - \frac{1}{3}}{3} = \frac{5}{9}$ 、 $1 - a < 1$ なので

\frac{5}{9} ≦ g < 1, \frac{5}{18} ≦ \frac{T}{S} < \frac{1}{2}

である。逆数をとると

2 < \frac{S}{T} ≦ \frac{18}{5} = 3.6

である。この範囲の整数は $3$ だけだから、条件は $\frac{S}{T} = 3$ である。

$\frac{S}{T} = 3$ を解く。

\frac{2 pq}{pq - p - q + 2} = 3, 2 pq = 3 pq - 3 p - 3 q + 6

すなわち $pq - 3 p - 3 q + 6 = 0$ である。両辺に $3$ を足して因数分解すると

pq - 3 p - 3 q + 9 = 3, (p - 3) (q - 3) = 3

である。 $p, q ≧ 3$ より $p - 3, q - 3$ は $0$ 以上の整数で、積が $3$ になるのは

(p - 3, q - 3) = (1, 3), (3, 1)

のときだけである。よって

(p, q) = (4, 6), (6, 4)

である。実際 $(p, q) = (4, 6)$ なら $\frac{T}{S} = \frac{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{12}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$ で $\frac{S}{T} = 3$ である。

$3 ≦ p, q ≦ 199$ を全探索すると $(4, 6)$ と $(6, 4)$ だけで、どちらも $\frac{S}{T} = 3$ だった。

まず値域を押さえて「整数は $3$ しかない」と決めるのが要。いきなり $\frac{2 pq}{pq - p - q + 2} = N$ を整数問題として解こうとすると大変になる。

$(p - 3) (q - 3) = 3$ で $p - 3 = 0$ （ $3$ の約数でない）は起こらない。 $0 \cdot$ （何か） $= 3$ は不可能である。

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第3問　場合の数

円に内接する図形・直径と直角・余事象・対称性による数え上げ当サイトの体感難易度：やや難

(1)正八角形 $A_{1} A_{2} \dots A_{8}$ の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形であるものの個数を求める

答 $24$ 個

正八角形の頂点は1つの円周上にある。円に内接する三角形が直角三角形になるのは、1辺が直径のとき（タレスの定理）に限る。直径を先に選べばよい。

正八角形の8個の頂点は外接円の周上にある。円に内接する三角形が直角三角形であることと、その1辺が直径であることは同値である（円周角の定理）。

8個の頂点のうち直径の両端になる組は、向かい合う頂点の組 $A_{1} A_{5}$ 、 $A_{2} A_{6}$ 、 $A_{3} A_{7}$ 、 $A_{4} A_{8}$ の $4$ 組である。

直径を1つ決めると、残り $6$ 個の頂点のどれを3つめに選んでも直角三角形になる。また、1つの直角三角形に含まれる直径はちょうど1本（直角は1か所）なので、重複して数えることはない。よって

4 \times 6 = 24 個

である。

$56$ 通りを全列挙して内積で直角を判定すると $24$ 個だった。

直角三角形の斜辺は必ず直径。先に直径を選ぶと数え漏れも重複もない。

(2)3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求める

答 $16$ 個

全体から「直角」「二等辺」を引き、両方であるものを足し戻す（包除）。二等辺かどうかは、3頂点が分ける弧の長さ（ $4 5^{\circ}$ を単位とする3つの数）で判定できる。

三角形は全部で $_{8} C_{3} = 56$ 個である。3頂点が円周を分ける3つの弧の長さを $4 5^{\circ}$ 単位で $(x, y, z)$ とすると、 $x + y + z = 8$ 、 $x, y, z ≧ 1$ である。弦の長さは弧の長さで決まるので

二等辺 $⟺$ $x, y, z$ のうち2つ以上が等しい
直角 $⟺$ $x, y, z$ のどれかが $4$ （その弦が直径）

である。 $8$ を正の整数3つに分ける分け方は ${6, 1, 1}, {5, 2, 1}, {4, 3, 1}, {4, 2, 2}, {3, 3, 2}$ の5通りである。

個数の数え方：順序つきの組 $(x, y, z)$ と頂点の出発点 $8$ 通りを掛けると $8 \times (順序つきの個数)$ になり、各三角形は出発点の選び方で $3$ 回ずつ数えられる。したがって三角形の個数は $\frac{8 \times ( 順序つきの個数 )}{3}$ である。

