第4問確率の解答・解説

素因数の個数・余事象・サイコロ・場合分け当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $X$ が $25$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{19}{144}$

$25 = 5^{2}$ で、 $1$ から $6$ のうち $5$ を因数にもつのは $5$ だけである。よって「 $5$ が2個以上出る」確率を、余事象で求める。

$1, \dots, 6$ のうち $5$ で割り切れるのは $5$ だけなので、 $X$ が $5^{2}$ で割り切れるのは「出た目に $5$ が2個以上ある」ときである。余事象を数える。

$5$ が0個： $5^{4} = 625$ 通り
$5$ が1個： $_{4} C_{1} \cdot 1 \cdot 5^{3} = 4 \cdot 125 = 500$ 通り

合わせて $625 + 500 = 1125$ 通りだから

P = 1 - \frac{1125}{6 ^{4}} = 1 - \frac{1125}{1296} = \frac{171}{1296} = \frac{19}{144}

である（ $0.132$ ほど）。

$1296$ 通りを全列挙すると $25$ の倍数は $171$ 通りで、 $\frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$ だった。

$25$ の倍数には $5$ が2個必要である。 $5$ が1個では足りない。

$\frac{171}{1296}$ は $9$ で約分して $\frac{19}{144}$ になる。

(2) $X$ が $4$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{37}{48}$

各目がもつ $2$ の個数を数える。 $1, 3, 5$ は $0$ 個、 $2, 6$ は $1$ 個、 $4$ は $2$ 個である。合計が $2$ 以上になる確率を、余事象（合計 $0$ または $1$ ）で求める。

各目を素因数 $2$ の個数で分類する。

$2$ の個数が $0$ ： $1, 3, 5$ の3通り
$2$ の個数が $1$ ： $2, 6$ の2通り
$2$ の個数が $2$ ： $4$ の1通り

$X$ が $4 = 2^{2}$ の倍数になるのは、4個ぶんの合計が $2$ 以上のときである。余事象を数える。

合計 $0$ ：4個とも ${1, 3, 5}$ 。 $3^{4} = 81$ 通り
合計 $1$ ：1個が ${2, 6}$ 、残り3個が ${1, 3, 5}$ 。 $_{4} C_{1} \cdot 2 \cdot 3^{3} = 4 \cdot 2 \cdot 27 = 216$ 通り

合わせて $81 + 216 = 297$ 通りだから

P = 1 - \frac{297}{1296} = 1 - \frac{11}{48} = \frac{37}{48}

である（ $0.771$ ほど）。

全列挙すると $4$ の倍数は $999$ 通りで、 $\frac{999}{1296} = \frac{37}{48}$ だった。

$4$ は $2$ を2個もつ。 $4$ が1個出ればそれだけで条件をみたす。目を「偶数・奇数」で分けるだけでは足りない。

$\frac{297}{1296}$ は $27$ で約分して $\frac{11}{48}$ になる。

(3) $X$ が $100$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{41}{648}$

$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ なので、(1) と (2) の両方が同時に成り立つ場合を数える。 $5$ の個数で場合分けし、残りの目で $2$ を2個そろえられるかを見る。

$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ だから、「 $5$ が2個以上」かつ「 $2$ の個数の合計が2以上」である。 $5$ の個数 $k$ で分ける。 $5$ 以外の目は ${1, 2, 3, 4, 6}$ の5通りで、 $5$ 自身は $2$ を1個ももたない。

$k = 4$ ：残り0個で $2$ が足りない。0 通り
$k = 3$ ：残り1個が $2$ を2個もつ必要があるので $4$ に限る。場所の選び方 $_{4} C_{3} = 4$ 通りで、4 通り
$k = 2$ ：場所の選び方 $_{4} C_{2} = 6$ 通り。残り2個は ${1, 2, 3, 4, 6}$ からで、 $2$ の個数の合計が2以上

$k = 2$ の「残り2個」を数える。 ${1, 3}$ が $2$ を0個（2通り）、 ${2, 6}$ が1個（2通り）、 ${4}$ が2個（1通り）なので、順序つき $5^{2} = 25$ 通りのうち

合計 $0$ ： $2 \times 2 = 4$ 通り
合計 $1$ ： $2 \cdot (2 \times 2) = 8$ 通り

で、合計 $2$ 以上は $25 - 12 = 13$ 通り。よって $k = 2$ は $6 \times 13 = 78$ 通りである。

合計して $4 + 78 = 82$ 通りだから

P = \frac{82}{1296} = \frac{41}{648}

である（ $0.063$ ほど）。

(1) と (2) の確率を掛けても答えにならない。 $5$ が多く出ると $2$ を作る余地が減るので、2つの事象は独立でない。実際 $\frac{19}{144} \cdot \frac{37}{48} = \frac{703}{6912} = 0.102$ で、正しい $0.063$ とは合わない。