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全5問・無料

九州大学　2020年度　前期日程　理科系

九大理系 2020年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法

接線・通過範囲・増減・値域当サイトの体感難易度：難

点 $(a, 0)$ を通り、曲線 $y = e^{- x} - e^{- 2 x}$ に接する直線が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める

答 $a \leq 0$ または $a \geq \frac{3}{2} + 2 lo g 2$

接点を $t$ として、接線が $(a, 0)$ を通る条件から $a$ を $t$ で表す。 $u = e^{- t}$ とおくと式が整理でき、 $u$ の関数の値域を調べる問題になる。

$f (x) = e^{- x} - e^{- 2 x}$ とおくと $f^{'} (x) = - e^{- x} + 2 e^{- 2 x}$ である。接点を $(t, f (t))$ とすると接線は

y = f (t) + f^{'} (t) (x - t)

で、 $(a, 0)$ を通る条件は

0 = f (t) + f^{'} (t) (a - t)

である。

$f^{'} (t) = 0$ は起こらない。 $f^{'} (t) = 0$ は $e^{- t} = 2 e^{- 2 t}$ 、つまり $e^{t} = 2$ 、 $t = lo g 2$ のときで、このとき $f (lo g 2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \neq = 0$ だから上の式が成り立たない。よって $f^{'} (t) \neq = 0$ としてよく

a = t - \frac{f ( t )}{f ^{'} ( t )}

である。

$u = e^{- t}$ とおく。 $u > 0$ で $t = - lo g u$ 、 $f = u - u^{2}$ 、 $f^{'} = - u + 2 u^{2} = u (2 u - 1)$ だから

\frac{f ( t )}{f ^{'} ( t )} = \frac{u ( 1 - u )}{u ( 2 u - 1 )} = \frac{1 - u}{2 u - 1}

となり

a = g (u) := - lo g u + \frac{u - 1}{2 u - 1} (u > 0, u \neq = \frac{1}{2})

である。求めるのは $g$ の値域である。

増減。

g^{'} (u) = - \frac{1}{u} + \frac{( 2 u - 1 ) - 2 ( u - 1 )}{( 2 u - 1 ) ^{2}} = - \frac{1}{u} + \frac{1}{( 2 u - 1 ) ^{2}} = \frac{- ( 2 u - 1 ) ^{2} + u}{u ( 2 u - 1 ) ^{2}} = \frac{- 4 u ^{2} + 5 u - 1}{u ( 2 u - 1 ) ^{2}} = \frac{- ( 4 u - 1 ) ( u - 1 )}{u ( 2 u - 1 ) ^{2}}

である。分母は正なので、 $g^{'}$ の符号は $(4 u - 1) (1 - u)$ の符号に等しい。

$0 < u < \frac{1}{4}$ ： $g^{'} < 0$ （減少）
$\frac{1}{4} < u < 1$ ： $g^{'} > 0$ （増加）。ただし $u = \frac{1}{2}$ で切れている
$u > 1$ ： $g^{'} < 0$ （減少）

端の値と極値。

g (\frac{1}{4}) = lo g 4 + \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{1}{2}} = 2 lo g 2 + \frac{3}{2}, g (1) = 0

$u \to + 0$ ： $- lo g u \to + \infty$ 、 $\frac{u - 1}{2 u - 1} \to 1$ なので $g \to + \infty$
$u \to \frac{1}{2} - 0$ ： $2 u - 1 \to - 0$ 、 $u - 1 \to - \frac{1}{2}$ なので $\frac{u - 1}{2 u - 1} \to + \infty$ 、 $g \to + \infty$
$u \to \frac{1}{2} + 0$ ：同じく $\to - \infty$
$u \to \infty$ ： $- lo g u \to - \infty$ 、分数は $\to \frac{1}{2}$ なので $g \to - \infty$