${6, 1, 1}$ ：順序つき $3$ 通り $\Rightarrow$ $8$ 個（二等辺、直角でない）
${4, 2, 2}$ ：順序つき $3$ 通り $\Rightarrow$ $8$ 個（二等辺かつ直角）
${3, 3, 2}$ ：順序つき $3$ 通り $\Rightarrow$ $8$ 個（二等辺、直角でない）
${4, 3, 1}$ ：順序つき $6$ 通り $\Rightarrow$ $16$ 個（直角、二等辺でない）
${5, 2, 1}$ ：順序つき $6$ 通り $\Rightarrow$ $16$ 個（どちらでもない）

合計は $8 + 8 + 8 + 16 + 16 = 56$ で全体と合う。よって

(直角) = 8 + 16 = 24, (二等辺) = 8 + 8 + 8 = 24, (両方) = 8

であり、どちらでもないものは

56 - (24 + 24 - 8) = 56 - 40 = 16 個

である（ ${5, 2, 1}$ の $16$ 個がそれにあたる）。

全列挙すると、直角 $24$ 、二等辺 $24$ 、両方 $8$ 、どちらでもない $16$ で、この数え方と完全に一致した。

直角と二等辺は重なる（ ${4, 2, 2}$ ）。単純に引くだけだと引きすぎる。

弧の長さの組を分類すると、5通りしかないので見通しがよい。個々の三角形を調べる必要はない。

(3)4個の頂点を結んでできる四角形のうち、「4個の頂点から3点を選んで直角三角形を作れる」ものの個数を求める

答 $54$ 個

(1) より「3点で直角三角形が作れる」 $⟺$ 「4点の中に直径の両端の組がある」。余事象（直径の組を1つも含まない4点）を数えるほうが簡単である。

4個の頂点から3点を選んで直角三角形が作れるのは、(1) より「その4点の中に直径の両端となる2点が含まれる」ときである（含まれていれば、残り2点のどちらを3つめにしても直角三角形になる）。

4頂点の選び方は $_{8} C_{4} = 70$ 通りである。余事象、すなわち「直径の組を1つも含まない」選び方を数える。

8個の頂点は向かい合う4組のペアに分かれる。直径の組を含まないように4点を選ぶには、どのペアからも高々1個しか選べない。4組から合計4個を選ぶのだから、各ペアからちょうど1個ずつ選ぶことになり

2^{4} = 16 通り

である。よって求める個数は

70 - 16 = 54 個

である。

余事象の $16$ 個は「向かい合う頂点を同時には含まない4点」で、たとえば $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ がその1つである。

$70$ 通りを全列挙すると $54$ 個だった。

条件は4点全体の性質（直径の組があるか）に帰着する。3点の組ごとに調べる必要はない。

4組のペアから4個選ぶとき、1個も余らないので「各ペアからちょうど1個」になる。ここは鳩の巣の議論である。

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第4問　微分法・積分法

3次曲線と直線・解と係数の関係・軌跡・通過領域の面積当サイトの体感難易度：難

(1)傾きが $1$ で曲線 $y = x^{3} - 2 x$ と異なる3点で交わる直線 $ℓ$ について、交点を $x$ 座標の小さい順に $P, Q, R$ 、線分 $PQ$ の中点を $S$ とする。 $R$ の座標を $(a, a^{3} - 2 a)$ とするとき $S$ の座標を求める

答 $S (- \frac{a}{2}, a^{3} - \frac{7}{2} a)$

$ℓ : y = x + k$ とおくと交点の $x$ 座標は $x^{3} - 3 x - k = 0$ の3解で、解と係数の関係から和が $0$ 。 $S$ は $ℓ$ 上にあるので $y$ 座標もすぐ出る。

$ℓ : y = x + k$ とおく。曲線と連立すると

x^{3} - 2 x = x + k, x^{3} - 3 x - k = 0 \dots ①

である。 $P, Q, R$ の $x$ 座標を $p < q < a$ とすると、① に $x^{2}$ の項がないので解と係数の関係から

p + q + a = 0, p + q = - a

である。よって $S$ の $x$ 座標は

\frac{p + q}{2} = - \frac{a}{2}

である。 $P, Q$ はともに $ℓ$ 上にあるので、その中点 $S$ も $ℓ$ 上にある。また $R$ が $ℓ$ 上にあることから $a^{3} - 2 a = a + k$ 、すなわち $k = a^{3} - 3 a$ である。したがって

