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東北大学　2021年度　前期日程　理系

第2問図形と方程式の解答・解説

面積比・内分点・2変数の値域・整数解当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $0 < a < 1$ 、 $0 < b < 1$ とし、三角形 $ABC$ で辺 $AB$ を $a : 1 - a$ に内分する点を $P$ 、辺 $BC$ を $b : 1 - b$ に内分する点を $Q$ 、辺 $CA$ の中点を $R$ 、 $S = △ ABC$ 、 $T = △ PQR$ とするとき、 $\frac{T}{S}$ を $a, b$ で表す

答 $\frac{T}{S} = \frac{1 - a - b + 2 ab}{2}$

$A$ を基準にして $u = AB$ 、 $v = AC$ で3点を表す。面積比は「 $u, v$ での係数の行列式」で決まるので、 $u, v$ の具体形は要らない。

$u = AB$ 、 $v = AC$ とおくと

AP = a u, AQ = u + b (v - u) = (1 - b) u + b v, AR = \frac{1}{2} v

である。よって

PQ = (1 - a - b) u + b v, PR = - a u + \frac{1}{2} v

である。 $u = (u_{1}, u_{2})$ 、 $v = (v_{1}, v_{2})$ の成分で書くと、三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} ∣$ などで表され、 $p = α u + β v$ 、 $q = γ u + δ v$ に対して

∣ p と q が張る平行四辺形 ∣ = ∣ α δ - β γ ∣ \cdot ∣ u と v が張る平行四辺形 ∣

が成り立つ。したがって

\frac{T}{S} = (1 - a - b) \cdot \frac{1}{2} - b \cdot (- a) = \frac{1 - a - b + 2 ab}{2}

である。最後に絶対値を外す。 $1 - a - b + 2 ab$ を $b$ について整理すると

1 - a - b + 2 ab = (1 - a) - b (1 - 2 a)

$a ≦ \frac{1}{2}$ ： $1 - 2 a ≧ 0$ なので $0 < b < 1$ より $> (1 - a) - (1 - 2 a) = a > 0$
$a > \frac{1}{2}$ ： $1 - 2 a < 0$ なので $> 1 - a > 0$

とつねに正である。よって

\frac{T}{S} = \frac{1 - a - b + 2 ab}{2}

である。

$a = b = \frac{1}{2}$ なら $P, Q, R$ はすべて中点で中点三角形になり、 $\frac{T}{S} = \frac{1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ 。よく知られた値と合う。

三角形と $a, b$ を2万組ランダムにとって確かめ、反例は $0$ 件だった。

「 $AB$ を $a : 1 - a$ に内分」は $AP = a AB$ 。比の向きを取り違えない。

面積比は $u, v$ の取り方によらない。具体的な三角形で計算しなくてよい。

(2) $a, b$ が $0 < a < \frac{1}{2}$ 、 $0 < b < \frac{1}{2}$ の範囲を動くとき、 $\frac{T}{S}$ のとりうる値の範囲を求める

答 $\frac{1}{4} < \frac{T}{S} < \frac{1}{2}$

$g (a, b) = 1 - a - b + 2 ab$ は $a$ を固定すると $b$ の1次式。1次式の値域は端点で決まるので、 $b$ を先に動かし、次に $a$ を動かす、と2段階で考える。

$g (a, b) = 1 - a - b + 2 ab$ とおくと $\frac{T}{S} = \frac{g}{2}$ である。 $a$ を固定すると

g = (1 - a) - (1 - 2 a) b

は $b$ の1次式で、 $0 < a < \frac{1}{2}$ より傾き $- (1 - 2 a) < 0$ 、つまり $b$ について減少する。 $0 < b < \frac{1}{2}$ だから

g (a, \frac{1}{2}) < g < g (a, 0)

すなわち

\frac{1}{2} < g < 1 - a

である（ $g (a, \frac{1}{2}) = 1 - a - \frac{1}{2} + a = \frac{1}{2}$ 、 $g (a, 0) = 1 - a$ ）。次に $a$ を $0 < a < \frac{1}{2}$ で動かすと $1 - a$ は $(\frac{1}{2}, 1)$ を動くので、 $g$ のとりうる値は