値域。 4つの区間に分けて見る。

$(0, \frac{1}{4}]$ ： $+ \infty$ から $2 lo g 2 + \frac{3}{2}$ まで減少 → $[2 lo g 2 + \frac{3}{2}, \infty)$
$[\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ ： $2 lo g 2 + \frac{3}{2}$ から $+ \infty$ まで増加 → $[2 lo g 2 + \frac{3}{2}, \infty)$
$(\frac{1}{2}, 1]$ ： $- \infty$ から $0$ まで増加 → $(- \infty, 0]$
$[1, \infty)$ ： $0$ から $- \infty$ まで減少 → $(- \infty, 0]$

合わせて

a \leq 0 または a \geq \frac{3}{2} + 2 lo g 2

である（ $\frac{3}{2} + 2 lo g 2 = 2.886$ ほど）。

a = g (u) = - lo g u + \frac{u - 1}{2 u - 1}

のグラフ。

u = \frac{1}{2}

が漸近線で、左側（

u < \frac{1}{2}

）では

u = \frac{1}{4}

の極小

\frac{3}{2} + 2 lo g 2 = 2.886

より下にならず、右側（

u > \frac{1}{2}

）では

u = 1

の極大

0

より上にならない。

0 < a < \frac{3}{2} + 2 lo g 2

には届かない。

曲線

y = e^{- x} - e^{- 2 x}

。

x = lo g 2

で最大値

\frac{1}{4}

、

x = 0

で

0

を横切り、

x \to \infty

で

0

に近づく。

x < 0

では

- e^{- 2 x}

が効いて急激に下がる。接線が通れる

x

軸上の点は

a \leq 0

と

a \geq \frac{3}{2} + 2 lo g 2 = 2.886

の部分である。

$u$ を $200$ 万点に刻んで $g (u)$ を計算すると、 $0 < a < 2 lo g 2 + \frac{3}{2} = 2.886294$ に入る値は1つもなかった。 $g (\frac{1}{4}) = 2.886294$ 、 $g (1) = 0$ も一致した。

$u = e^{- t}$ とおくと $t = - lo g u$ で、 $t$ の全体が $u > 0$ に対応する。置換で範囲が狭まらない。

$u = \frac{1}{2}$ （ $t = lo g 2$ ）で $g$ は定義されない。ここは $f^{'} (t) = 0$ に当たり、接線が水平で $x$ 軸と交わらない。区間を分けて調べる。

$u = \frac{1}{4}$ は極小、 $u = 1$ は極大である。値域が2つの区間の和になるのは、 $u = \frac{1}{2}$ で切れているからである。

$g (1) = 0$ 、つまり $a = 0$ は含まれる。接点は $t = 0$ で、接線 $y = x$ が原点を通る。

第1問だけのページ

第2問　整式

1 の原始6乗根・因数分解・合同式・中国剰余定理当サイトの体感難易度：やや難

(1) $c, d$ を $a, b$ を用いて表す

答 $c = 1 - b$ 、 $d = a + b$

$\frac{1 + 3 i}{2}$ は $x^{2} - x + 1 = 0$ の解である。係数が整数（とくに実数）なので $f (x)$ は $x^{2} - x + 1$ で割り切れる。商を $x^{2} + p x + q$ とおいて係数を比べる。

$ω = \frac{1 + 3 i}{2}$ とおく。 $ω$ は

x^{2} - x + 1 = 0

の解である（ $ω = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}$ 、和 $1$ ・積 $1$ の2解の一方）。 $f$ の係数は実数なので、 $ω$ が解なら共役 $\overset{ω}{ˉ}$ も解である。よって $f (x)$ は $(x - ω) (x - \overset{ω}{ˉ}) = x^{2} - x + 1$ で割り切れる。

商を $x^{2} + p x + q$ とおくと

f (x) = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + p x + q) = x^{4} + (p - 1) x^{3} + (q - p + 1) x^{2} + (p - q) x + q