(S の y 座標) = - \frac{a}{2} + k = - \frac{a}{2} + a^{3} - 3 a = a^{3} - \frac{7}{2} a

である。すなわち

S (- \frac{a}{2}, a^{3} - \frac{7}{2} a)

である。

$a = 1.5$ では $k = - 1.125$ 、3解は $- 1.895644, 0.395644, 1.5$ で、 $S = (- 0.75, - 1.875)$ 。式の値と一致した。

$S$ は $P, Q$ の中点なので、 $ℓ$ 上にある。 $y$ 座標を曲線から求めようとしない。

$x^{2}$ の係数が $0$ なので3解の和が $0$ 。これが $p + q = - a$ を与える。

(2) $ℓ$ が条件を満たしながら動くとき、点 $S$ の軌跡を求める

答曲線 $y = - 8 x^{3} + 7 x$ の $- 1 < x < - \frac{1}{2}$ の部分

(1) の $S$ の座標から $a$ を消去する。 $a$ の動く範囲は「① が異なる3実数解をもつ」条件から決まり、それは $y = x^{3} - 3 x$ の極値で決まる。

$a$ の範囲。 ① が異なる3実数解をもつ条件を調べる。 $h (x) = x^{3} - 3 x$ とおくと $h^{'} (x) = 3 (x^{2} - 1)$ で、 $x = - 1$ で極大 $h (- 1) = 2$ 、 $x = 1$ で極小 $h (1) = - 2$ である。よって $h (x) = k$ が異なる3実数解をもつのは

- 2 < k < 2

のときである。このとき最大の解 $a$ は $x > 1$ の側にあり、 $k = - 2$ で $a = 1$ （ $h$ のグラフが極小に接する）、 $k = 2$ で $a = 2$ （ $h (2) = 2$ ）に対応する。 $h$ は $x > 1$ で増加だから $k$ と $a$ は1対1に対応し

1 < a < 2

である。

消去。 $X = - \frac{a}{2}$ とおくと $a = - 2 X$ で、(1) より

Y = a^{3} - \frac{7}{2} a = (- 2 X)^{3} - \frac{7}{2} (- 2 X) = - 8 X^{3} + 7 X

である。 $1 < a < 2$ は $- 1 < X < - \frac{1}{2}$ にあたる。よって求める軌跡は

y = - 8 x^{3} + 7 x (- 1 < x < - \frac{1}{2})

である（両端 $(- \frac{1}{2}, - \frac{5}{2})$ と $(- 1, 1)$ は含まない）。

$a = 1.8$ では $S = (- 0.9, - 0.468)$ で、 $- 8 (- 0.9)^{3} + 7 (- 0.9) = - 0.468$ と一致した。

$a$ の範囲を出さずに消去だけすると、曲線全体を答えてしまう。3交点をもつ条件が範囲を決める。

$k$ と $a$ が1対1に対応することを言っておく。 $h$ が $x > 1$ で単調だからである。

(3) $ℓ$ が条件を満たしながら動くとき、線分 $PS$ が動いてできる領域の面積を求める

答 $\frac{27}{8}$

線分 $PS$ は傾き $1$ なので、 $v = y - x$ に注目すると $v = k$ で一定。 $k$ は $a$ とともに単調に動くから、 $v$ を固定するごとに $x$ の区間が1つ決まる。面積は「区間の長さ」を $v$ で積分すればよい。

網かけが線分 PS の通過領域。左下の境界は P の軌跡（曲線 y = x³ - 2x の -2 ≦ x ≦ -1 の部分）、右の境界は S の軌跡 y = -8x³ + 7x、下の境界は k = -2 のときの線分 PS。a → 2 では P と S が (-1, 1) に重なる。

座標の取り替え。 線分 $PS$ は $ℓ : y = x + k$ の一部なので、その上の点は $y - x = k$ を満たす。そこで $v = y - x$ とおくと、 $(x, y) \mapsto (x, v)$ は面積を変えない変換（せん断）である。

$a$ を決めると $k = a^{3} - 3 a$ が決まり、線分 $PS$ は $(x, v)$ 平面では高さ $v = k$ の水平な線分

p (a) ≦ x ≦ - \frac{a}{2}

になる。 $1 < a < 2$ で $\frac{d k}{d a} = 3 (a^{2} - 1) > 0$ だから $k$ は $a$ とともに増加し、 $- 2 < k < 2$ を1対1に動く。したがって高さ $v$ を決めると $a$ が1つに定まり、断面はちょうど1つの区間になる。

