独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

九州大学　2021年度　前期日程　理科系

第1問空間図形の解答・解説

内接球・点と平面の距離・球と平面の交わり・2次関数の最大当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)四面体 $OABC$ に内接する球の中心の座標を求める

答 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$

3つの面が座標平面なので、中心は $(r, r, r)$ の形になる（ $r$ は半径）。残る面 $ABC$ までの距離も $r$ になるように $r$ を決める。

四面体の4つの面は、 $x y$ 平面（ $O, A, B$ ）、 $y z$ 平面（ $O, B, C$ ）、 $z x$ 平面（ $O, A, C$ ）、そして平面 $ABC$ である。

中心の形。 内接球の中心は四面体の内部にあり、3つの座標平面からの距離がどれも半径 $r$ に等しい。内部では $x, y, z > 0$ だから、中心は $(r, r, r)$ である。

平面 $ABC$ 。 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, 1, 0)$ 、 $C (0, 0, 2)$ を通るので、切片形で

\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 ⟺ 2 x + 2 y + z = 2

である。点 $(r, r, r)$ との距離は

\frac{∣ 2 r + 2 r + r - 2 ∣}{2 ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ 5 r - 2 ∣}{3}

である。内部の点では $2 r + 2 r + r < 2$ （原点側）なので $5 r - 2 < 0$ であり、これが $r$ に等しいとおくと

\frac{2 - 5 r}{3} = r ⟹ 2 - 5 r = 3 r ⟹ r = \frac{1}{4}

である。よって中心は $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ （半径 $\frac{1}{4}$ ）である。

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ から4面までの距離はどれも $0.25$ だった。

$∣ 5 r - 2 ∣$ の絶対値を外すとき、中心が原点と同じ側にあることを使う。 $\frac{5 r - 2}{3} = r$ と外すと $r = - 1$ となって不適。

平面 $ABC$ は $x + y + z = 1$ ではない。 $C$ の $z$ 座標が $2$ なので切片が $2$ になる。

(2)中心の座標がすべて正で3つの座標平面すべてに接する球が平面 $ABC$ と交わるとき、その交わりの円の面積の最大値を求める

答 $\frac{π}{4}$ （半径 $r = \frac{5}{8}$ のとき）

条件から球は中心 $(r, r, r)$ 、半径 $r$ である。平面との距離を $d$ とすると、交わりの円の半径 $ρ$ は $ρ^{2} = r^{2} - d^{2}$ 。これを $r$ の2次関数として最大にする。

3つの座標平面に接し中心の座標がすべて正だから、中心は $(r, r, r)$ 、半径は $r > 0$ である。(1) と同じく、平面 $ABC$ までの距離は

d = \frac{∣ 5 r - 2 ∣}{3}

である。球が平面と交わる条件は $d < r$ で、そのとき交わりは半径 $ρ = r^{2} - d^{2}$ の円になる。面積は

S = π ρ^{2} = π (r^{2} - \frac{( 5 r - 2 ) ^{2}}{9}) = \frac{π}{9} (9 r^{2} - 25 r^{2} + 20 r - 4) = \frac{π}{9} (- 16 r^{2} + 20 r - 4)

である。

最大。 $- 16 r^{2} + 20 r - 4$ は上に凸で、 $r = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$ のとき最大になる。このとき

- 16 \cdot \frac{25}{64} + 20 \cdot \frac{5}{8} - 4 = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 4 = \frac{- 25 + 50 - 16}{4} = \frac{9}{4}

なので

S = \frac{π}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{π}{4}

である。

交わっているか。 $r = \frac{5}{8}$ のとき $d = \frac{\frac{25}{8} - 2}{3} = \frac{9/8}{3} = \frac{3}{8} < \frac{5}{8} = r$ なので、確かに交わっている。

半径

r

に対する交わりの円の面積

S = \frac{π}{9} (- 16 r^{2} + 20 r - 4)

。

S > 0

となるのは

\frac{1}{4} < r < 1

で、

r = \frac{5}{8}

で最大

\frac{π}{4} = 0.785

をとる。両端

r = \frac{1}{4}, 1

では球が平面に接し、円が1点につぶれる。

$r$ を $2$ 万点に刻んで $S$ を計算すると、最大は $r = 0.625$ での $0.785398$ で、 $\frac{π}{4} = 0.785398$ と一致した。

「交わる」条件 $d < r$ を確かめる。最大を与える $r$ がこの範囲に入っていないと答えにならない。

$S$ は $ρ$ ではなく $ρ^{2}$ に比例する。 $ρ$ を最大にする $r$ と同じだが、計算は $ρ^{2}$ のほうが楽である。

(1) の球（ $r = \frac{1}{4}$ ）は平面に接していて、交わりは1点である。 $r = \frac{1}{4}$ は $S = 0$ で、最大ではない。

2021年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる九大理系数学 2027

九大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・140ページ・2026年8月2日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)四面体 OABC に内接する球の中心の座標を求める

(2)中心の座標がすべて正で3つの座標平面すべてに接する球が平面 ABC と交わるとき、その交わりの円の面積の最大値を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)四面体 $OABC$ に内接する球の中心の座標を求める

(2)中心の座標がすべて正で3つの座標平面すべてに接する球が平面 $ABC$ と交わるとき、その交わりの円の面積の最大値を求める