である。係数を比べて

a = p - 1, b = q - p + 1, c = p - q, d = q

となる。1本目から $p = a + 1$ 、2本目に入れて $q = b + p - 1 = a + b$ 。よって

c = p - q = (a + 1) - (a + b) = 1 - b, d = q = a + b

である。

$c = 1 - b$ 、 $d = a + b$ とすると、 $a, b$ を何にとっても $f (ω) = 0$ になることを数値で確かめた。

$ω$ は1の原始6乗根で、最小多項式は $x^{2} - x + 1$ である。 $x^{2} + x + 1$ （原始3乗根）と取り違えない。

「係数が実数だから共役も解」を根拠にする。 $a, b, c, d$ が整数という条件はここでは実数であれば足りる。

(2) $f (1)$ を $7$ で割ると $1$ 、 $11$ で割ると $10$ 余り、 $f (- 1)$ を $7$ で割ると $3$ 、 $11$ で割ると $10$ 余るとする。 $∣ a ∣ \leq 40$ 、 $∣ b ∣ \leq 40$ のとき $f (x) = 0$ の解をすべて求める

答 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}, x = \frac{- 7 \pm 91 i}{2}$

(1) を使って $f (1)$ 、 $f (- 1)$ を $a, b$ だけで書く。 $f (- 1) = 3 b$ となるので $b$ が先に決まり、続いて $a$ が決まる。

(1) より $c = 1 - b$ 、 $d = a + b$ なので

f (1) f (- 1) = 1 + a + b + c + d = 1 + a + b + (1 - b) + (a + b) = 2 a + b + 2 = 1 - a + b - c + d = 1 - a + b - (1 - b) + (a + b) = 3 b

である。

$b$ を決める。 $f (- 1) = 3 b$ の条件から

3 b \equiv 3 (mod 7), 3 b \equiv 10 (mod 11)

である。1本目は $3$ と $7$ が互いに素なので $b \equiv 1 (mod 7)$ 。2本目は $3 \cdot 4 = 12 \equiv 1 (mod 11)$ より両辺を $4$ 倍して $b \equiv 40 \equiv 7 (mod 11)$ 。

$b = 1 + 7 k$ とおいて $1 + 7 k \equiv 7 (mod 11)$ 、 $7 k \equiv 6$ 。 $7 \cdot 8 = 56 \equiv 1 (mod 11)$ より $k \equiv 48 \equiv 4 (mod 11)$ 。 $k = 4$ で $b = 29$ だから

b \equiv 29 (mod 77)

である。 $∣ b ∣ \leq 40$ をみたすのは $b = 29$ だけである（次は $29 - 77 = - 48$ で範囲外）。

$a$ を決める。 $f (1) = 2 a + 29 + 2 = 2 a + 31$ で

2 a + 31 \equiv 1 (mod 7), 2 a + 31 \equiv 10 (mod 11)

である。 $31 \equiv 3 (mod 7)$ より $2 a \equiv - 2 \equiv 5 (mod 7)$ 、 $2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 (mod 7)$ より $a \equiv 20 \equiv 6 (mod 7)$ 。 $31 \equiv 9 (mod 11)$ より $2 a \equiv 1 (mod 11)$ 、 $2 \cdot 6 = 12 \equiv 1$ より $a \equiv 6 (mod 11)$ 。

$a \equiv 6$ が法 $7$ でも法 $11$ でも成り立つので $a \equiv 6 (mod 77)$ 。 $∣ a ∣ \leq 40$ より $a = 6$ である。

解を求める。 $a = 6$ 、 $b = 29$ なので

c = 1 - 29 = - 28, d = 6 + 29 = 35, p = a + 1 = 7, q = a + b = 35

である。よって

f (x) = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + 7 x + 35)

で、 $x^{2} + 7 x + 35 = 0$ の判別式は $49 - 140 = - 91$ だから

x = \frac{1 \pm 3 i}{2}, x = \frac{- 7 \pm 91 i}{2}

の4つが解である。

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 40$ の整数を全探索すると、4つの合同条件をみたすのは $(a, b) = (6, 29)$ だけだった。このとき $f (1) = 43$ 、 $f (- 1) = 87$ で、 $43 = 7 \cdot 6 + 1 = 11 \cdot 3 + 10$ 、 $87 = 7 \cdot 12 + 3 = 11 \cdot 7 + 10$ と条件どおりだった。

$f (- 1) = 3 b$ と、 $a$ が消えるのがこの問題の仕掛けである。 $b$ から先に決める。

法 $7$ と法 $11$ を合わせると法 $77$ になる。 $∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 40$ という条件で、 $77$ 幅のうち1つだけに絞られる。