区間の長さ。 $p, q$ は ① の $x = a$ 以外の2解なので、解と係数の関係から

p + q = - a, pq + a (p + q) = - 3 ⟹ pq = a^{2} - 3

である。よって $p, q$ は $t^{2} + a t + (a^{2} - 3) = 0$ の2解で

p = \frac{- a - 12 - 3 a ^{2}}{2}, q = \frac{- a + 12 - 3 a ^{2}}{2}

である（判別式は $a^{2} - 4 (a^{2} - 3) = 12 - 3 a^{2} > 0$ ）。区間の長さは

- \frac{a}{2} - p = \frac{12 - 3 a ^{2}}{2}

である（ $- \frac{a}{2}$ は $p, q$ の中点）。

積分。 $d v = (3 a^{2} - 3) d a$ なので、求める面積は

\int_{- 2}^{2} (- \frac{a}{2} - p) d v = \int_{1}^{2} \frac{12 - 3 a ^{2}}{2} \cdot 3 (a^{2} - 1) d a = \frac{3 3}{2} \int_{1}^{2} (a^{2} - 1) 4 - a^{2} d a

である。 $a = 2 sin θ$ （ $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ ）とおくと $d a = 2 cos θ d θ$ 、 $4 - a^{2} = 2 cos θ$ で

\int_{1}^{2} (a^{2} - 1) 4 - a^{2} d a = 4 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} (4 sin^{2} θ - 1) cos^{2} θ d θ

である。 $4 sin^{2} θ cos^{2} θ = sin^{2} 2 θ = \frac{1 - cos 4 θ}{2}$ 、 $cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ を使うと被積分関数は

\frac{1 - cos 4 θ}{2} - \frac{1 + cos 2 θ}{2} = - \frac{cos 4 θ + cos 2 θ}{2}

なので

4 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} (\dots) d θ = - 2 [\frac{sin 4 θ}{4} + \frac{sin 2 θ}{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = - 2 (0 - \frac{3 3}{8}) = \frac{3 3}{4}

である（ $θ = \frac{π}{6}$ で $\frac{s i n \frac{2 π}{3}}{4} + \frac{s i n \frac{π}{3}}{2} = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{3 3}{8}$ ）。したがって面積は

\frac{3 3}{2} \cdot \frac{3 3}{4} = \frac{27}{8}

である。

$a \to 2$ では $p \to q \to - 1$ で線分 $PS$ は1点 $(- 1, 1)$ につぶれる。領域は $(- 2, - 4), (- \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}), (- 1, 1)$ を頂点とする曲線三角形になる。

数値積分すると $3.374999986$ 、 $\frac{27}{8} = 3.375$ と一致した。200万点のモンテカルロでも $3.3713$ だった。

傾き $1$ の線分が動くので $y - x$ を見る。 $y$ そのものを見ると断面が複雑になる。

$k$ が $a$ について単調なので、各高さの断面が1区間になる。重なりを心配しなくてよい。

$- \frac{a}{2}$ は $p, q$ の中点なので、区間の長さは $\frac{q - p}{2}$ に等しい。

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第5問　複素数平面

共線条件・二等辺三角形・軌跡の図示・面積の最大当サイトの体感難易度：やや難

(1) $z$ を複素数とし、複素数平面上の3点 $O (0)$ 、 $A (z)$ 、 $B (z^{2})$ について、3点が同一直線上にあるための $z$ の必要十分条件を求める

答 $z$ が実数であること

$O$ を基準にすると、 $A, B$ の位置ベクトルは $z$ と $z^{2}$ である。同一直線上 $⟺$ 一方が他方の実数倍、で、 $\frac{z ^{2}}{z} = z$ がそのまま条件になる。

3点が同一直線上にあるのは、 $z^{2}$ が $z$ の実数倍であるとき、すなわち実数 $t$ があって $z^{2} = t z$ となるときである（ $z = 0$ なら3点とも $O$ に重なり、どの直線上にもある）。

$z^{2} = t z$ は $z (z - t) = 0$ と同値なので

z = 0 または z = t (実数)

