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全5問・無料

九州大学　2021年度　前期日程　理科系

九大理系 2021年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　空間図形

内接球・点と平面の距離・球と平面の交わり・2次関数の最大当サイトの体感難易度：標準

(1)四面体 $OABC$ に内接する球の中心の座標を求める

答 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$

3つの面が座標平面なので、中心は $(r, r, r)$ の形になる（ $r$ は半径）。残る面 $ABC$ までの距離も $r$ になるように $r$ を決める。

四面体の4つの面は、 $x y$ 平面（ $O, A, B$ ）、 $y z$ 平面（ $O, B, C$ ）、 $z x$ 平面（ $O, A, C$ ）、そして平面 $ABC$ である。

中心の形。 内接球の中心は四面体の内部にあり、3つの座標平面からの距離がどれも半径 $r$ に等しい。内部では $x, y, z > 0$ だから、中心は $(r, r, r)$ である。

平面 $ABC$ 。 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, 1, 0)$ 、 $C (0, 0, 2)$ を通るので、切片形で

\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 ⟺ 2 x + 2 y + z = 2

である。点 $(r, r, r)$ との距離は

\frac{∣ 2 r + 2 r + r - 2 ∣}{2 ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ 5 r - 2 ∣}{3}

である。内部の点では $2 r + 2 r + r < 2$ （原点側）なので $5 r - 2 < 0$ であり、これが $r$ に等しいとおくと

\frac{2 - 5 r}{3} = r ⟹ 2 - 5 r = 3 r ⟹ r = \frac{1}{4}

である。よって中心は $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ （半径 $\frac{1}{4}$ ）である。

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ から4面までの距離はどれも $0.25$ だった。

$∣ 5 r - 2 ∣$ の絶対値を外すとき、中心が原点と同じ側にあることを使う。 $\frac{5 r - 2}{3} = r$ と外すと $r = - 1$ となって不適。

平面 $ABC$ は $x + y + z = 1$ ではない。 $C$ の $z$ 座標が $2$ なので切片が $2$ になる。

(2)中心の座標がすべて正で3つの座標平面すべてに接する球が平面 $ABC$ と交わるとき、その交わりの円の面積の最大値を求める

答 $\frac{π}{4}$ （半径 $r = \frac{5}{8}$ のとき）

条件から球は中心 $(r, r, r)$ 、半径 $r$ である。平面との距離を $d$ とすると、交わりの円の半径 $ρ$ は $ρ^{2} = r^{2} - d^{2}$ 。これを $r$ の2次関数として最大にする。

3つの座標平面に接し中心の座標がすべて正だから、中心は $(r, r, r)$ 、半径は $r > 0$ である。(1) と同じく、平面 $ABC$ までの距離は

d = \frac{∣ 5 r - 2 ∣}{3}

である。球が平面と交わる条件は $d < r$ で、そのとき交わりは半径 $ρ = r^{2} - d^{2}$ の円になる。面積は

S = π ρ^{2} = π (r^{2} - \frac{( 5 r - 2 ) ^{2}}{9}) = \frac{π}{9} (9 r^{2} - 25 r^{2} + 20 r - 4) = \frac{π}{9} (- 16 r^{2} + 20 r - 4)

である。

最大。 $- 16 r^{2} + 20 r - 4$ は上に凸で、 $r = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$ のとき最大になる。このとき

- 16 \cdot \frac{25}{64} + 20 \cdot \frac{5}{8} - 4 = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 4 = \frac{- 25 + 50 - 16}{4} = \frac{9}{4}

なので

S = \frac{π}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{π}{4}

である。

交わっているか。 $r = \frac{5}{8}$ のとき $d = \frac{\frac{25}{8} - 2}{3} = \frac{9/8}{3} = \frac{3}{8} < \frac{5}{8} = r$ なので、確かに交わっている。

半径

r

に対する交わりの円の面積

S = \frac{π}{9} (- 16 r^{2} + 20 r - 4)