$3 b \equiv 10 (mod 11)$ は「 $3$ で割る」のではなく「 $3$ の逆元 $4$ を掛ける」。

最後に4つの解をすべて書く。 $x^{2} - x + 1 = 0$ の2解も解である。

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第3問　空間ベクトル

中点連結・等面四面体・内積・外接球当サイトの体感難易度：難

(1)直線 $OB$ と直線 $CA$ のなす角 $θ$ を求める

答 $θ = \frac{π}{3}$

$a = OA$ などとおくと、3直線の方向は $b + c - a$ 、 $c + a - b$ 、 $a + b - c$ である。これらを $u, v, w$ と呼んで主役にすると、辺の長さがすべて $∣ u ∣, ∣ v ∣, ∣ w ∣$ で書ける。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおく。 $ℓ$ は $\frac{a}{2}$ と $\frac{b + c}{2}$ を通るので、方向は

u = b + c - a, v = c + a - b, w = a + b - c

がそれぞれ $ℓ, m, n$ の方向である。

逆に解く。 $v + w = 2 a$ 、 $w + u = 2 b$ 、 $u + v = 2 c$ なので

a = \frac{v + w}{2}, b = \frac{w + u}{2}, c = \frac{u + v}{2}

である。

辺の長さ。 仮定より $u, v, w$ は互いに直交する。 $U = ∣ u ∣$ などとおくと

AB^{2} BC^{2} = b - a^{2} = \frac{u - v}{2}^{2} = \frac{U ^{2} + V ^{2}}{4} = \frac{v - w}{2}^{2} = \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4}, CA^{2} = \frac{W ^{2} + U ^{2}}{4}

である。与えられた値を入れると

U^{2} + V^{2} = 20, V^{2} + W^{2} = 12, W^{2} + U^{2} = 16

となる。3本を足して $2 (U^{2} + V^{2} + W^{2}) = 48$ 、すなわち $U^{2} + V^{2} + W^{2} = 24$ 。よって

U^{2} = 12, V^{2} = 8, W^{2} = 4

である。

なす角。

b = \frac{w + u}{2}, CA = a - c = \frac{v + w}{2} - \frac{u + v}{2} = \frac{w - u}{2}

なので、直交性から

b \cdot CA = \frac{( w + u ) \cdot ( w - u )}{4} = \frac{W ^{2} - U ^{2}}{4} = \frac{4 - 12}{4} = - 2

である。また $b = \frac{W ^{2} + U ^{2}}{2} = \frac{16}{2} = 2$ 、 $CA = 2$ だから

cos ∠ (b, CA) = \frac{- 2}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{2}

である。ベクトルのなす角は $12 0^{\circ}$ だが、直線のなす角は $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ の側をとるので

θ = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

である。

$OA^{2} = \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4} = 3 = BC^{2}$ 、 $OB = CA = 2$ 、 $OC = AB = 5$ となっている。向かい合う辺の長さが等しい四面体（等面四面体）である。3本の中点を結ぶ直線が互いに直交する、という条件がこれを生んでいる。

$u = (12, 0, 0)$ 、 $v = (0, 8, 0)$ 、 $w = (0, 0, 2)$ として $A, B, C$ を作ると、 $AB = 2.236068 = 5$ 、 $BC = 1.732051 = 3$ 、 $CA = 2$ で条件どおり、 $ℓ, m, n$ の内積もすべて $0$ 、 $OB$ と $CA$ のなす角は $60.00000 0^{\circ}$ だった。

$u, v, w$ を主役にすると、 $a, b, c$ も辺の長さもすべて $U, V, W$ で書ける。 $a, b, c$ のままだと内積が6個出てきて収拾がつかない。

「直線のなす角」は $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ にとる。内積が負でも $18 0^{\circ}$ から引く。