である。どちらも「 $z$ が実数」にまとめられる。逆に $z$ が実数なら $z, z^{2}$ はともに実軸上にあり、 $O$ も実軸上だから3点は同一直線上にある。よって求める必要十分条件は

z が実数 (z = \overset{z}{ˉ})

である。

言い換えると、 $z$ が実数でなければ $O, A, B$ は三角形をなす。(2)(3) ではこの事実を使う。

$z$ を20万個ランダムにとると、 $Im (\overset{z}{ˉ} \cdot z^{2}) = 0$ となるのと $Im z = 0$ が完全に一致した。

$\frac{z ^{2}}{z} = z$ が実数、という形で書くと $z \neq = 0$ を仮定することになる。 $z = 0$ を別に確認する。

(2)3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ 全体を複素数平面上に図示する

答円 $∣ z ∣ = 1$ 、円 $∣ z - 1 ∣ = 1$ 、直線 $Re z = \frac{1}{2}$ の和集合から、実軸上の点（ $z = 0, \pm 1, \frac{1}{2}, 2$ ）を除いたもの

3辺の長さを $∣ z ∣$ で書くと、 $OA = ∣ z ∣$ 、 $OB = ∣ z ∣^{2}$ 、 $AB = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣$ となる。どの2辺が等しいかで3つの条件に分かれ、 $∣ z ∣ > 0$ で割ると見慣れた図形になる。

まず三角形になる条件は、(1) より「 $z$ が実数でない」ことである。このとき $∣ z ∣ > 0$ で、3辺の長さは

OA = ∣ z ∣, OB = z^{2} = ∣ z ∣^{2}, AB = z^{2} - z = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣

である。二等辺になるのは次の3つのいずれかのときである（いずれも $∣ z ∣ > 0$ で割った）。

$OA = OB$ ： $∣ z ∣ = ∣ z ∣^{2}$ より $∣ z ∣ = 1$
$OA = AB$ ： $∣ z ∣ = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣$ より $∣ z - 1 ∣ = 1$
$OB = AB$ ： $∣ z ∣^{2} = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣$ より $∣ z ∣ = ∣ z - 1 ∣$ 、すなわち $Re z = \frac{1}{2}$

である（3つめは $0$ と $1$ から等距離、つまり線分の垂直二等分線）。これらから実軸上の点を除いたものが答えである。実軸と交わるのは

z = \pm 1 (∣ z ∣ = 1), z = 0, 2 (∣ z - 1 ∣ = 1), z = \frac{1}{2} (Re z = \frac{1}{2})

の5点である。図示すると次のようになる。

2つの円 |z| = 1、|z-1| = 1 と直線 Re z = 1/2 の和集合。実軸上の5点（0, 1/2, ±1, 2）は三角形にならないので除く。3つの曲線は (1±√3 i)/2 で交わり、そこでは正三角形になる。

$z = i$ （ $∣ z ∣ = 1$ ）、 $z = 1 + i$ （ $∣ z - 1 ∣ = 1$ ）、 $z = \frac{1}{2} + 2 i$ （ $Re z = \frac{1}{2}$ ）はいずれも二等辺になり、 $z = 2 + i$ はどの条件も満たさず二等辺にならなかった。

$z$ が実数の点を必ず除く。そこでは3点が一直線上に並び、三角形にならない。

$∣ z ∣ = ∣ z - 1 ∣$ は円ではなく直線（垂直二等分線）。3つのうち1つだけ形が違う。

(3)3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点であり、かつ $z$ の偏角 $θ$ が $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ を満たすとき、三角形 $OAB$ の面積の最大値とそのときの $z$ を求める

答最大値 $\frac{3 3}{4}$ 、 $z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$

面積を $r = ∣ z ∣$ と $θ$ で書くと $\frac{1}{2} r^{3} sin θ$ になる。(2) の3つの場合それぞれで $r$ が $θ$ の式になるので、1変数の最大問題を3回解けばよい。

$z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ ）とおく。三角形になるには $z$ が実数でないので $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ である。頂点 $0, z, z^{2}$ の三角形の面積は

\frac{1}{2} Im (\overset{z}{ˉ} \cdot z^{2}) = \frac{1}{2} Im (∣ z ∣^{2} z) = \frac{1}{2} r^{2} \cdot r sin θ = \frac{r ^{3} sin θ}{2}