。

S > 0

となるのは

\frac{1}{4} < r < 1

で、

r = \frac{5}{8}

で最大

\frac{π}{4} = 0.785

をとる。両端

r = \frac{1}{4}, 1

では球が平面に接し、円が1点につぶれる。

$r$ を $2$ 万点に刻んで $S$ を計算すると、最大は $r = 0.625$ での $0.785398$ で、 $\frac{π}{4} = 0.785398$ と一致した。

「交わる」条件 $d < r$ を確かめる。最大を与える $r$ がこの範囲に入っていないと答えにならない。

$S$ は $ρ$ ではなく $ρ^{2}$ に比例する。 $ρ$ を最大にする $r$ と同じだが、計算は $ρ^{2}$ のほうが楽である。

(1) の球（ $r = \frac{1}{4}$ ）は平面に接していて、交わりは1点である。 $r = \frac{1}{4}$ は $S = 0$ で、最大ではない。

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第2問　複素数平面

判別式・共役な虚数解・外心・直角三角形当サイトの体感難易度：やや難

(1) $(*)$ が実数解をもたないような $θ$ の範囲を求める

答 $0 < θ < \frac{π}{12}$

判別式が負になる条件を書き、 $sin θ cos θ$ をまとめて $sin 2 θ$ にする。

$(*)$ の判別式を $D$ とすると

\frac{D}{4} = 4 cos^{2} θ - \frac{1}{tan θ} = 4 cos^{2} θ - \frac{cos θ}{sin θ}

である。実数解をもたない条件は $\frac{D}{4} < 0$ である。 $0 < θ < \frac{π}{4}$ では $cos θ > 0$ 、 $sin θ > 0$ なので、両辺を $cos θ > 0$ で割って

4 cos θ < \frac{1}{sin θ} ⟺ 4 sin θ cos θ < 1 ⟺ 2 sin 2 θ < 1

すなわち $sin 2 θ < \frac{1}{2}$ である。 $0 < θ < \frac{π}{4}$ より $0 < 2 θ < \frac{π}{2}$ で、この範囲で $sin$ は増加だから

2 θ < \frac{π}{6} ⟺ θ < \frac{π}{12}

である。よって求める範囲は $0 < θ < \frac{π}{12}$ である。

$θ = \frac{π}{24}$ では $\frac{D}{4} = - 3.66 < 0$ 、 $θ = \frac{π}{12}$ でちょうど $0$ 、 $θ = \frac{π}{8}$ では $1 > 0$ となった。

$sin θ > 0$ を掛けるので不等号の向きは変わらない。 $0 < θ < \frac{π}{4}$ という前提があるおかげである。

$2 sin 2 θ < 1$ であって $sin 2 θ < 1$ ではない。 $4 sin θ cos θ = 2 sin 2 θ$ の係数に注意。

(2) $(*)$ の2つの虚数解を $α, β$ （ $α$ の虚部が大きい）とし、 $A (α), B (β), O (0)$ を通る円の中心を $C (γ)$ とするとき、 $γ$ を $θ$ で表す

答 $γ = \frac{1}{4 sin θ}$

$α, β$ は互いに共役で、実部は $2 cos θ$ である。 $O$ も実軸上にあるので、3点は実軸に関して対称に並び、外心も実軸上にある。あとは $∣ γ ∣ = ∣ γ - α ∣$ を解く。

$(*)$ は実数係数なので、虚数解は互いに共役である。解と係数の関係から和は $4 cos θ$ 、積は $\frac{1}{tan θ}$ だから

α = 2 cos θ + s i, β = 2 cos θ - s i, s = \frac{1}{tan θ} - 4 cos^{2} θ > 0

である（ $α$ の虚部のほうが大きい）。

外心は実軸上。 $A, B$ は実軸に関して対称、 $O$ は実軸上なので、3点のなす図形は実軸対称である。よって外心も実軸上にあり、 $γ$ は実数である。

$∣ γ ∣ = ∣ γ - α ∣$ 。 両辺を2乗して

γ^{2} = (γ - 2 cos θ)^{2} + s^{2}

すなわち

0 = - 4 γ cos θ + 4 cos^{2} θ + s^{2}

である。 $s^{2} = \frac{1}{tan θ} - 4 cos^{2} θ$ を入れると $4 cos^{2} θ$ が消えて

4 γ cos θ = \frac{1}{tan θ} = \frac{cos θ}{sin θ}

となり、 $cos θ \neq = 0$ で割って

γ = \frac{1}{4 sin θ}

である。

$∣ γ - β ∣$ も同じ値になる（ $β$ は $α$ の共役で $γ$ は実数だから）。だから1本の式だけで決まる。

$θ = 0.05, 0.1, 0.2$ で $γ = \frac{1}{4 s i n θ}$ から $O, A, B$ までの距離を計算すると、どれも小数6桁まで一致した。

