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東北大学　2021年度　前期日程　理系

第4問微分法・積分法の解答・解説

3次曲線と直線・解と係数の関係・軌跡・通過領域の面積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)傾きが $1$ で曲線 $y = x^{3} - 2 x$ と異なる3点で交わる直線 $ℓ$ について、交点を $x$ 座標の小さい順に $P, Q, R$ 、線分 $PQ$ の中点を $S$ とする。 $R$ の座標を $(a, a^{3} - 2 a)$ とするとき $S$ の座標を求める

答 $S (- \frac{a}{2}, a^{3} - \frac{7}{2} a)$

$ℓ : y = x + k$ とおくと交点の $x$ 座標は $x^{3} - 3 x - k = 0$ の3解で、解と係数の関係から和が $0$ 。 $S$ は $ℓ$ 上にあるので $y$ 座標もすぐ出る。

$ℓ : y = x + k$ とおく。曲線と連立すると

x^{3} - 2 x = x + k, x^{3} - 3 x - k = 0 \dots ①

である。 $P, Q, R$ の $x$ 座標を $p < q < a$ とすると、① に $x^{2}$ の項がないので解と係数の関係から

p + q + a = 0, p + q = - a

である。よって $S$ の $x$ 座標は

\frac{p + q}{2} = - \frac{a}{2}

である。 $P, Q$ はともに $ℓ$ 上にあるので、その中点 $S$ も $ℓ$ 上にある。また $R$ が $ℓ$ 上にあることから $a^{3} - 2 a = a + k$ 、すなわち $k = a^{3} - 3 a$ である。したがって

(S の y 座標) = - \frac{a}{2} + k = - \frac{a}{2} + a^{3} - 3 a = a^{3} - \frac{7}{2} a

である。すなわち

S (- \frac{a}{2}, a^{3} - \frac{7}{2} a)

である。

$a = 1.5$ では $k = - 1.125$ 、3解は $- 1.895644, 0.395644, 1.5$ で、 $S = (- 0.75, - 1.875)$ 。式の値と一致した。

$S$ は $P, Q$ の中点なので、 $ℓ$ 上にある。 $y$ 座標を曲線から求めようとしない。

$x^{2}$ の係数が $0$ なので3解の和が $0$ 。これが $p + q = - a$ を与える。

(2) $ℓ$ が条件を満たしながら動くとき、点 $S$ の軌跡を求める

答曲線 $y = - 8 x^{3} + 7 x$ の $- 1 < x < - \frac{1}{2}$ の部分

(1) の $S$ の座標から $a$ を消去する。 $a$ の動く範囲は「① が異なる3実数解をもつ」条件から決まり、それは $y = x^{3} - 3 x$ の極値で決まる。

$a$ の範囲。 ① が異なる3実数解をもつ条件を調べる。 $h (x) = x^{3} - 3 x$ とおくと $h^{'} (x) = 3 (x^{2} - 1)$ で、 $x = - 1$ で極大 $h (- 1) = 2$ 、 $x = 1$ で極小 $h (1) = - 2$ である。よって $h (x) = k$ が異なる3実数解をもつのは

- 2 < k < 2

のときである。このとき最大の解 $a$ は $x > 1$ の側にあり、 $k = - 2$ で $a = 1$ （ $h$ のグラフが極小に接する）、 $k = 2$ で $a = 2$ （ $h (2) = 2$ ）に対応する。 $h$ は $x > 1$ で増加だから $k$ と $a$ は1対1に対応し

1 < a < 2

である。

消去。 $X = - \frac{a}{2}$ とおくと $a = - 2 X$ で、(1) より

Y = a^{3} - \frac{7}{2} a = (- 2 X)^{3} - \frac{7}{2} (- 2 X) = - 8 X^{3} + 7 X

である。 $1 < a < 2$ は $- 1 < X < - \frac{1}{2}$ にあたる。よって求める軌跡は

y = - 8 x^{3} + 7 x (- 1 < x < - \frac{1}{2})

である（両端 $(- \frac{1}{2}, - \frac{5}{2})$ と $(- 1, 1)$ は含まない）。

$a = 1.8$ では $S = (- 0.9, - 0.468)$ で、 $- 8 (- 0.9)^{3} + 7 (- 0.9) = - 0.468$ と一致した。

$a$ の範囲を出さずに消去だけすると、曲線全体を答えてしまう。3交点をもつ条件が範囲を決める。

$k$ と $a$ が1対1に対応することを言っておく。 $h$ が $x > 1$ で単調だからである。

(3) $ℓ$ が条件を満たしながら動くとき、線分 $PS$ が動いてできる領域の面積を求める

答 $\frac{27}{8}$

線分 $PS$ は傾き $1$ なので、 $v = y - x$ に注目すると $v = k$ で一定。 $k$ は $a$ とともに単調に動くから、 $v$ を固定するごとに $x$ の区間が1つ決まる。面積は「区間の長さ」を $v$ で積分すればよい。