$ℓ ⊥ m$ などの条件は $u \cdot v = 0$ などであって、 $a \cdot b = 0$ ではない。

(2)四面体 $OABC$ の4つの頂点をすべて通る球の半径を求める

答 $\frac{6}{2}$

$u, v, w$ の方向を座標軸にとると、4頂点の座標が簡単に書ける。外心を $(x, y, z)$ とおいて4点から等距離という条件を解く。

$u, v, w$ は互いに直交するので、これらの方向を座標軸にとって

u = (U, 0, 0), v = (0, V, 0), w = (0, 0, W)

としてよい。すると

O (0, 0, 0), A (0, \frac{V}{2}, \frac{W}{2}), B (\frac{U}{2}, 0, \frac{W}{2}), C (\frac{U}{2}, \frac{V}{2}, 0)

である。

外心。 中心を $P (x, y, z)$ とする。 $PO = PA$ は $∣ P ∣^{2} = ∣ P - A ∣^{2}$ 、展開して $2 P \cdot A = ∣ A ∣^{2}$ である。 $X = xU$ 、 $Y = y V$ 、 $Z = z W$ とおくと

Y + Z = \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4}, X + Z = \frac{U ^{2} + W ^{2}}{4}, X + Y = \frac{U ^{2} + V ^{2}}{4}

となる。3本を足すと $X + Y + Z = \frac{U ^{2} + V ^{2} + W ^{2}}{4} = \frac{24}{4} = 6$ だから

X = 6 - \frac{V ^{2} + W ^{2}}{4} = 3, Y = 6 - \frac{U ^{2} + W ^{2}}{4} = 2, Z = 6 - \frac{U ^{2} + V ^{2}}{4} = 1

である。

半径。 $R^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{X ^{2}}{U ^{2}} + \frac{Y ^{2}}{V ^{2}} + \frac{Z ^{2}}{W ^{2}}$ なので

R^{2} = \frac{9}{12} + \frac{4}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}

すなわち

R = \frac{3}{2} = \frac{6}{2}

である（ $1.2247$ ほど）。

$X = \frac{U ^{2}}{4}$ 、 $Y = \frac{V ^{2}}{4}$ 、 $Z = \frac{W ^{2}}{4}$ なので $P = (\frac{U}{4}, \frac{V}{4}, \frac{W}{4})$ で、これは4頂点の重心である。等面四面体では外心と重心が一致する。向かい合う辺が $p, q, r$ なら $R = \frac{p ^{2} + q ^{2} + r ^{2}}{2 2} = \frac{5 + 3 + 4}{2 2} = \frac{6}{2}$ とも書ける。

この座標で重心 $(\frac{U}{4}, \frac{V}{4}, \frac{W}{4})$ から4頂点までの距離を計算すると、すべて $1.224744871$ で、 $\frac{6}{2} = 1.224744871$ と一致した。

$u, v, w$ の方向を座標軸にとってよい。直交していることが使える最大の場面である。

$X = xU$ などと置き換えると連立方程式が対称になり、足して引くだけで解ける。

$R^{2}$ に戻すとき $x = \frac{X}{U}$ なので $x^{2} = \frac{X ^{2}}{U ^{2}}$ である。 $X^{2}$ のままにしない。

第3問だけのページ

第4問　確率

素因数の個数・余事象・サイコロ・場合分け当サイトの体感難易度：標準

(1) $X$ が $25$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{19}{144}$

$25 = 5^{2}$ で、 $1$ から $6$ のうち $5$ を因数にもつのは $5$ だけである。よって「 $5$ が2個以上出る」確率を、余事象で求める。

$1, \dots, 6$ のうち $5$ で割り切れるのは $5$ だけなので、 $X$ が $5^{2}$ で割り切れるのは「出た目に $5$ が2個以上ある」ときである。余事象を数える。

$5$ が0個： $5^{4} = 625$ 通り
$5$ が1個： $_{4} C_{1} \cdot 1 \cdot 5^{3} = 4 \cdot 125 = 500$ 通り

合わせて $625 + 500 = 1125$ 通りだから

P = 1 - \frac{1125}{6 ^{4}} = 1 - \frac{1125}{1296} = \frac{171}{1296} = \frac{19}{144}

である（ $0.132$ ほど）。

$1296$ 通りを全列挙すると $25$ の倍数は $171$ 通りで、 $\frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$ だった。