$γ$ が実数であることを、対称性から先に言っておく。言わずに $γ = u + v i$ とおくと計算が倍になる。

$s^{2}$ を代入すると $4 cos^{2} θ$ がきれいに消える。ここを展開したままにしないこと。

(1) の範囲では $s > 0$ なので、 $O, A, B$ は一直線上になく、外心がただ1つ定まる。

(3)三角形 $OAC$ が直角三角形になるような $θ$ に対する $tan θ$ の値を求める

答 $tan θ = 4 - 15$

$C$ は外心なので $CO = CA$ 、つまり $△ OAC$ は $C$ を頂点とする二等辺三角形である。だから直角になれるのは頂角 $C$ だけ。 $CO ⊥ CA$ を書き下す。

直角の位置。 $C$ は $O, A, B$ を通る円の中心だから $CO = CA$ （ともに半径）である。よって $△ OAC$ は二等辺三角形で、底角 $∠ COA$ と $∠ CAO$ は等しい。

この2つが直角だと内角の和が $18 0^{\circ}$ を超えてしまうので、直角になりうるのは頂角 $∠ OCA$ だけである。

垂直条件。 $γ$ は実数、 $α = 2 cos θ + s i$ だから

CO = (- γ, 0), CA = (2 cos θ - γ, s)

で、内積が $0$ となる条件は

- γ (2 cos θ - γ) = 0

である。 $γ = \frac{1}{4 sin θ} \neq = 0$ なので

γ = 2 cos θ ⟺ \frac{1}{4 sin θ} = 2 cos θ

すなわち

8 sin θ cos θ = 1 ⟺ 4 sin 2 θ = 1 ⟺ sin 2 θ = \frac{1}{4}

である（(1) の範囲 $sin 2 θ < \frac{1}{2}$ をみたしている）。

$tan θ$ を出す。 $t = tan θ$ とおくと $sin 2 θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ だから

\frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{1}{4} ⟺ t^{2} - 8 t + 1 = 0 ⟺ t = 4 \pm 15

である。 $0 < θ < \frac{π}{12}$ より $0 < t < tan \frac{π}{12} = 2 - 3 = 0.268$ なので、 $4 + 15 = 7.87$ は不適。よって

tan θ = 4 - 15

である（ $0.127$ ほど）。

$sin 2 θ = \frac{1}{4}$ となる $θ = 0.12634$ で $CO \cdot CA = 0$ 、 $γ - 2 cos θ = 0$ となり、 $tan θ = 0.127016654$ 、 $4 - 15 = 0.127016654$ で一致した。

「 $C$ が外心だから $CO = CA$ 」に気づくと、直角の場所が1つに決まる。3通りの場合分けをしなくてよい。

$t = 4 + 15$ を切るのに (1) の範囲を使う。 $tan \frac{π}{12} = 2 - 3$ である。

$sin 2 θ = \frac{1}{4}$ から $θ$ を求める必要はない。 $tan θ$ だけが問われている。

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第3問　積分法

すべての t で成り立つ条件・最小値・領域の図示・回転体の体積当サイトの体感難易度：やや難

(1)条件 $(*)$ をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を座標平面上に図示する

答 $x \geq 0$ かつ $y \leq x - x lo g x$ （ $x = 0$ では $y \leq 0$ ）の部分

「すべての $t$ で $y \leq e^{t} - x t$ 」は「 $y \leq min_{t} (e^{t} - x t)$ 」と同じである。 $x$ の符号で場合を分けて最小値を調べる。

