第1問 微分法の解答・解説

$f(x)=e^{-x}-e^{-2x}$ とおくと $f^{\prime }(x)=-e^{-x}+2e^{-2x}$ である。接点を $\left(t,f(t)\right)$ とすると接線は

で、$(a,0)$ を通る条件は

である。

$f^{\prime }(t)=0$ は起こらない。 $f^{\prime }(t)=0$ は $e^{-t}=2e^{-2t}$、つまり $e^t=2$、$t=\log 2$ のときで、このとき $f(\log 2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ne 0$ だから上の式が成り立たない。よって $f^{\prime }(t)\ne 0$ としてよく

である。

$u=e^{-t}$ とおく。 $u>0$ で $t=-\log u$、$f=u-u^2$、$f^{\prime }=-u+2u^2=u(2u-1)$ だから

となり

である。求めるのは $g$ の値域である。

増減。

である。分母は正なので、$g^{\prime }$ の符号は $(4u-1)(1-u)$ の符号に等しい。

1. $0<u<\frac{1}{4}$：$g^{\prime }<0$（減少）
2. $\frac{1}{4}<u<1$：$g^{\prime }>0$（増加）。ただし $u=\frac{1}{2}$ で切れている
3. $u>1$：$g^{\prime }<0$（減少）

端の値と極値。

1. $u\to +0$：$-\log u\to +\infty$、$\frac{u-1}{2u-1}\to 1$ なので $g\to +\infty$
2. $u\to \frac{1}{2}-0$：$2u-1\to -0$、$u-1\to -\frac{1}{2}$ なので $\frac{u-1}{2u-1}\to +\infty$、$g\to +\infty$
3. $u\to \frac{1}{2}+0$：同じく $\to -\infty$
4. $u\to \infty$：$-\log u\to -\infty$、分数は $\to \frac{1}{2}$ なので $g\to -\infty$

値域。 4つの区間に分けて見る。

1. $\left(0,\frac{1}{4}\right]$：$+\infty$ から $2\log 2+\frac{3}{2}$ まで減少 → $\left[2\log 2+\frac{3}{2},\infty \right)$
2. $\left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$：$2\log 2+\frac{3}{2}$ から $+\infty$ まで増加 → $\left[2\log 2+\frac{3}{2},\infty \right)$
3. $\left(\frac{1}{2},1\right]$：$-\infty$ から $0$ まで増加 → $(-\infty ,0]$
4. $[1,\infty )$：$0$ から $-\infty$ まで減少 → $(-\infty ,0]$

合わせて

である（$\frac{3}{2}+2\log 2=2.886$ ほど）。