$25$ の倍数には $5$ が2個必要である。 $5$ が1個では足りない。

$\frac{171}{1296}$ は $9$ で約分して $\frac{19}{144}$ になる。

(2) $X$ が $4$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{37}{48}$

各目がもつ $2$ の個数を数える。 $1, 3, 5$ は $0$ 個、 $2, 6$ は $1$ 個、 $4$ は $2$ 個である。合計が $2$ 以上になる確率を、余事象（合計 $0$ または $1$ ）で求める。

各目を素因数 $2$ の個数で分類する。

$2$ の個数が $0$ ： $1, 3, 5$ の3通り
$2$ の個数が $1$ ： $2, 6$ の2通り
$2$ の個数が $2$ ： $4$ の1通り

$X$ が $4 = 2^{2}$ の倍数になるのは、4個ぶんの合計が $2$ 以上のときである。余事象を数える。

合計 $0$ ：4個とも ${1, 3, 5}$ 。 $3^{4} = 81$ 通り
合計 $1$ ：1個が ${2, 6}$ 、残り3個が ${1, 3, 5}$ 。 $_{4} C_{1} \cdot 2 \cdot 3^{3} = 4 \cdot 2 \cdot 27 = 216$ 通り

合わせて $81 + 216 = 297$ 通りだから

P = 1 - \frac{297}{1296} = 1 - \frac{11}{48} = \frac{37}{48}

である（ $0.771$ ほど）。

全列挙すると $4$ の倍数は $999$ 通りで、 $\frac{999}{1296} = \frac{37}{48}$ だった。

$4$ は $2$ を2個もつ。 $4$ が1個出ればそれだけで条件をみたす。目を「偶数・奇数」で分けるだけでは足りない。

$\frac{297}{1296}$ は $27$ で約分して $\frac{11}{48}$ になる。

(3) $X$ が $100$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{41}{648}$

$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ なので、(1) と (2) の両方が同時に成り立つ場合を数える。 $5$ の個数で場合分けし、残りの目で $2$ を2個そろえられるかを見る。

$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ だから、「 $5$ が2個以上」かつ「 $2$ の個数の合計が2以上」である。 $5$ の個数 $k$ で分ける。 $5$ 以外の目は ${1, 2, 3, 4, 6}$ の5通りで、 $5$ 自身は $2$ を1個ももたない。

$k = 4$ ：残り0個で $2$ が足りない。0 通り
$k = 3$ ：残り1個が $2$ を2個もつ必要があるので $4$ に限る。場所の選び方 $_{4} C_{3} = 4$ 通りで、4 通り
$k = 2$ ：場所の選び方 $_{4} C_{2} = 6$ 通り。残り2個は ${1, 2, 3, 4, 6}$ からで、 $2$ の個数の合計が2以上

$k = 2$ の「残り2個」を数える。 ${1, 3}$ が $2$ を0個（2通り）、 ${2, 6}$ が1個（2通り）、 ${4}$ が2個（1通り）なので、順序つき $5^{2} = 25$ 通りのうち

合計 $0$ ： $2 \times 2 = 4$ 通り
合計 $1$ ： $2 \cdot (2 \times 2) = 8$ 通り

で、合計 $2$ 以上は $25 - 12 = 13$ 通り。よって $k = 2$ は $6 \times 13 = 78$ 通りである。

合計して $4 + 78 = 82$ 通りだから

P = \frac{82}{1296} = \frac{41}{648}

である（ $0.063$ ほど）。

(1) と (2) の確率を掛けても答えにならない。 $5$ が多く出ると $2$ を作る余地が減るので、2つの事象は独立でない。実際 $\frac{19}{144} \cdot \frac{37}{48} = \frac{703}{6912} = 0.102$ で、正しい $0.063$ とは合わない。

