第3問 積分法の解答・解説

$g(t)=e^t-xt$ とおく。条件 $(\ast )$ は「すべての $t$ で $y\le g(t)$」、つまり $y\le \underset{t}{\inf }g(t)$ である。

で場合を分ける。

$x<0$ のとき。 $g^{\prime }(t)=e^t-x>0$ なので $g$ は増加である。$t\to -\infty$ とすると $e^t\to 0$、$-xt\to -\infty$（$-x>0$ で $t\to -\infty$）だから $g(t)\to -\infty$ である。下に有界でないので、どんな $y$ をとっても条件をみたさない。

$x=0$ のとき。 $g(t)=e^t>0$ で、$t\to -\infty$ のとき $g\to 0$ である。下限は $0$（到達しない）なので、条件は $y\le 0$ である。

$x>0$ のとき。 $g^{\prime }(t)=0$ は $t=\log x$ で、$g^{\prime }$ はここで負から正に変わるから $t=\log x$ で最小になる。最小値は

である。条件は $y\le x-x\log x$。

まとめ。 $\underset{x\to +0}{\lim }\left(x-x\log x\right)=0$（与えられた ${\lim }_{x\to +0}x\log x=0$ による）なので、$x=0$ の場合も同じ式で書ける。よって求める集合は

である（境界を含む）。

$S$ の形。 (1) より条件は $y\le x(1-\log x)$ である。これと $y\ge 0$ が両立するには $x(1-\log x)\ge 0$、$x\ge 1>0$ より $\log x\le 1$、すなわち $x\le e$ である。よって

である。

体積。

である。$u=1-\log x$ とおくと $x=e^{1-u}$、$dx=-e^{1-u}du$ で、$x:1\to e$ のとき $u:1\to 0$。よって

となる。

部分積分2回。

なので

である。したがって

である（$2.696$ ほど）。