第5問積分法の解答・解説

立体の切り口・体積・回転体・最大最小の半径当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $- 1 \leq t \leq 1$ のとき、平面 $x = t$ で $T$ を切った断面積 $S (t)$ と、 $T$ の体積を求める

答 $S (t) = 4 1 - t^{2}$ 、体積は $2 π$

まず分ける平面の式を出す。 $x$ 軸を含む平面は $α y + β z = 0$ の形で、 $(0, 2, 2)$ を通ることから $z = y$ と決まる。 $T$ は $0 \leq z \leq y$ の側である。

$E$ と分ける平面。 $E$ は

E = {(x, y, z) x^{2} + (y - 2)^{2} \leq 1, 0 \leq z \leq 3}

である。 $x$ 軸（ $y = z = 0$ ）を含む平面は $α y + β z = 0$ と書ける。 $(0, 2, 2)$ を通るので $2 α + 2 β = 0$ 、 $β = - α$ 。よって平面は

z = y

である。 $D$ （ $z = 0$ の円）では $y \geq 1 > 0 = z$ なので、 $D$ を含むのは $z \leq y$ の側である。また円板上では $y \leq 3$ なので $z \leq y \leq 3$ となり、 $z \leq 3$ の条件は自動的にみたされる。したがって

T = {(x, y, z) x^{2} + (y - 2)^{2} \leq 1, 0 \leq z \leq y}

である。

断面積。 $x = t$ で切ると、 $(y - 2)^{2} \leq 1 - t^{2}$ より $y$ は $2 - s \leq y \leq 2 + s$ （ $s = 1 - t^{2}$ ）を動く。各 $y$ に対して $z$ は $0$ から $y$ まで。よって

S (t) = \int_{2 - s}^{2 + s} y d y = [\frac{y ^{2}}{2}]_{2 - s}^{2 + s} = \frac{( 2 + s ) ^{2} - ( 2 - s ) ^{2}}{2} = \frac{8 s}{2} = 4 s

すなわち

S (t) = 4 1 - t^{2}

である。

体積。

V = \int_{- 1}^{1} 4 1 - t^{2} d t = 4 \cdot \frac{π}{2} = 2 π

である（ $\int_{- 1}^{1} 1 - t^{2} d t$ は半径 $1$ の半円の面積 $\frac{π}{2}$ ）。

$S (t) = 4 s$ は「幅 $2 s$ × 高さ（ $y$ の平均 $2$ ）」とも読める。断面の台形は上底 $2 - s$ 、下底 $2 + s$ 、幅 $2 s$ の台形で、面積は $\frac{( 2 - s ) + ( 2 + s )}{2} \cdot 2 s = 4 s$ である。

$S (t) = 4 1 - t^{2}$ を数値積分すると $6.2831853$ で、 $2 π = 6.2831853$ と一致した。

「 $x$ 軸を含む平面」なので、平面の式に $x$ が入らない。 $α y + β z = 0$ から始める。

$T$ がどちら側かは $D$ （ $z = 0$ の円板）が入るかで決める。 $z \leq y$ の側である。

$z \leq 3$ は効かない。円板上で $y \leq 3$ だから、 $z \leq y \leq 3$ が自動で成り立つ。

(2) $T$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求める

答 $\frac{28 π}{3} + 6 π^{2}$

$x = t$ での断面（ $y z$ 平面内の台形）を原点のまわりに回すと、原点からの距離の最小・最大で決まる円環になる。領域はつながっているので、その間の距離はすべて現れる。

$x = t$ での $T$ の断面は、 $y z$ 平面内の

K_{t} = {(y, z) ∣ 2 - s \leq y \leq 2 + s, 0 \leq z \leq y} (s = 1 - t^{2})

という台形である。 $x$ 軸のまわりの回転は、この平面内で原点のまわりに回すことに当たるので、回転後の断面は「 $K_{t}$ に現れる原点からの距離 $r = y^{2} + z^{2}$ の値」で決まる。 $K_{t}$ は連結だから、 $r$ の値は最小から最大まですべて現れ、断面は円環になる。

最小。 $z \geq 0$ より $r \geq y \geq 2 - s$ で、 $(y, z) = (2 - s, 0)$ で $r = 2 - s$ 。よって $r_{m i n} = 2 - s$ 。

最大。 $z \leq y \leq 2 + s$ より $r^{2} = y^{2} + z^{2} \leq 2 y^{2} \leq 2 (2 + s)^{2}$ で、 $(y, z) = (2 + s, 2 + s)$ で等号。よって $r_{m a x} = 2 (2 + s)$ 。