全列挙すると $100$ の倍数は $82$ 通りで、 $\frac{82}{1296} = \frac{41}{648}$ だった。

$5$ を2個以上使うと、 $2$ を供給できる目が2個以下に減る。ここが (1)(2) の単純な組み合わせにならない理由である。

$k = 4$ （全部 $5$ ）は $X = 625$ で $4$ の倍数でない。忘れずに除く。

$k = 2$ の残り2個は順序つきで数える。場所の選び方 $_{4} C_{2}$ とは別勘定である。

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第5問　積分法

立体の切り口・体積・回転体・最大最小の半径当サイトの体感難易度：難

(1) $- 1 \leq t \leq 1$ のとき、平面 $x = t$ で $T$ を切った断面積 $S (t)$ と、 $T$ の体積を求める

答 $S (t) = 4 1 - t^{2}$ 、体積は $2 π$

まず分ける平面の式を出す。 $x$ 軸を含む平面は $α y + β z = 0$ の形で、 $(0, 2, 2)$ を通ることから $z = y$ と決まる。 $T$ は $0 \leq z \leq y$ の側である。

$E$ と分ける平面。 $E$ は

E = {(x, y, z) x^{2} + (y - 2)^{2} \leq 1, 0 \leq z \leq 3}

である。 $x$ 軸（ $y = z = 0$ ）を含む平面は $α y + β z = 0$ と書ける。 $(0, 2, 2)$ を通るので $2 α + 2 β = 0$ 、 $β = - α$ 。よって平面は

z = y

である。 $D$ （ $z = 0$ の円）では $y \geq 1 > 0 = z$ なので、 $D$ を含むのは $z \leq y$ の側である。また円板上では $y \leq 3$ なので $z \leq y \leq 3$ となり、 $z \leq 3$ の条件は自動的にみたされる。したがって

T = {(x, y, z) x^{2} + (y - 2)^{2} \leq 1, 0 \leq z \leq y}

である。

断面積。 $x = t$ で切ると、 $(y - 2)^{2} \leq 1 - t^{2}$ より $y$ は $2 - s \leq y \leq 2 + s$ （ $s = 1 - t^{2}$ ）を動く。各 $y$ に対して $z$ は $0$ から $y$ まで。よって

S (t) = \int_{2 - s}^{2 + s} y d y = [\frac{y ^{2}}{2}]_{2 - s}^{2 + s} = \frac{( 2 + s ) ^{2} - ( 2 - s ) ^{2}}{2} = \frac{8 s}{2} = 4 s

すなわち

S (t) = 4 1 - t^{2}

である。

体積。

V = \int_{- 1}^{1} 4 1 - t^{2} d t = 4 \cdot \frac{π}{2} = 2 π

である（ $\int_{- 1}^{1} 1 - t^{2} d t$ は半径 $1$ の半円の面積 $\frac{π}{2}$ ）。

$S (t) = 4 s$ は「幅 $2 s$ × 高さ（ $y$ の平均 $2$ ）」とも読める。断面の台形は上底 $2 - s$ 、下底 $2 + s$ 、幅 $2 s$ の台形で、面積は $\frac{( 2 - s ) + ( 2 + s )}{2} \cdot 2 s = 4 s$ である。

$S (t) = 4 1 - t^{2}$ を数値積分すると $6.2831853$ で、 $2 π = 6.2831853$ と一致した。

「 $x$ 軸を含む平面」なので、平面の式に $x$ が入らない。 $α y + β z = 0$ から始める。

$T$ がどちら側かは $D$ （ $z = 0$ の円板）が入るかで決める。 $z \leq y$ の側である。

$z \leq 3$ は効かない。円板上で $y \leq 3$ だから、 $z \leq y \leq 3$ が自動で成り立つ。

(2) $T$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求める

答 $\frac{28 π}{3} + 6 π^{2}$

$x = t$ での断面（ $y z$ 平面内の台形）を原点のまわりに回すと、原点からの距離の最小・最大で決まる円環になる。領域はつながっているので、その間の距離はすべて現れる。

$x = t$ での $T$ の断面は、 $y z$ 平面内の

K_{t} = {(y, z) ∣ 2 - s \leq y \leq 2 + s, 0 \leq z \leq y} (s = 1 - t^{2})

という台形である。 $x$ 軸のまわりの回転は、この平面内で原点のまわりに回すことに当たるので、回転後の断面は「 $K_{t}$ に現れる原点からの距離 $r = y^{2} + z^{2}$ の値」で決まる。 $K_{t}$ は連結だから、 $r$ の値は最小から最大まですべて現れ、断面は円環になる。