である（ $sin θ > 0$ ）。(2) の3つの場合を順に調べる。

(i) $∣ z ∣ = 1$ 。 $r = 1$ なので面積は $\frac{sin θ}{2}$ で、 $θ = \frac{π}{3}$ のとき最大値 $\frac{3}{4}$ である。

(ii) $∣ z - 1 ∣ = 1$ 。 この円を極方程式で書くと $r = 2 cos θ$ （ $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ ）である。よって面積は

F (θ) = \frac{( 2 cos θ ) ^{3} sin θ}{2} = 4 cos^{3} θ sin θ

である。微分すると

F^{'} (θ) = 4 (- 3 cos^{2} θ sin^{2} θ + cos^{4} θ) = 4 cos^{2} θ (cos^{2} θ - 3 sin^{2} θ) = 4 cos^{2} θ (1 - 4 sin^{2} θ)

で、 $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ では $cos θ > 0$ だから符号は $1 - 4 sin^{2} θ$ で決まる。 $sin θ = \frac{1}{2}$ 、つまり $θ = \frac{π}{6}$ の前後で正から負に変わるので、 $θ = \frac{π}{6}$ で最大になる。そのとき $r = 2 cos \frac{π}{6} = 3$ で

F (\frac{π}{6}) = \frac{( 3 ) ^{3} \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{3 3}{4}

である。

(iii) $Re z = \frac{1}{2}$ 。 $r cos θ = \frac{1}{2}$ より $r = \frac{1}{2 cos θ}$ である。面積は

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin θ}{8 cos ^{3} θ} = \frac{tan θ}{16 cos ^{2} θ}

で、 $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ では $tan θ$ も $\frac{1}{cos ^{2} θ}$ も増加するから $θ = \frac{π}{3}$ で最大、値は $\frac{3 \cdot 4}{16} = \frac{3}{4}$ である。

まとめ。 3つの最大値は $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{3 3}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ なので、全体の最大値は

\frac{3 3}{4}

である。これを与えるのは (ii) の $θ = \frac{π}{6}$ 、 $r = 3$ のときで

z = 3 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}) = 3 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

である。

このとき $OA = 3$ 、 $OB = 3$ 、 $AB = 3 \cdot 1 = 3$ で、 $OA = AB$ の二等辺三角形になっている。

3つの曲線上を細かく走査すると、面積の最大は $1.299038106 = \frac{3 3}{4}$ 、そのとき $z = 1.5 + 0.8660254 i$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ 、 $r = 3$ だった。

$θ = 0$ は実数になって三角形にならない。 $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ で考える。

円 $∣ z - 1 ∣ = 1$ の極方程式が $r = 2 cos θ$ であること。これを使うと1変数になる。

3つの場合すべてを調べる。(i)(iii) は端点で最大になるが、(ii) だけ途中に最大がある。

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第6問　積分法

部分積分・テイラーの定理の剰余項・不等式の評価・e の近似当サイトの体感難易度：やや難

(1)正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して $e^{a} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ を示す

答 $R_{n} = \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ とおくと部分積分で $R_{n - 1} = \frac{a ^{n}}{n !} + R_{n}$

$R_{n}$ を部分積分すると $R_{n - 1}$ との関係が出る。 $R_{0} = e^{a} - 1$ から順に足し上げれば示せる。

$R_{n} = \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ （ $n ≧ 0$ ）とおく。 $n = 0$ では

R_{0} = \int_{0}^{a} e^{x} d x = e^{a} - 1

である。 $n ≧ 1$ で部分積分（ $e^{x}$ を積分、 $\frac{( a - x ) ^{n}}{n !}$ を微分）すると

R_{n} = [\frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x}]_{0}^{a} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n - 1}}{( n - 1 ) !} e^{x} d x

である（ $\frac{d}{d x} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} = - \frac{( a - x ) ^{n - 1}}{( n - 1 ) !}$ なので符号が反転して $+$ になる）。第1項は $x = a$ で $0$ 、 $x = 0$ で $\frac{a ^{n}}{n !}$ だから

R_{n} = - \frac{a ^{n}}{n !} + R_{n - 1}, すなわち R_{n - 1} = \frac{a ^{n}}{n !} + R_{n}

である。これを $n$ 回繰り返すと

R_{0} = \frac{a}{1 !} + R_{1} = \frac{a}{1 !} + \frac{a ^{2}}{2 !} + R_{2} = \dots = k = 1 \sum n \frac{a ^{k}}{k !} + R_{n}