$g (t) = e^{t} - x t$ とおく。条件 $(*)$ は「すべての $t$ で $y \leq g (t)$ 」、つまり $y \leq t in f g (t)$ である。

g^{'} (t) = e^{t} - x

で場合を分ける。

$x < 0$ のとき。 $g^{'} (t) = e^{t} - x > 0$ なので $g$ は増加である。 $t \to - \infty$ とすると $e^{t} \to 0$ 、 $- x t \to - \infty$ （ $- x > 0$ で $t \to - \infty$ ）だから $g (t) \to - \infty$ である。下に有界でないので、どんな $y$ をとっても条件をみたさない。

$x = 0$ のとき。 $g (t) = e^{t} > 0$ で、 $t \to - \infty$ のとき $g \to 0$ である。下限は $0$ （到達しない）なので、条件は $y \leq 0$ である。

$x > 0$ のとき。 $g^{'} (t) = 0$ は $t = lo g x$ で、 $g^{'}$ はここで負から正に変わるから $t = lo g x$ で最小になる。最小値は

g (lo g x) = e^{l o g x} - x lo g x = x - x lo g x

である。条件は $y \leq x - x lo g x$ 。

まとめ。 $x \to + 0 lim (x - x lo g x) = 0$ （与えられた $lim_{x \to + 0} x lo g x = 0$ による）なので、 $x = 0$ の場合も同じ式で書ける。よって求める集合は

{(x, y) ∣ x \geq 0, y \leq x - x lo g x}

である（境界を含む）。

境界の曲線

y = x - x lo g x = x (1 - lo g x)

。

x = 1

で最大値

1

、

x = e

で

0

になり、それより右では負。条件

(*)

をみたすのは、

x \geq 0

でこの曲線以下の部分（曲線を含む）である。

x < 0

には1点もない。

$x$ を $2$ 万通りランダムにとって $min_{t} (e^{t} - x t)$ を数値で求めると、 $x - x lo g x$ と $1 0^{- 6}$ 以内で一致した。 $x = - 1$ では $t = - 59$ で $- 59$ まで下がり、下に有界でないことが見てとれる。

「すべての $t$ で成り立つ」は「最小値以下」と読み替える。 $t$ を固定して考えない。

$x < 0$ では下に有界でないので、 $x < 0$ の点は1つも入らない。ここを落とすと領域が左に広がってしまう。

$x = 0$ は最小値が存在せず下限が $0$ （到達しない）。それでも $y \leq 0$ が条件になる。

(2) $(*)$ をみたす点のうち $x \geq 1$ かつ $y \geq 0$ のもの全体を $S$ とし、 $S$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める

答 $\frac{π ( 2 e ^{3} - 17 )}{27}$

$S$ は $1 \leq x \leq e$ 、 $0 \leq y \leq x (1 - lo g x)$ の領域である。体積は $π \int_{1}^{e} {x (1 - lo g x)}^{2} d x$ で、 $u = 1 - lo g x$ と置換すると $e^{3} \int_{0}^{1} u^{2} e^{- 3 u} d u$ になる。

$S$ の形。 (1) より条件は $y \leq x (1 - lo g x)$ である。これと $y \geq 0$ が両立するには $x (1 - lo g x) \geq 0$ 、 $x \geq 1 > 0$ より $lo g x \leq 1$ 、すなわち $x \leq e$ である。よって

S = {(x, y) ∣ 1 \leq x \leq e, 0 \leq y \leq x (1 - lo g x)}

である。

体積。

V = π \int_{1}^{e} {x (1 - lo g x)}^{2} d x = π \int_{1}^{e} x^{2} (1 - lo g x)^{2} d x

である。 $u = 1 - lo g x$ とおくと $x = e^{1 - u}$ 、 $d x = - e^{1 - u} d u$ で、 $x : 1 \to e$ のとき $u : 1 \to 0$ 。よって

\int_{1}^{e} x^{2} (1 - lo g x)^{2} d x = \int_{1}^{0} e^{2 (1 - u)} u^{2} (- e^{1 - u}) d u = \int_{0}^{1} e^{3 (1 - u)} u^{2} d u = e^{3} \int_{0}^{1} u^{2} e^{- 3 u} d u

となる。

部分積分2回。

\int u^{2} e^{- 3 u} d u = - \frac{1}{3} u^{2} e^{- 3 u} - \frac{2}{9} u e^{- 3 u} - \frac{2}{27} e^{- 3 u} + const.

