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東北大学　2021年度　前期日程　理系

第5問複素数平面の解答・解説

共線条件・二等辺三角形・軌跡の図示・面積の最大当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $z$ を複素数とし、複素数平面上の3点 $O (0)$ 、 $A (z)$ 、 $B (z^{2})$ について、3点が同一直線上にあるための $z$ の必要十分条件を求める

答 $z$ が実数であること

$O$ を基準にすると、 $A, B$ の位置ベクトルは $z$ と $z^{2}$ である。同一直線上 $⟺$ 一方が他方の実数倍、で、 $\frac{z ^{2}}{z} = z$ がそのまま条件になる。

3点が同一直線上にあるのは、 $z^{2}$ が $z$ の実数倍であるとき、すなわち実数 $t$ があって $z^{2} = t z$ となるときである（ $z = 0$ なら3点とも $O$ に重なり、どの直線上にもある）。

$z^{2} = t z$ は $z (z - t) = 0$ と同値なので

z = 0 または z = t (実数)

である。どちらも「 $z$ が実数」にまとめられる。逆に $z$ が実数なら $z, z^{2}$ はともに実軸上にあり、 $O$ も実軸上だから3点は同一直線上にある。よって求める必要十分条件は

z が実数 (z = \overset{z}{ˉ})

である。

言い換えると、 $z$ が実数でなければ $O, A, B$ は三角形をなす。(2)(3) ではこの事実を使う。

$z$ を20万個ランダムにとると、 $Im (\overset{z}{ˉ} \cdot z^{2}) = 0$ となるのと $Im z = 0$ が完全に一致した。

$\frac{z ^{2}}{z} = z$ が実数、という形で書くと $z \neq = 0$ を仮定することになる。 $z = 0$ を別に確認する。

(2)3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ 全体を複素数平面上に図示する

答円 $∣ z ∣ = 1$ 、円 $∣ z - 1 ∣ = 1$ 、直線 $Re z = \frac{1}{2}$ の和集合から、実軸上の点（ $z = 0, \pm 1, \frac{1}{2}, 2$ ）を除いたもの

3辺の長さを $∣ z ∣$ で書くと、 $OA = ∣ z ∣$ 、 $OB = ∣ z ∣^{2}$ 、 $AB = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣$ となる。どの2辺が等しいかで3つの条件に分かれ、 $∣ z ∣ > 0$ で割ると見慣れた図形になる。

まず三角形になる条件は、(1) より「 $z$ が実数でない」ことである。このとき $∣ z ∣ > 0$ で、3辺の長さは

OA = ∣ z ∣, OB = z^{2} = ∣ z ∣^{2}, AB = z^{2} - z = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣

である。二等辺になるのは次の3つのいずれかのときである（いずれも $∣ z ∣ > 0$ で割った）。

$OA = OB$ ： $∣ z ∣ = ∣ z ∣^{2}$ より $∣ z ∣ = 1$
$OA = AB$ ： $∣ z ∣ = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣$ より $∣ z - 1 ∣ = 1$
$OB = AB$ ： $∣ z ∣^{2} = ∣ z ∣ ∣ z - 1 ∣$ より $∣ z ∣ = ∣ z - 1 ∣$ 、すなわち $Re z = \frac{1}{2}$

である（3つめは $0$ と $1$ から等距離、つまり線分の垂直二等分線）。これらから実軸上の点を除いたものが答えである。実軸と交わるのは

z = \pm 1 (∣ z ∣ = 1), z = 0, 2 (∣ z - 1 ∣ = 1), z = \frac{1}{2} (Re z = \frac{1}{2})

の5点である。図示すると次のようになる。

2つの円 |z| = 1、|z-1| = 1 と直線 Re z = 1/2 の和集合。実軸上の5点（0, 1/2, ±1, 2）は三角形にならないので除く。3つの曲線は (1±√3 i)/2 で交わり、そこでは正三角形になる。

$z = i$ （ $∣ z ∣ = 1$ ）、 $z = 1 + i$ （ $∣ z - 1 ∣ = 1$ ）、 $z = \frac{1}{2} + 2 i$ （ $Re z = \frac{1}{2}$ ）はいずれも二等辺になり、 $z = 2 + i$ はどの条件も満たさず二等辺にならなかった。