網かけが線分 PS の通過領域。左下の境界は P の軌跡（曲線 y = x³ - 2x の -2 ≦ x ≦ -1 の部分）、右の境界は S の軌跡 y = -8x³ + 7x、下の境界は k = -2 のときの線分 PS。a → 2 では P と S が (-1, 1) に重なる。

座標の取り替え。 線分 $PS$ は $ℓ : y = x + k$ の一部なので、その上の点は $y - x = k$ を満たす。そこで $v = y - x$ とおくと、 $(x, y) \mapsto (x, v)$ は面積を変えない変換（せん断）である。

$a$ を決めると $k = a^{3} - 3 a$ が決まり、線分 $PS$ は $(x, v)$ 平面では高さ $v = k$ の水平な線分

p (a) ≦ x ≦ - \frac{a}{2}

になる。 $1 < a < 2$ で $\frac{d k}{d a} = 3 (a^{2} - 1) > 0$ だから $k$ は $a$ とともに増加し、 $- 2 < k < 2$ を1対1に動く。したがって高さ $v$ を決めると $a$ が1つに定まり、断面はちょうど1つの区間になる。

区間の長さ。 $p, q$ は ① の $x = a$ 以外の2解なので、解と係数の関係から

p + q = - a, pq + a (p + q) = - 3 ⟹ pq = a^{2} - 3

である。よって $p, q$ は $t^{2} + a t + (a^{2} - 3) = 0$ の2解で

p = \frac{- a - 12 - 3 a ^{2}}{2}, q = \frac{- a + 12 - 3 a ^{2}}{2}

である（判別式は $a^{2} - 4 (a^{2} - 3) = 12 - 3 a^{2} > 0$ ）。区間の長さは

- \frac{a}{2} - p = \frac{12 - 3 a ^{2}}{2}

である（ $- \frac{a}{2}$ は $p, q$ の中点）。

積分。 $d v = (3 a^{2} - 3) d a$ なので、求める面積は

\int_{- 2}^{2} (- \frac{a}{2} - p) d v = \int_{1}^{2} \frac{12 - 3 a ^{2}}{2} \cdot 3 (a^{2} - 1) d a = \frac{3 3}{2} \int_{1}^{2} (a^{2} - 1) 4 - a^{2} d a

である。 $a = 2 sin θ$ （ $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ ）とおくと $d a = 2 cos θ d θ$ 、 $4 - a^{2} = 2 cos θ$ で

\int_{1}^{2} (a^{2} - 1) 4 - a^{2} d a = 4 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} (4 sin^{2} θ - 1) cos^{2} θ d θ

である。 $4 sin^{2} θ cos^{2} θ = sin^{2} 2 θ = \frac{1 - cos 4 θ}{2}$ 、 $cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ を使うと被積分関数は

\frac{1 - cos 4 θ}{2} - \frac{1 + cos 2 θ}{2} = - \frac{cos 4 θ + cos 2 θ}{2}

なので

4 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} (\dots) d θ = - 2 [\frac{sin 4 θ}{4} + \frac{sin 2 θ}{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = - 2 (0 - \frac{3 3}{8}) = \frac{3 3}{4}

である（ $θ = \frac{π}{6}$ で $\frac{s i n \frac{2 π}{3}}{4} + \frac{s i n \frac{π}{3}}{2} = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{3 3}{8}$ ）。したがって面積は

\frac{3 3}{2} \cdot \frac{3 3}{4} = \frac{27}{8}

である。

$a \to 2$ では $p \to q \to - 1$ で線分 $PS$ は1点 $(- 1, 1)$ につぶれる。領域は $(- 2, - 4), (- \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}), (- 1, 1)$ を頂点とする曲線三角形になる。

数値積分すると $3.374999986$ 、 $\frac{27}{8} = 3.375$ と一致した。200万点のモンテカルロでも $3.3713$ だった。

傾き $1$ の線分が動くので $y - x$ を見る。 $y$ そのものを見ると断面が複雑になる。

$k$ が $a$ について単調なので、各高さの断面が1区間になる。重なりを心配しなくてよい。

$- \frac{a}{2}$ は $p, q$ の中点なので、区間の長さは $\frac{q - p}{2}$ に等しい。

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問題文について

(1)傾きが 1 で曲線 y=x3−2x と異なる3点で交わる直線 ℓ について、交点を x 座標の小さい順に P,Q,R、線分 PQ の中点を S とする。R の座標を (a,a3−2a) とするとき S の座標を求める

(2)ℓ が条件を満たしながら動くとき、点 S の軌跡を求める

(3)ℓ が条件を満たしながら動くとき、線分 PS が動いてできる領域の面積を求める

同じ形式の問題を、5回分

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