なので

\int_{0}^{1} u^{2} e^{- 3 u} d u = (- \frac{1}{3} - \frac{2}{9} - \frac{2}{27}) e^{- 3} - (- \frac{2}{27}) = - \frac{17}{27} e^{- 3} + \frac{2}{27} = \frac{2 - 17 e ^{- 3}}{27}

である。したがって

V = π \cdot e^{3} \cdot \frac{2 - 17 e ^{- 3}}{27} = \frac{π ( 2 e ^{3} - 17 )}{27}

である（ $2.696$ ほど）。

$π \int_{1}^{e} {x (1 - lo g x)}^{2} d x$ を $40$ 万点のシンプソン法で計算すると $2.69607687$ となり、 $\frac{π ( 2 e ^{3} - 17 )}{27} = 2.69607687$ と一致した。

$x$ の上端が $e$ であることを、 $y \geq 0$ から導く。 $x \geq 1$ だけでは領域が決まらない。

$u = 1 - lo g x$ の置換で $x^{2} d x$ が $e^{3 (1 - u)} d u$ にまとまる。 $x^{2} = e^{2 (1 - u)}$ と $d x = - e^{1 - u} d u$ の両方を使う。

$- \frac{1}{3} - \frac{2}{9} - \frac{2}{27} = - \frac{9 + 6 + 2}{27} = - \frac{17}{27}$ である。通分を間違えない。

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第4問　複素数平面

平均値の定理の類似・整式の微分・偏角・反例当サイトの体感難易度：難

(1) $n = 2$ のとき、どのような $α, β, f (x)$ も平均値の性質をもつことを示す

答 $γ = \frac{α + β}{2}$ （線分の中点）がとれる

2次式なら左辺も右辺も $γ$ の1次式になるので、 $γ$ について解くだけである。出てきた点が線分上にあることを確かめる。

$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ （ $a_{2} \neq = 0$ ）とする。

\frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = \frac{a _{2} ( β ^{2} - α ^{2} ) + a _{1} ( β - α )}{β - α} = a_{2} (α + β) + a_{1}

である（ $α \neq = β$ なので割ってよい）。一方 $f^{'} (x) = 2 a_{2} x + a_{1}$ だから

f^{'} (γ) = 2 a_{2} γ + a_{1}

である。2つを等しいとおくと $2 a_{2} γ = a_{2} (α + β)$ 、 $a_{2} \neq = 0$ より

γ = \frac{α + β}{2}

である。これは線分 $α β$ の中点なので、確かに線分上にある。よって $n = 2$ なら、 $α, β, f$ が何であっても平均値の性質をもつ。

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ 、 $α = 1 + 2 i$ 、 $β = - 3 + i$ で探すと $γ = - 1 + 1.5 i$ となり、中点 $\frac{α + β}{2} = - 1 + 1.5 i$ と一致した。

「線分上にある」ことまで言う。 $γ$ が存在するだけでは条件をみたさない。中点ならこれは明らかである。

$a_{2} \neq = 0$ （ $n = 2$ だから最高次係数は $0$ でない）を使って割る。

(2) $α = 1 - i$ 、 $β = 1 + i$ 、 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が平均値の性質をもつための、実数 $a, b, c$ に関する必要十分条件を求める

答 $a = - 3$ （ $b, c$ は任意の実数）

線分は $γ = 1 + s i$ （ $- 1 \leq s \leq 1$ ）と書ける。左辺を計算すると実数になるので、 $f^{'} (γ)$ の虚部が $0$ 、実部が一致、という2本の式になる。

左辺。 $β - α = 2 i$ 、 $β^{2} - α^{2} = 2 i - (- 2 i) = 4 i$ 、 $β^{3} - α^{3} = (- 2 + 2 i) - (- 2 - 2 i) = 4 i$ なので

\frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = \frac{4 i + 4 ai + 2 bi}{2 i} = 2 + 2 a + b

