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九州大学　2021年度　前期日程　理科系

第2問複素数平面の解答・解説

判別式・共役な虚数解・外心・直角三角形当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $(*)$ が実数解をもたないような $θ$ の範囲を求める

答 $0 < θ < \frac{π}{12}$

判別式が負になる条件を書き、 $sin θ cos θ$ をまとめて $sin 2 θ$ にする。

$(*)$ の判別式を $D$ とすると

\frac{D}{4} = 4 cos^{2} θ - \frac{1}{tan θ} = 4 cos^{2} θ - \frac{cos θ}{sin θ}

である。実数解をもたない条件は $\frac{D}{4} < 0$ である。 $0 < θ < \frac{π}{4}$ では $cos θ > 0$ 、 $sin θ > 0$ なので、両辺を $cos θ > 0$ で割って

4 cos θ < \frac{1}{sin θ} ⟺ 4 sin θ cos θ < 1 ⟺ 2 sin 2 θ < 1

すなわち $sin 2 θ < \frac{1}{2}$ である。 $0 < θ < \frac{π}{4}$ より $0 < 2 θ < \frac{π}{2}$ で、この範囲で $sin$ は増加だから

2 θ < \frac{π}{6} ⟺ θ < \frac{π}{12}

である。よって求める範囲は $0 < θ < \frac{π}{12}$ である。

$θ = \frac{π}{24}$ では $\frac{D}{4} = - 3.66 < 0$ 、 $θ = \frac{π}{12}$ でちょうど $0$ 、 $θ = \frac{π}{8}$ では $1 > 0$ となった。

$sin θ > 0$ を掛けるので不等号の向きは変わらない。 $0 < θ < \frac{π}{4}$ という前提があるおかげである。

$2 sin 2 θ < 1$ であって $sin 2 θ < 1$ ではない。 $4 sin θ cos θ = 2 sin 2 θ$ の係数に注意。

(2) $(*)$ の2つの虚数解を $α, β$ （ $α$ の虚部が大きい）とし、 $A (α), B (β), O (0)$ を通る円の中心を $C (γ)$ とするとき、 $γ$ を $θ$ で表す

答 $γ = \frac{1}{4 sin θ}$

$α, β$ は互いに共役で、実部は $2 cos θ$ である。 $O$ も実軸上にあるので、3点は実軸に関して対称に並び、外心も実軸上にある。あとは $∣ γ ∣ = ∣ γ - α ∣$ を解く。

$(*)$ は実数係数なので、虚数解は互いに共役である。解と係数の関係から和は $4 cos θ$ 、積は $\frac{1}{tan θ}$ だから

α = 2 cos θ + s i, β = 2 cos θ - s i, s = \frac{1}{tan θ} - 4 cos^{2} θ > 0

である（ $α$ の虚部のほうが大きい）。

外心は実軸上。 $A, B$ は実軸に関して対称、 $O$ は実軸上なので、3点のなす図形は実軸対称である。よって外心も実軸上にあり、 $γ$ は実数である。

$∣ γ ∣ = ∣ γ - α ∣$ 。 両辺を2乗して

γ^{2} = (γ - 2 cos θ)^{2} + s^{2}

すなわち

0 = - 4 γ cos θ + 4 cos^{2} θ + s^{2}

である。 $s^{2} = \frac{1}{tan θ} - 4 cos^{2} θ$ を入れると $4 cos^{2} θ$ が消えて

4 γ cos θ = \frac{1}{tan θ} = \frac{cos θ}{sin θ}

となり、 $cos θ \neq = 0$ で割って

γ = \frac{1}{4 sin θ}

である。

$∣ γ - β ∣$ も同じ値になる（ $β$ は $α$ の共役で $γ$ は実数だから）。だから1本の式だけで決まる。

$θ = 0.05, 0.1, 0.2$ で $γ = \frac{1}{4 s i n θ}$ から $O, A, B$ までの距離を計算すると、どれも小数6桁まで一致した。

$γ$ が実数であることを、対称性から先に言っておく。言わずに $γ = u + v i$ とおくと計算が倍になる。

$s^{2}$ を代入すると $4 cos^{2} θ$ がきれいに消える。ここを展開したままにしないこと。

(1) の範囲では $s > 0$ なので、 $O, A, B$ は一直線上になく、外心がただ1つ定まる。

(3)三角形 $OAC$ が直角三角形になるような $θ$ に対する $tan θ$ の値を求める

答 $tan θ = 4 - 15$

$C$ は外心なので $CO = CA$ 、つまり $△ OAC$ は $C$ を頂点とする二等辺三角形である。だから直角になれるのは頂角 $C$ だけ。 $CO ⊥ CA$ を書き下す。

直角の位置。 $C$ は $O, A, B$ を通る円の中心だから $CO = CA$ （ともに半径）である。よって $△ OAC$ は二等辺三角形で、底角 $∠ COA$ と $∠ CAO$ は等しい。

この2つが直角だと内角の和が $18 0^{\circ}$ を超えてしまうので、直角になりうるのは頂角 $∠ OCA$ だけである。

垂直条件。 $γ$ は実数、 $α = 2 cos θ + s i$ だから

CO = (- γ, 0), CA = (2 cos θ - γ, s)

で、内積が $0$ となる条件は

- γ (2 cos θ - γ) = 0

である。 $γ = \frac{1}{4 sin θ} \neq = 0$ なので

γ = 2 cos θ ⟺ \frac{1}{4 sin θ} = 2 cos θ

すなわち

8 sin θ cos θ = 1 ⟺ 4 sin 2 θ = 1 ⟺ sin 2 θ = \frac{1}{4}

である（(1) の範囲 $sin 2 θ < \frac{1}{2}$ をみたしている）。

$tan θ$ を出す。 $t = tan θ$ とおくと $sin 2 θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ だから

\frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{1}{4} ⟺ t^{2} - 8 t + 1 = 0 ⟺ t = 4 \pm 15

である。 $0 < θ < \frac{π}{12}$ より $0 < t < tan \frac{π}{12} = 2 - 3 = 0.268$ なので、 $4 + 15 = 7.87$ は不適。よって

tan θ = 4 - 15

である（ $0.127$ ほど）。

$sin 2 θ = \frac{1}{4}$ となる $θ = 0.12634$ で $CO \cdot CA = 0$ 、 $γ - 2 cos θ = 0$ となり、 $tan θ = 0.127016654$ 、 $4 - 15 = 0.127016654$ で一致した。

「 $C$ が外心だから $CO = CA$ 」に気づくと、直角の場所が1つに決まる。3通りの場合分けをしなくてよい。

$t = 4 + 15$ を切るのに (1) の範囲を使う。 $tan \frac{π}{12} = 2 - 3$ である。

$sin 2 θ = \frac{1}{4}$ から $θ$ を求める必要はない。 $tan θ$ だけが問われている。

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問題文について

(1)(∗) が実数解をもたないような θ の範囲を求める

(2)(∗) の2つの虚数解を α,β（α の虚部が大きい）とし、A(α),B(β),O(0) を通る円の中心を C(γ) とするとき、γ を θ で表す

(3)三角形 OAC が直角三角形になるような θ に対する tanθ の値を求める

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