である。 $R_{0} = e^{a} - 1$ とあわせて

e^{a} = 1 + k = 1 \sum n \frac{a ^{k}}{k !} + R_{n} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x

である。 $■$

$a = 1, n = 5$ で数値計算すると、右辺は $2.718281828459$ で $e$ と一致した。

$(a - x)^{n}$ を微分すると内側の $- 1$ が出る。部分積分の符号に注意する。

$[]_{0}^{a}$ の上端が $0$ になるのがポイント。下端だけが残る。

(2)正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して $\frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !} ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}$ を示す

答 $0 ≦ x ≦ a$ で $1 ≦ e^{x} ≦ e^{a}$ を使い、 $\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x = \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}$ を掛ける

被積分関数のうち $e^{x}$ の部分だけを定数で上下から押さえる。残りの積分は直接計算できる。

$0 ≦ x ≦ a$ では $e^{x}$ は増加だから

1 = e^{0} ≦ e^{x} ≦ e^{a}

である。また $\frac{( a - x ) ^{n}}{n !} ≧ 0$ なので、これを掛けて $0$ から $a$ まで積分すると

\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ e^{a} \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x

である。真ん中以外の積分は直接計算できて

\int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} d x = [- \frac{( a - x ) ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}]_{0}^{a} = \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}

である。よって

\frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !} ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}

である。 $■$

$a = 1, n = 5$ では $R_{5} = 0.001615162$ で、下界 $\frac{1}{6 !} = 0.001388889$ 、上界 $\frac{e}{6 !} = 0.003775391$ のあいだに入った。

不等式を掛けるときは、掛ける側 $\frac{( a - x ) ^{n}}{n !}$ が $0$ 以上であることを確認する。

(3) $e - (1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) < 1 0^{- 3}$ を満たす最小の正の整数 $n$ を求める

答 $n = 6$

(1) を $a = 1$ で使うと、絶対値の中身はちょうど $R_{n}$ になる。(2) の上下の評価で、 $n ≦ 5$ では不可、 $n = 6$ では可を示す。

(1) で $a = 1$ とすると

e - (1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) = R_{n}, R_{n} = \int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x > 0

である。よって絶対値は $R_{n}$ そのもので、(2) の $a = 1$ の場合から

\frac{1}{( n + 1 ) !} ≦ R_{n} ≦ \frac{e}{( n + 1 ) !}

である。

$n ≦ 5$ では不可。 $(n + 1)! ≦ 6! = 720 < 1000$ なので $R_{n} ≧ \frac{1}{( n + 1 ) !} > \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}$ となり、条件を満たさない。

$n = 6$ は可。 $(n + 1)! = 7! = 5040$ で、 $e < 3$ を使うと

R_{6} ≦ \frac{e}{5040} < \frac{3}{5040} = \frac{1}{1680} < \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}

である。したがって求める最小の $n$ は

n = 6

である。

実際 $1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{6 !} = 2.7180556$ で、 $e = 2.7182818$ との差は $2.26 \times 1 0^{- 4}$ 。 $n = 5$ では差が $1.62 \times 1 0^{- 3}$ で $1 0^{- 3}$ を超える。

数値では $n = 5$ で $1.615 \times 1 0^{- 3}$ 、 $n = 6$ で $2.263 \times 1 0^{- 4}$ となり、 $1 0^{- 3}$ を下回る最小の $n$ は $6$ だった。

$R_{n} > 0$ なので絶対値は外れる。符号の確認を飛ばさない。

「最小の $n$ 」なので、 $n = 6$ で成り立つことと $n ≦ 5$ で成り立たないことの両方を示す。下からの評価 $\frac{1}{( n + 1 )!}$ が後者に効く。

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問題文について

a,b を実数とするとき、曲線 y=ax2+bx+1 が x 軸の正の部分と共有点をもたないような点 (a,b) の領域を図示する

(1)0<a<1、0<b<1 とし、三角形 ABC で辺 AB を a:1−a に内分する点を P、辺 BC を b:1−b に内分する点を Q、辺 CA の中点を R、S=△ABC、T=△PQR とするとき、ST​ を a,b で表す