である（実数）。

右辺。 線分 $α β$ は $γ = 1 + s i$ （ $- 1 \leq s \leq 1$ ）と書ける。 $γ^{2} = 1 - s^{2} + 2 s i$ だから

f^{'} (γ) = 3 γ^{2} + 2 aγ + b = 3 (1 - s^{2}) + 2 a + b + i (6 s + 2 a s)

である。

2つを等しいとおく。

虚部： $s (6 + 2 a) = 0$
実部： $3 - 3 s^{2} + 2 a + b = 2 + 2 a + b$ 、すなわち $s^{2} = \frac{1}{3}$

実部の式から $s = \pm \frac{1}{3} \neq = 0$ である。すると虚部の式から $6 + 2 a = 0$ 、つまり

a = - 3

でなければならない。逆に $a = - 3$ なら $s = \pm \frac{1}{3}$ が両方の式をみたし、 $∣ s ∣ = \frac{1}{3} = 0.577 \leq 1$ だから $γ = 1 \pm \frac{i}{3}$ は線分上にある。

よって求める必要十分条件は $a = - 3$ （ $b, c$ は何でもよい）である。

$b = 2$ 、 $c = 1$ として線分上で $∣ f^{'} (γ) - 左辺 ∣$ の最小を $40$ 万点で調べると、 $a = - 3$ では $s = \pm 0.577350$ で $9 \times 1 0^{- 7}$ まで落ち、 $a = - 2, 0, 1$ ではそれぞれ $0.94, 1.00, 1.00$ までしか下がらなかった。

$∣ s ∣ \leq 1$ の確認を忘れない。 $γ$ が線分の外に出ていたら条件をみたさない。

$c$ は $f (β) - f (α)$ でも $f^{'}$ でも消えるので、まったく効かない。

実部の式から先に $s^{2} = \frac{1}{3}$ が決まり、 $s \neq = 0$ が分かる。だから虚部の式は $a = - 3$ を強制する。順序を逆にすると場合分けが増える。

(3) $α = \frac{1 - i}{2}$ 、 $β = \frac{1 + i}{2}$ 、 $f (x) = x^{7}$ が平均値の性質をもたないことを示す

答左辺は $- 1$ だが、線分上で $7 γ^{6} = - 1$ となる $γ$ は偏角から $\pm \frac{π}{6}$ 方向に限られ、そのとき $γ^{6} = \frac{8}{27} \neq = - \frac{1}{7}$

$α, β$ は $e^{\mp iπ /4}$ なので、左辺が簡単に $- 1$ と出る。 $7 γ^{6} = - 1$ は「 $γ^{6}$ が負の実数」を要求するので、 $γ$ の偏角が $\frac{π}{6}$ の奇数倍に限られる。線分上ではこの条件と大きさが両立しない。

左辺。 $α = cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4})$ 、 $β = cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}$ である。ド・モアブルより

β^{7} = cos \frac{7 π}{4} + i sin \frac{7 π}{4} = \frac{1 - i}{2} = α, α^{7} = β

なので

\frac{β ^{7} - α ^{7}}{β - α} = \frac{α - β}{β - α} = - 1

である。

右辺。 $f^{'} (x) = 7 x^{6}$ なので、平均値の性質をもつには線分上に

7 γ^{6} = - 1, すなわち γ^{6} = - \frac{1}{7}

をみたす $γ$ が必要である。

偏角で絞る。 $γ = r (cos φ + i sin φ)$ （ $r > 0$ ）とすると $γ^{6} = r^{6} (cos 6 φ + i sin 6 φ)$ である。これが負の実数 $- \frac{1}{7}$ になるには

cos 6 φ = - 1 ⟺ 6 φ = π + 2 k π ⟺ φ = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}

が必要である。

一方、線分 $α β$ は実部が $\frac{1}{2}$ の縦線分で、 $γ = \frac{1}{2} + s i$ （ $∣ s ∣ \leq \frac{1}{2}$ ）と書ける。このとき $∣ φ ∣ \leq \frac{π}{4}$ である。上の候補でこの範囲に入るのは $φ = \pm \frac{π}{6}$ だけである。

