第3問 場合の数の解答・解説

正八角形の8個の頂点は外接円の周上にある。円に内接する三角形が直角三角形であることと、その1辺が直径であることは同値である（円周角の定理）。

8個の頂点のうち直径の両端になる組は、向かい合う頂点の組 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_5$、${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_6$、${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_7$、${\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_8$ の $4$ 組である。

直径を1つ決めると、残り $6$ 個の頂点のどれを3つめに選んでも直角三角形になる。また、1つの直角三角形に含まれる直径はちょうど1本（直角は1か所）なので、重複して数えることはない。よって

である。

三角形は全部で ${}_8{\mathrm{C}}_3=56$ 個である。3頂点が円周を分ける3つの弧の長さを $45^{\circ }$ 単位で $\left(x,y,z\right)$ とすると、$x+y+z=8$、$x,y,z\geqq 1$ である。弦の長さは弧の長さで決まるので

1. 二等辺 $⟺$ $x,y,z$ のうち2つ以上が等しい
2. 直角 $⟺$ $x,y,z$ のどれかが $4$（その弦が直径）

である。$8$ を正の整数3つに分ける分け方は $\left\{6,1,1\right\},\left\{5,2,1\right\},\left\{4,3,1\right\},\left\{4,2,2\right\},\left\{3,3,2\right\}$ の5通りである。

個数の数え方：順序つきの組 $\left(x,y,z\right)$ と頂点の出発点 $8$ 通りを掛けると $8\times \left(\text{順序つきの個数}\right)$ になり、各三角形は出発点の選び方で $3$ 回ずつ数えられる。したがって三角形の個数は $\frac{8\times \left(\text{順序つきの個数}\right)}{3}$ である。

1. $\left\{6,1,1\right\}$：順序つき $3$ 通り $\Rightarrow$ $8$ 個（二等辺、直角でない）
2. $\left\{4,2,2\right\}$：順序つき $3$ 通り $\Rightarrow$ $8$ 個（二等辺かつ直角）
3. $\left\{3,3,2\right\}$：順序つき $3$ 通り $\Rightarrow$ $8$ 個（二等辺、直角でない）
4. $\left\{4,3,1\right\}$：順序つき $6$ 通り $\Rightarrow$ $16$ 個（直角、二等辺でない）
5. $\left\{5,2,1\right\}$：順序つき $6$ 通り $\Rightarrow$ $16$ 個（どちらでもない）

合計は $8+8+8+16+16=56$ で全体と合う。よって

であり、どちらでもないものは

である（$\left\{5,2,1\right\}$ の $16$ 個がそれにあたる）。

4個の頂点から3点を選んで直角三角形が作れるのは、(1) より「その4点の中に直径の両端となる2点が含まれる」ときである（含まれていれば、残り2点のどちらを3つめにしても直角三角形になる）。

4頂点の選び方は ${}_8{\mathrm{C}}_4=70$ 通りである。余事象、すなわち「直径の組を1つも含まない」選び方を数える。

8個の頂点は向かい合う4組のペアに分かれる。直径の組を含まないように4点を選ぶには、どのペアからも高々1個しか選べない。4組から合計4個を選ぶのだから、各ペアからちょうど1個ずつ選ぶことになり

である。よって求める個数は

である。

余事象の $16$ 個は「向かい合う頂点を同時には含まない4点」で、たとえば ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$ がその1つである。