第3問空間ベクトルの解答・解説

中点連結・等面四面体・内積・外接球当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)直線 $OB$ と直線 $CA$ のなす角 $θ$ を求める

答 $θ = \frac{π}{3}$

$a = OA$ などとおくと、3直線の方向は $b + c - a$ 、 $c + a - b$ 、 $a + b - c$ である。これらを $u, v, w$ と呼んで主役にすると、辺の長さがすべて $∣ u ∣, ∣ v ∣, ∣ w ∣$ で書ける。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおく。 $ℓ$ は $\frac{a}{2}$ と $\frac{b + c}{2}$ を通るので、方向は

u = b + c - a, v = c + a - b, w = a + b - c

がそれぞれ $ℓ, m, n$ の方向である。

逆に解く。 $v + w = 2 a$ 、 $w + u = 2 b$ 、 $u + v = 2 c$ なので

a = \frac{v + w}{2}, b = \frac{w + u}{2}, c = \frac{u + v}{2}

である。

辺の長さ。 仮定より $u, v, w$ は互いに直交する。 $U = ∣ u ∣$ などとおくと

AB^{2} BC^{2} = b - a^{2} = \frac{u - v}{2}^{2} = \frac{U ^{2} + V ^{2}}{4} = \frac{v - w}{2}^{2} = \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4}, CA^{2} = \frac{W ^{2} + U ^{2}}{4}

である。与えられた値を入れると

U^{2} + V^{2} = 20, V^{2} + W^{2} = 12, W^{2} + U^{2} = 16

となる。3本を足して $2 (U^{2} + V^{2} + W^{2}) = 48$ 、すなわち $U^{2} + V^{2} + W^{2} = 24$ 。よって

U^{2} = 12, V^{2} = 8, W^{2} = 4

である。

なす角。

b = \frac{w + u}{2}, CA = a - c = \frac{v + w}{2} - \frac{u + v}{2} = \frac{w - u}{2}

なので、直交性から

b \cdot CA = \frac{( w + u ) \cdot ( w - u )}{4} = \frac{W ^{2} - U ^{2}}{4} = \frac{4 - 12}{4} = - 2

である。また $b = \frac{W ^{2} + U ^{2}}{2} = \frac{16}{2} = 2$ 、 $CA = 2$ だから

cos ∠ (b, CA) = \frac{- 2}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{2}

である。ベクトルのなす角は $12 0^{\circ}$ だが、直線のなす角は $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ の側をとるので

θ = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

である。

$OA^{2} = \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4} = 3 = BC^{2}$ 、 $OB = CA = 2$ 、 $OC = AB = 5$ となっている。向かい合う辺の長さが等しい四面体（等面四面体）である。3本の中点を結ぶ直線が互いに直交する、という条件がこれを生んでいる。

$u = (12, 0, 0)$ 、 $v = (0, 8, 0)$ 、 $w = (0, 0, 2)$ として $A, B, C$ を作ると、 $AB = 2.236068 = 5$ 、 $BC = 1.732051 = 3$ 、 $CA = 2$ で条件どおり、 $ℓ, m, n$ の内積もすべて $0$ 、 $OB$ と $CA$ のなす角は $60.00000 0^{\circ}$ だった。

$u, v, w$ を主役にすると、 $a, b, c$ も辺の長さもすべて $U, V, W$ で書ける。 $a, b, c$ のままだと内積が6個出てきて収拾がつかない。

「直線のなす角」は $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ にとる。内積が負でも $18 0^{\circ}$ から引く。

$ℓ ⊥ m$ などの条件は $u \cdot v = 0$ などであって、 $a \cdot b = 0$ ではない。

(2)四面体 $OABC$ の4つの頂点をすべて通る球の半径を求める

答 $\frac{6}{2}$

$u, v, w$ の方向を座標軸にとると、4頂点の座標が簡単に書ける。外心を $(x, y, z)$ とおいて4点から等距離という条件を解く。

$u, v, w$ は互いに直交するので、これらの方向を座標軸にとって

u = (U, 0, 0), v = (0, V, 0), w = (0, 0, W)

としてよい。すると

O (0, 0, 0), A (0, \frac{V}{2}, \frac{W}{2}), B (\frac{U}{2}, 0, \frac{W}{2}), C (\frac{U}{2}, \frac{V}{2}, 0)

である。

外心。 中心を $P (x, y, z)$ とする。 $PO = PA$ は $∣ P ∣^{2} = ∣ P - A ∣^{2}$ 、展開して $2 P \cdot A = ∣ A ∣^{2}$ である。 $X = xU$ 、 $Y = y V$ 、 $Z = z W$ とおくと

Y + Z = \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4}, X + Z = \frac{U ^{2} + W ^{2}}{4}, X + Y = \frac{U ^{2} + V ^{2}}{4}

となる。3本を足すと $X + Y + Z = \frac{U ^{2} + V ^{2} + W ^{2}}{4} = \frac{24}{4} = 6$ だから

X = 6 - \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4} = 3, Y = 6 - \frac{U ^{2} + W ^{2}}{4} = 2, Z = 6 - \frac{U ^{2} + V ^{2}}{4} = 1

である。

半径。 $R^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{X ^{2}}{U ^{2}} + \frac{Y ^{2}}{V ^{2}} + \frac{Z ^{2}}{W ^{2}}$ なので

R^{2} = \frac{9}{12} + \frac{4}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}

すなわち

R = \frac{3}{2} = \frac{6}{2}

である（ $1.2247$ ほど）。

$X = \frac{U ^{2}}{4}$ 、 $Y = \frac{V ^{2}}{4}$ 、 $Z = \frac{W ^{2}}{4}$ なので $P = (\frac{U}{4}, \frac{V}{4}, \frac{W}{4})$ で、これは4頂点の重心である。等面四面体では外心と重心が一致する。向かい合う辺が $p, q, r$ なら $R = \frac{p ^{2} + q ^{2} + r ^{2}}{2 2} = \frac{5 + 3 + 4}{2 2} = \frac{6}{2}$ とも書ける。