大きさが合わない。 $φ = \pm \frac{π}{6}$ のとき $r cos \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ より

r = \frac{1/ 2}{3 /2} = \frac{2}{6}, r^{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, r^{6} = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}

である。よってこの $γ$ では

γ^{6} = - \frac{8}{27} \neq = - \frac{1}{7}

である（ $8 \cdot 7 = 56 \neq = 27$ ）。したがって線分上に $γ^{6} = - \frac{1}{7}$ をみたす点はなく、 $α, β, f$ は平均値の性質をもたない。

線分上を $40$ 万点に刻んで $7 γ^{6} - (- 1)$ を計算すると、最小でも $0.848$ で $0$ に届かなかった。

$β^{7} = α$ 、 $α^{7} = β$ に気づくと左辺が一気に $- 1$ になる。 $\frac{7 π}{4}$ と $- \frac{π}{4}$ が同じ偏角である。

「偏角で候補を絞ってから大きさを見る」の順にする。大きさだけ見ると $7^{- 1/6} = 0.723$ が $∣ γ ∣$ のとりうる範囲 $[\frac{1}{2}, 1] = [0.707, 1]$ に入ってしまい、矛盾が出ない。

線分上では実部が $\frac{1}{2}$ に固定される。これが $r$ と $φ$ を結びつける式になる。

第4問だけのページ

第5問　整数

二項係数・単調性・素数・階乗の素因数当サイトの体感難易度：やや難

(1)自然数 $n, k$ が $2 \leq k \leq n - 2$ をみたすとき $_{n} C_{k} > n$ であることを示す

答 $_{n} C_{k} \geq_{n} C_{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} > n$ （ $n \geq 4$ だから）

$2 \leq k \leq n - 2$ の範囲では $_{n} C_{k}$ が両端の $_{n} C_{2} =_{n} C_{n - 2}$ で最小になる。これは隣り合う二項係数の比を見れば分かる。

まず $2 \leq k \leq n - 2$ となるには $n \geq 4$ が必要である。

真ん中へ行くほど大きい。 $1 \leq k \leq n$ で

\frac{_{n} C _{k}}{_{n} C _{k - 1}} = \frac{n - k + 1}{k}

であり、これが $1$ より大きいのは $n - k + 1 > k$ 、すなわち $k < \frac{n + 1}{2}$ のときである。よって $_{n} C_{k}$ は $k$ が $\frac{n + 1}{2}$ に達するまで増え続ける。とくに $2 \leq k \leq \frac{n}{2}$ では

_{n} C_{k} \geq_{n} C_{2}

である。 $\frac{n}{2} < k \leq n - 2$ のときは $_{n} C_{k} =_{n} C_{n - k}$ で、 $2 \leq n - k < \frac{n}{2}$ だから同じ評価が使える。

評価。

_{n} C_{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

で、 $n \geq 4$ より $n - 1 \geq 3 > 2$ だから

_{n} C_{2} = n \cdot \frac{n - 1}{2} > n

である。合わせて $_{n} C_{k} \geq_{n} C_{2} > n$ が示された。

$4 \leq n \leq 59$ 、 $2 \leq k \leq n - 2$ のすべてで $_{n} C_{k} > n$ だった。

$2 \leq k \leq n - 2$ から $n \geq 4$ が出る。これがないと $\frac{n - 1}{2} > 1$ が言えない。

$_{n} C_{k} =_{n} C_{n - k}$ の対称性を使って、 $k$ が後半にある場合も前半に帰着させる。

(2) $p$ を素数とするとき、 $k \leq n$ をみたす自然数の組 $(n, k)$ で $_{n} C_{k} = p$ となるものをすべて求める

答 $(n, k) = (p, 1)$ と $(p, p - 1)$ （ $p = 2$ のときは一致して $(2, 1)$ のみ）

$k = 1$ 、 $k = n$ 、 $k = n - 1$ を直接調べ、残る $2 \leq k \leq n - 2$ は (1) を使って潰す。 $_{n} C_{k} > n$ なら $p > n$ で、 $p$ は $n!$ を割り切れない。

$k$ の位置で場合を分ける。

$k = n$ ： $_{n} C_{n} = 1$ で素数でない。×
$k = 1$ ： $_{n} C_{1} = n$ なので $n = p$ 。 $(n, k) = (p, 1)$ 。◯
$k = n - 1$ ： $_{n} C_{n - 1} = n$ なので $n = p$ 。 $k = p - 1 \geq 1$ だから $(n, k) = (p, p - 1)$ 。◯

$2 \leq k \leq n - 2$ は不可能。 このとき (1) より

p =_{n} C_{k} > n

である。一方、 $_{n} C_{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = p$ より

n! = p \cdot k! (n - k)!

