第2問整式の解答・解説

1 の原始6乗根・因数分解・合同式・中国剰余定理当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $c, d$ を $a, b$ を用いて表す

答 $c = 1 - b$ 、 $d = a + b$

$\frac{1 + 3 i}{2}$ は $x^{2} - x + 1 = 0$ の解である。係数が整数（とくに実数）なので $f (x)$ は $x^{2} - x + 1$ で割り切れる。商を $x^{2} + p x + q$ とおいて係数を比べる。

$ω = \frac{1 + 3 i}{2}$ とおく。 $ω$ は

x^{2} - x + 1 = 0

の解である（ $ω = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}$ 、和 $1$ ・積 $1$ の2解の一方）。 $f$ の係数は実数なので、 $ω$ が解なら共役 $\overset{ω}{ˉ}$ も解である。よって $f (x)$ は $(x - ω) (x - \overset{ω}{ˉ}) = x^{2} - x + 1$ で割り切れる。

商を $x^{2} + p x + q$ とおくと

f (x) = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + p x + q) = x^{4} + (p - 1) x^{3} + (q - p + 1) x^{2} + (p - q) x + q

である。係数を比べて

a = p - 1, b = q - p + 1, c = p - q, d = q

となる。1本目から $p = a + 1$ 、2本目に入れて $q = b + p - 1 = a + b$ 。よって

c = p - q = (a + 1) - (a + b) = 1 - b, d = q = a + b

である。

$c = 1 - b$ 、 $d = a + b$ とすると、 $a, b$ を何にとっても $f (ω) = 0$ になることを数値で確かめた。

$ω$ は1の原始6乗根で、最小多項式は $x^{2} - x + 1$ である。 $x^{2} + x + 1$ （原始3乗根）と取り違えない。

「係数が実数だから共役も解」を根拠にする。 $a, b, c, d$ が整数という条件はここでは実数であれば足りる。

(2) $f (1)$ を $7$ で割ると $1$ 、 $11$ で割ると $10$ 余り、 $f (- 1)$ を $7$ で割ると $3$ 、 $11$ で割ると $10$ 余るとする。 $∣ a ∣ \leq 40$ 、 $∣ b ∣ \leq 40$ のとき $f (x) = 0$ の解をすべて求める

答 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}, x = \frac{- 7 \pm 91 i}{2}$

(1) を使って $f (1)$ 、 $f (- 1)$ を $a, b$ だけで書く。 $f (- 1) = 3 b$ となるので $b$ が先に決まり、続いて $a$ が決まる。

(1) より $c = 1 - b$ 、 $d = a + b$ なので

f (1) f (- 1) = 1 + a + b + c + d = 1 + a + b + (1 - b) + (a + b) = 2 a + b + 2 = 1 - a + b - c + d = 1 - a + b - (1 - b) + (a + b) = 3 b

である。

$b$ を決める。 $f (- 1) = 3 b$ の条件から

3 b \equiv 3 (mod 7), 3 b \equiv 10 (mod 11)

である。1本目は $3$ と $7$ が互いに素なので $b \equiv 1 (mod 7)$ 。2本目は $3 \cdot 4 = 12 \equiv 1 (mod 11)$ より両辺を $4$ 倍して $b \equiv 40 \equiv 7 (mod 11)$ 。

$b = 1 + 7 k$ とおいて $1 + 7 k \equiv 7 (mod 11)$ 、 $7 k \equiv 6$ 。 $7 \cdot 8 = 56 \equiv 1 (mod 11)$ より $k \equiv 48 \equiv 4 (mod 11)$ 。 $k = 4$ で $b = 29$ だから

b \equiv 29 (mod 77)

である。 $∣ b ∣ \leq 40$ をみたすのは $b = 29$ だけである（次は $29 - 77 = - 48$ で範囲外）。

$a$ を決める。 $f (1) = 2 a + 29 + 2 = 2 a + 31$ で

2 a + 31 \equiv 1 (mod 7), 2 a + 31 \equiv 10 (mod 11)

である。 $31 \equiv 3 (mod 7)$ より $2 a \equiv - 2 \equiv 5 (mod 7)$ 、 $2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 (mod 7)$ より $a \equiv 20 \equiv 6 (mod 7)$ 。 $31 \equiv 9 (mod 11)$ より $2 a \equiv 1 (mod 11)$ 、 $2 \cdot 6 = 12 \equiv 1$ より $a \equiv 6 (mod 11)$ 。

$a \equiv 6$ が法 $7$ でも法 $11$ でも成り立つので $a \equiv 6 (mod 77)$ 。 $∣ a ∣ \leq 40$ より $a = 6$ である。

解を求める。 $a = 6$ 、 $b = 29$ なので

c = 1 - 29 = - 28, d = 6 + 29 = 35, p = a + 1 = 7, q = a + b = 35

である。よって

f (x) = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + 7 x + 35)

で、 $x^{2} + 7 x + 35 = 0$ の判別式は $49 - 140 = - 91$ だから

x = \frac{1 \pm 3 i}{2}, x = \frac{- 7 \pm 91 i}{2}

の4つが解である。

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 40$ の整数を全探索すると、4つの合同条件をみたすのは $(a, b) = (6, 29)$ だけだった。このとき $f (1) = 43$ 、 $f (- 1) = 87$ で、 $43 = 7 \cdot 6 + 1 = 11 \cdot 3 + 10$ 、 $87 = 7 \cdot 12 + 3 = 11 \cdot 7 + 10$ と条件どおりだった。