最小。 $z \geq 0$ より $r \geq y \geq 2 - s$ で、 $(y, z) = (2 - s, 0)$ で $r = 2 - s$ 。よって $r_{m i n} = 2 - s$ 。

最大。 $z \leq y \leq 2 + s$ より $r^{2} = y^{2} + z^{2} \leq 2 y^{2} \leq 2 (2 + s)^{2}$ で、 $(y, z) = (2 + s, 2 + s)$ で等号。よって $r_{m a x} = 2 (2 + s)$ 。

したがって回転後の断面積は

π {2 (2 + s)^{2} - (2 - s)^{2}} = π {(8 + 8 s + 2 s^{2}) - (4 - 4 s + s^{2})} = π (4 + 12 s + s^{2}) = π (5 - t^{2} + 12 1 - t^{2})

である（ $s^{2} = 1 - t^{2}$ ）。これを積分して

V = π \int_{- 1}^{1} (5 - t^{2}) d t + 12 π \int_{- 1}^{1} 1 - t^{2} d t = π [5 t - \frac{t ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} + 12 π \cdot \frac{π}{2} = π \cdot \frac{28}{3} + 6 π^{2}

すなわち

V = \frac{28 π}{3} + 6 π^{2}

である（ $88.54$ ほど）。

数値積分で $88.5391576$ 、 $\frac{28 π}{3} + 6 π^{2} = 88.5391578$ と一致した。 $400$ 万点のモンテカルロでも $88.536$ になった。

回転体の断面は「最小から最大までの円環」である。領域がつながっていることを言っておくと、穴あきにならない理由がはっきりする。

最大は台形の角 $(2 + s, 2 + s)$ でとる。 $z$ の上限が $y$ なので、 $y$ が最大のところで $z$ も最大にできる。

$\int_{- 1}^{1} (5 - t^{2}) d t = 10 - \frac{2}{3} = \frac{28}{3}$ である。偶関数なので $2 \int_{0}^{1}$ としてもよい。

$π^{2}$ の項が出るのは $\int 1 - t^{2} d t$ に $π$ が入るからである。答えに $π$ と $π^{2}$ が混ざる。

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問題文について

点 (a,0) を通り、曲線 y=e−x−e−2x に接する直線が存在するような定数 a の値の範囲を求める

(1)c,d を a,b を用いて表す

(2)f(1) を 7 で割ると 1、11 で割ると 10 余り、f(−1) を 7 で割ると 3、11 で割ると 10 余るとする。∣a∣≤40、∣b∣≤40 のとき f(x)=0 の解をすべて求める

(1)直線 OB と直線 CA のなす角 θ を求める

(2)四面体 OABC の4つの頂点をすべて通る球の半径を求める

(1)X が 25 の倍数になる確率を求める

(2)X が 4 の倍数になる確率を求める

(3)X が 100 の倍数になる確率を求める

(1)−1≤t≤1 のとき、平面 x=t で T を切った断面積 S(t) と、T の体積を求める

(2)T を x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求める

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(1) $c, d$ を $a, b$ を用いて表す

(2) $f (1)$ を $7$ で割ると $1$ 、 $11$ で割ると $10$ 余り、 $f (- 1)$ を $7$ で割ると $3$ 、 $11$ で割ると $10$ 余るとする。 $∣ a ∣ \leq 40$ 、 $∣ b ∣ \leq 40$ のとき $f (x) = 0$ の解をすべて求める

(1)直線 $OB$ と直線 $CA$ のなす角 $θ$ を求める

(2)四面体 $OABC$ の4つの頂点をすべて通る球の半径を求める

(1) $X$ が $25$ の倍数になる確率を求める

(2) $X$ が $4$ の倍数になる確率を求める

(3) $X$ が $100$ の倍数になる確率を求める

(1) $- 1 \leq t \leq 1$ のとき、平面 $x = t$ で $T$ を切った断面積 $S (t)$ と、 $T$ の体積を求める

(2) $T$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求める