なので、 $p$ は $n!$ を割り切る。しかし $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ の因数はどれも $n$ 以下であり、 $p$ は $n$ より大きい素数だから、どの因数も割り切れない。素数の性質より $p$ は $n!$ を割り切れず、矛盾する。

まとめ。 求める組は

(n, k) = (p, 1), (n, k) = (p, p - 1)

である。ただし $p = 2$ のときは $p - 1 = 1$ なので2つは同じ組 $(2, 1)$ になる。

$1 \leq n \leq 299$ 、 $1 \leq k \leq n$ を全探索すると、 $_{n} C_{k}$ が素数になるのは $p = 2$ で $(2, 1)$ 、 $p = 3$ で $(3, 1), (3, 2)$ 、 $p = 5$ で $(5, 1), (5, 4)$ 、… と、どれも予想どおりだった。

「 $p > n$ なら $p ∤ n!$ 」が決め手である。素数が積を割るならどれかの因数を割る、という性質を使う。

$k = n - 1$ の場合を忘れない。 $p \geq 3$ では $(p, 1)$ と $(p, p - 1)$ は別の組である。

$p = 2$ では2つが一致する。答えに「ただし」を添えておくと丁寧である。

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問題文について

(1)四面体 OABC に内接する球の中心の座標を求める

(2)中心の座標がすべて正で3つの座標平面すべてに接する球が平面 ABC と交わるとき、その交わりの円の面積の最大値を求める

(1)(∗) が実数解をもたないような θ の範囲を求める

(2)(∗) の2つの虚数解を α,β（α の虚部が大きい）とし、A(α),B(β),O(0) を通る円の中心を C(γ) とするとき、γ を θ で表す

(3)三角形 OAC が直角三角形になるような θ に対する tanθ の値を求める

(1)条件 (∗) をみたす点 (x,y) 全体の集合を座標平面上に図示する

(2)(∗) をみたす点のうち x≥1 かつ y≥0 のもの全体を S とし、S を x 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める

(1)n=2 のとき、どのような α,β,f(x) も平均値の性質をもつことを示す

(2)α=1−i、β=1+i、f(x)=x3+ax2+bx+c が平均値の性質をもつための、実数 a,b,c に関する必要十分条件を求める

(3)α=2​1−i​、β=2​1+i​、f(x)=x7 が平均値の性質をもたないことを示す

(1)自然数 n,k が 2≤k≤n−2 をみたすとき n​Ck​>n であることを示す

(2)p を素数とするとき、k≤n をみたす自然数の組 (n,k) で n​Ck​=p となるものをすべて求める

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(1) $(*)$ が実数解をもたないような $θ$ の範囲を求める

(2) $(*)$ の2つの虚数解を $α, β$ （ $α$ の虚部が大きい）とし、 $A (α), B (β), O (0)$ を通る円の中心を $C (γ)$ とするとき、 $γ$ を $θ$ で表す

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(2) $α = 1 - i$ 、 $β = 1 + i$ 、 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が平均値の性質をもつための、実数 $a, b, c$ に関する必要十分条件を求める

(3) $α = \frac{1 - i}{2}$ 、 $β = \frac{1 + i}{2}$ 、 $f (x) = x^{7}$ が平均値の性質をもたないことを示す

(1)自然数 $n, k$ が $2 \leq k \leq n - 2$ をみたすとき $_{n} C_{k} > n$ であることを示す

(2) $p$ を素数とするとき、 $k \leq n$ をみたす自然数の組 $(n, k)$ で $_{n} C_{k} = p$ となるものをすべて求める