$z$ が実数の点を必ず除く。そこでは3点が一直線上に並び、三角形にならない。

$∣ z ∣ = ∣ z - 1 ∣$ は円ではなく直線（垂直二等分線）。3つのうち1つだけ形が違う。

(3)3点 $O, A, B$ が二等辺三角形の頂点であり、かつ $z$ の偏角 $θ$ が $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ を満たすとき、三角形 $OAB$ の面積の最大値とそのときの $z$ を求める

答最大値 $\frac{3 3}{4}$ 、 $z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$

面積を $r = ∣ z ∣$ と $θ$ で書くと $\frac{1}{2} r^{3} sin θ$ になる。(2) の3つの場合それぞれで $r$ が $θ$ の式になるので、1変数の最大問題を3回解けばよい。

$z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ ）とおく。三角形になるには $z$ が実数でないので $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ である。頂点 $0, z, z^{2}$ の三角形の面積は

\frac{1}{2} Im (\overset{z}{ˉ} \cdot z^{2}) = \frac{1}{2} Im (∣ z ∣^{2} z) = \frac{1}{2} r^{2} \cdot r sin θ = \frac{r ^{3} sin θ}{2}

である（ $sin θ > 0$ ）。(2) の3つの場合を順に調べる。

(i) $∣ z ∣ = 1$ 。 $r = 1$ なので面積は $\frac{sin θ}{2}$ で、 $θ = \frac{π}{3}$ のとき最大値 $\frac{3}{4}$ である。

(ii) $∣ z - 1 ∣ = 1$ 。 この円を極方程式で書くと $r = 2 cos θ$ （ $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ ）である。よって面積は

F (θ) = \frac{( 2 cos θ ) ^{3} sin θ}{2} = 4 cos^{3} θ sin θ

である。微分すると

F^{'} (θ) = 4 (- 3 cos^{2} θ sin^{2} θ + cos^{4} θ) = 4 cos^{2} θ (cos^{2} θ - 3 sin^{2} θ) = 4 cos^{2} θ (1 - 4 sin^{2} θ)

で、 $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ では $cos θ > 0$ だから符号は $1 - 4 sin^{2} θ$ で決まる。 $sin θ = \frac{1}{2}$ 、つまり $θ = \frac{π}{6}$ の前後で正から負に変わるので、 $θ = \frac{π}{6}$ で最大になる。そのとき $r = 2 cos \frac{π}{6} = 3$ で

F (\frac{π}{6}) = \frac{( 3 ) ^{3} \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{3 3}{4}

である。

(iii) $Re z = \frac{1}{2}$ 。 $r cos θ = \frac{1}{2}$ より $r = \frac{1}{2 cos θ}$ である。面積は

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin θ}{8 cos ^{3} θ} = \frac{tan θ}{16 cos ^{2} θ}

で、 $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ では $tan θ$ も $\frac{1}{cos ^{2} θ}$ も増加するから $θ = \frac{π}{3}$ で最大、値は $\frac{3 \cdot 4}{16} = \frac{3}{4}$ である。

まとめ。 3つの最大値は $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{3 3}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ なので、全体の最大値は

\frac{3 3}{4}

である。これを与えるのは (ii) の $θ = \frac{π}{6}$ 、 $r = 3$ のときで

z = 3 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}) = 3 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

である。

このとき $OA = 3$ 、 $OB = 3$ 、 $AB = 3 \cdot 1 = 3$ で、 $OA = AB$ の二等辺三角形になっている。

3つの曲線上を細かく走査すると、面積の最大は $1.299038106 = \frac{3 3}{4}$ 、そのとき $z = 1.5 + 0.8660254 i$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ 、 $r = 3$ だった。

$θ = 0$ は実数になって三角形にならない。 $0 < θ ≦ \frac{π}{3}$ で考える。

円 $∣ z - 1 ∣ = 1$ の極方程式が $r = 2 cos θ$ であること。これを使うと1変数になる。

3つの場合すべてを調べる。(i)(iii) は端点で最大になるが、(ii) だけ途中に最大がある。

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問題文について

(1)z を複素数とし、複素数平面上の3点 O(0)、A(z)、B(z2) について、3点が同一直線上にあるための z の必要十分条件を求める

(2)3点 O,A,B が二等辺三角形の頂点になるような z 全体を複素数平面上に図示する

(3)3点 O,A,B が二等辺三角形の頂点であり、かつ z の偏角 θ が 0≦θ≦3π​ を満たすとき、三角形 OAB の面積の最大値とそのときの z を求める

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