第5問整数の解答・解説

二項係数・単調性・素数・階乗の素因数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)自然数 $n, k$ が $2 \leq k \leq n - 2$ をみたすとき $_{n} C_{k} > n$ であることを示す

答 $_{n} C_{k} \geq_{n} C_{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} > n$ （ $n \geq 4$ だから）

$2 \leq k \leq n - 2$ の範囲では $_{n} C_{k}$ が両端の $_{n} C_{2} =_{n} C_{n - 2}$ で最小になる。これは隣り合う二項係数の比を見れば分かる。

まず $2 \leq k \leq n - 2$ となるには $n \geq 4$ が必要である。

真ん中へ行くほど大きい。 $1 \leq k \leq n$ で

\frac{_{n} C _{k}}{_{n} C _{k - 1}} = \frac{n - k + 1}{k}

であり、これが $1$ より大きいのは $n - k + 1 > k$ 、すなわち $k < \frac{n + 1}{2}$ のときである。よって $_{n} C_{k}$ は $k$ が $\frac{n + 1}{2}$ に達するまで増え続ける。とくに $2 \leq k \leq \frac{n}{2}$ では

_{n} C_{k} \geq_{n} C_{2}

である。 $\frac{n}{2} < k \leq n - 2$ のときは $_{n} C_{k} =_{n} C_{n - k}$ で、 $2 \leq n - k < \frac{n}{2}$ だから同じ評価が使える。

評価。

_{n} C_{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

で、 $n \geq 4$ より $n - 1 \geq 3 > 2$ だから

_{n} C_{2} = n \cdot \frac{n - 1}{2} > n

である。合わせて $_{n} C_{k} \geq_{n} C_{2} > n$ が示された。

$4 \leq n \leq 59$ 、 $2 \leq k \leq n - 2$ のすべてで $_{n} C_{k} > n$ だった。

$2 \leq k \leq n - 2$ から $n \geq 4$ が出る。これがないと $\frac{n - 1}{2} > 1$ が言えない。

$_{n} C_{k} =_{n} C_{n - k}$ の対称性を使って、 $k$ が後半にある場合も前半に帰着させる。

(2) $p$ を素数とするとき、 $k \leq n$ をみたす自然数の組 $(n, k)$ で $_{n} C_{k} = p$ となるものをすべて求める

答 $(n, k) = (p, 1)$ と $(p, p - 1)$ （ $p = 2$ のときは一致して $(2, 1)$ のみ）

$k = 1$ 、 $k = n$ 、 $k = n - 1$ を直接調べ、残る $2 \leq k \leq n - 2$ は (1) を使って潰す。 $_{n} C_{k} > n$ なら $p > n$ で、 $p$ は $n!$ を割り切れない。

$k$ の位置で場合を分ける。

$k = n$ ： $_{n} C_{n} = 1$ で素数でない。×
$k = 1$ ： $_{n} C_{1} = n$ なので $n = p$ 。 $(n, k) = (p, 1)$ 。◯
$k = n - 1$ ： $_{n} C_{n - 1} = n$ なので $n = p$ 。 $k = p - 1 \geq 1$ だから $(n, k) = (p, p - 1)$ 。◯

$2 \leq k \leq n - 2$ は不可能。 このとき (1) より

p =_{n} C_{k} > n

である。一方、 $_{n} C_{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = p$ より

n! = p \cdot k! (n - k)!

なので、 $p$ は $n!$ を割り切る。しかし $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ の因数はどれも $n$ 以下であり、 $p$ は $n$ より大きい素数だから、どの因数も割り切れない。素数の性質より $p$ は $n!$ を割り切れず、矛盾する。

まとめ。 求める組は

(n, k) = (p, 1), (n, k) = (p, p - 1)

である。ただし $p = 2$ のときは $p - 1 = 1$ なので2つは同じ組 $(2, 1)$ になる。

$1 \leq n \leq 299$ 、 $1 \leq k \leq n$ を全探索すると、 $_{n} C_{k}$ が素数になるのは $p = 2$ で $(2, 1)$ 、 $p = 3$ で $(3, 1), (3, 2)$ 、 $p = 5$ で $(5, 1), (5, 4)$ 、… と、どれも予想どおりだった。