\frac{1}{2} < g < 1

の範囲に収まる。逆にこの範囲のどの値もとれる。実際 $a$ を $0$ に近づけ $b$ を $0$ に近づければ $g \to 1$ 、 $a, b$ を $\frac{1}{2}$ に近づければ $g \to \frac{1}{2}$ で、 $g$ は連続だから中間の値もすべてとる。したがって

\frac{1}{4} < \frac{T}{S} < \frac{1}{2}

である。

$a, b$ を細かく動かすと $\frac{T}{S}$ は $0.250002$ から $0.497253$ までを動いた。

端点 $a, b = 0, \frac{1}{2}$ は範囲に入らないので、不等号はすべて真の不等号になる。

「すべての中間値をとる」ことに触れておく。範囲を上下から押さえただけでは、値域が区間全体だとは言えない。

(3) $p, q$ を $3$ 以上の整数とし $a = \frac{1}{p}$ 、 $b = \frac{1}{q}$ とするとき、 $\frac{S}{T}$ が整数となる組 $(p, q)$ をすべて求める

答 $(p, q) = (4, 6), (6, 4)$

(2) と同じ評価で $\frac{S}{T}$ の動く範囲を押さえると、整数になりうる値がただ1つに絞れる。そのあとは $(p - 3) (q - 3) = 3$ という形の整数問題になる。

(1) より

\frac{S}{T} = \frac{2}{1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{2}{pq}} = \frac{2 pq}{pq - p - q + 2}

である。

値の範囲。 $p, q ≧ 3$ より $0 < a ≦ \frac{1}{3}$ 、 $0 < b ≦ \frac{1}{3}$ である。(2) と同じ計算で、 $g = 1 - a - b + 2 ab$ は $a$ を固定すると $b$ について減少するから

g (a, \frac{1}{3}) ≦ g < g (a, 0), \frac{2 - a}{3} ≦ g < 1 - a

である（ $g (a, \frac{1}{3}) = 1 - a - \frac{1}{3} + \frac{2 a}{3} = \frac{2}{3} - \frac{a}{3}$ ）。 $0 < a ≦ \frac{1}{3}$ で動かすと $\frac{2 - a}{3} ≧ \frac{2 - \frac{1}{3}}{3} = \frac{5}{9}$ 、 $1 - a < 1$ なので

\frac{5}{9} ≦ g < 1, \frac{5}{18} ≦ \frac{T}{S} < \frac{1}{2}

である。逆数をとると

2 < \frac{S}{T} ≦ \frac{18}{5} = 3.6

である。この範囲の整数は $3$ だけだから、条件は $\frac{S}{T} = 3$ である。

$\frac{S}{T} = 3$ を解く。

\frac{2 pq}{pq - p - q + 2} = 3, 2 pq = 3 pq - 3 p - 3 q + 6

すなわち $pq - 3 p - 3 q + 6 = 0$ である。両辺に $3$ を足して因数分解すると

pq - 3 p - 3 q + 9 = 3, (p - 3) (q - 3) = 3

である。 $p, q ≧ 3$ より $p - 3, q - 3$ は $0$ 以上の整数で、積が $3$ になるのは

(p - 3, q - 3) = (1, 3), (3, 1)

のときだけである。よって

(p, q) = (4, 6), (6, 4)

である。実際 $(p, q) = (4, 6)$ なら $\frac{T}{S} = \frac{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{12}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$ で $\frac{S}{T} = 3$ である。

$3 ≦ p, q ≦ 199$ を全探索すると $(4, 6)$ と $(6, 4)$ だけで、どちらも $\frac{S}{T} = 3$ だった。

まず値域を押さえて「整数は $3$ しかない」と決めるのが要。いきなり $\frac{2 pq}{pq - p - q + 2} = N$ を整数問題として解こうとすると大変になる。

$(p - 3) (q - 3) = 3$ で $p - 3 = 0$ （ $3$ の約数でない）は起こらない。 $0 \cdot$ （何か） $= 3$ は不可能である。

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問題文について

(1)0<a<1、0<b<1 とし、三角形 ABC で辺 AB を a:1−a に内分する点を P、辺 BC を b:1−b に内分する点を Q、辺 CA の中点を R、S=△ABC、T=△PQR とするとき、ST​ を a,b で表す

(2)a,b が 0<a<21​、0<b<21​ の範囲を動くとき、ST​ のとりうる値の範囲を求める

(3)p,q を 3 以上の整数とし a=p1​、b=q1​ とするとき、TS​ が整数となる組 (p,q) をすべて求める

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