(2)a,b が 0<a<21​、0<b<21​ の範囲を動くとき、ST​ のとりうる値の範囲を求める

(3)p,q を 3 以上の整数とし a=p1​、b=q1​ とするとき、TS​ が整数となる組 (p,q) をすべて求める

(1)正八角形 A1​A2​⋯A8​ の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形であるものの個数を求める

(2)3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求める

(3)4個の頂点を結んでできる四角形のうち、「4個の頂点から3点を選んで直角三角形を作れる」ものの個数を求める

(1)傾きが 1 で曲線 y=x3−2x と異なる3点で交わる直線 ℓ について、交点を x 座標の小さい順に P,Q,R、線分 PQ の中点を S とする。R の座標を (a,a3−2a) とするとき S の座標を求める

(2)ℓ が条件を満たしながら動くとき、点 S の軌跡を求める

(3)ℓ が条件を満たしながら動くとき、線分 PS が動いてできる領域の面積を求める

(1)z を複素数とし、複素数平面上の3点 O(0)、A(z)、B(z2) について、3点が同一直線上にあるための z の必要十分条件を求める

(2)3点 O,A,B が二等辺三角形の頂点になるような z 全体を複素数平面上に図示する

(3)3点 O,A,B が二等辺三角形の頂点であり、かつ z の偏角 θ が 0≦θ≦3π​ を満たすとき、三角形 OAB の面積の最大値とそのときの z を求める

(1)正の実数 a と正の整数 n に対して ea=1+a+2!a2​+⋯+n!an​+∫0a​n!(a−x)n​exdx を示す

(2)正の実数 a と正の整数 n に対して (n+1)!an+1​≦∫0a​n!(a−x)n​exdx≦(n+1)!eaan+1​ を示す

(3)​e−(1+1+2!1​+⋯+n!1​)​<10−3 を満たす最小の正の整数 n を求める

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$a, b$ を実数とするとき、曲線 $y = a x^{2} + b x + 1$ が $x$ 軸の正の部分と共有点をもたないような点 $(a, b)$ の領域を図示する

(1) $0 < a < 1$ 、 $0 < b < 1$ とし、三角形 $ABC$ で辺 $AB$ を $a : 1 - a$ に内分する点を $P$ 、辺 $BC$ を $b : 1 - b$ に内分する点を $Q$ 、辺 $CA$ の中点を $R$ 、 $S = △ ABC$ 、 $T = △ PQR$ とするとき、 $\frac{T}{S}$ を $a, b$ で表す

(2) $a, b$ が $0 < a < \frac{1}{2}$ 、 $0 < b < \frac{1}{2}$ の範囲を動くとき、 $\frac{T}{S}$ のとりうる値の範囲を求める

(3) $p, q$ を $3$ 以上の整数とし $a = \frac{1}{p}$ 、 $b = \frac{1}{q}$ とするとき、 $\frac{S}{T}$ が整数となる組 $(p, q)$ をすべて求める

(1)正八角形 $A_{1} A_{2} \dots A_{8}$ の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形であるものの個数を求める

(1)傾きが $1$ で曲線 $y = x^{3} - 2 x$ と異なる3点で交わる直線 $ℓ$ について、交点を $x$ 座標の小さい順に $P, Q, R$ 、線分 $PQ$ の中点を $S$ とする。 $R$ の座標を $(a, a^{3} - 2 a)$ とするとき $S$ の座標を求める

(2) $ℓ$ が条件を満たしながら動くとき、点 $S$ の軌跡を求める

(3) $ℓ$ が条件を満たしながら動くとき、線分 $PS$ が動いてできる領域の面積を求める

(1) $z$ を複素数とし、複素数平面上の3点 $O (0)$ 、 $A (z)$ 、 $B (z^{2})$ について、3点が同一直線上にあるための $z$ の必要十分条件を求める

(2)3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ 全体を複素数平面上に図示する

(3)3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点であり、かつ $z$ の偏角 $θ$ が $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ を満たすとき、三角形 $OAB$ の面積の最大値とそのときの $z$ を求める

(1)正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して $e^{a} = 1 + a + \frac{a ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{a ^{n}}{n !} + \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x$ を示す

(2)正の実数 $a$ と正の整数 $n$ に対して $\frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !} ≦ \int_{0}^{a} \frac{( a - x ) ^{n}}{n !} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 ) !}$ を示す

(3) $e - (1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) < 1 0^{- 3}$ を満たす最小の正の整数 $n$ を求める