第4問 複素数平面の解答・解説

$f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$（$a_2\ne 0$）とする。

である（$\alpha \ne \beta$ なので割ってよい）。一方 $f^{\prime }(x)=2a_{2}x+a_1$ だから

である。2つを等しいとおくと $2a_2\gamma =a_2(\alpha +\beta )$、$a_2\ne 0$ より

である。これは線分 $\alpha \beta$ の中点なので、確かに線分上にある。よって $n=2$ なら、$\alpha ,\beta ,f$ が何であっても平均値の性質をもつ。

左辺。 $\beta -\alpha =2i$、${\beta }^2-{\alpha }^2=2i-(-2i)=4i$、${\beta }^3-{\alpha }^3=(-2+2i)-(-2-2i)=4i$ なので

である（実数）。

右辺。 線分 $\alpha \beta$ は $\gamma =1+si$（$-1\le s\le 1$）と書ける。${\gamma }^2=1-s^2+2si$ だから

である。

2つを等しいとおく。

1. 虚部：$s\left(6+2a\right)=0$
2. 実部：$3-3s^2+2a+b=2+2a+b$、すなわち $s^2=\frac{1}{3}$

実部の式から $s=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\ne 0$ である。すると虚部の式から $6+2a=0$、つまり

でなければならない。逆に $a=-3$ なら $s=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ が両方の式をみたし、$\left|s\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=0.577\le 1$ だから $\gamma =1\pm \frac{i}{\sqrt{3}}$ は線分上にある。

よって求める必要十分条件は $a=-3$（$b,c$ は何でもよい）である。

左辺。 $\alpha =\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$、$\beta =\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$ である。ド・モアブルより

なので

である。

右辺。 $f^{\prime }(x)=7x^6$ なので、平均値の性質をもつには線分上に

をみたす $\gamma$ が必要である。

偏角で絞る。 $\gamma =r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)$（$r>0$）とすると ${\gamma }^6=r^6\left(\cos 6\phi +i\sin 6\phi \right)$ である。これが負の実数 $-\frac{1}{7}$ になるには

が必要である。

一方、線分 $\alpha \beta$ は実部が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の縦線分で、$\gamma =\frac{1}{\sqrt{2}}+si$（$\left|s\right|\le \frac{1}{\sqrt{2}}$）と書ける。このとき $\left|\phi \right|\le \frac{\pi }{4}$ である。上の候補でこの範囲に入るのは $\phi =\pm \frac{\pi }{6}$ だけである。

大きさが合わない。 $\phi =\pm \frac{\pi }{6}$ のとき $r\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ より

である。よってこの $\gamma$ では

である（$8\cdot 7=56\ne 27$）。したがって線分上に ${\gamma }^6=-\frac{1}{7}$ をみたす点はなく、$\alpha ,\beta ,f$ は平均値の性質をもたない。