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東京科学大学　2023年度　前期日程　理系

第5問空間ベクトルの解答・解説

点と直線の距離・等距離の点の集合・2平面に分かれる・連立して解く当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x y z$ 空間の4点 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (1, 1, 1)$ 、 $C (- 1, 1, - 1)$ 、 $D (- 1, 0, 0)$ を考える。2直線 $AB$ 、 $BC$ から等距離にある点全体のなす図形を求める

答2平面 $x - y = 0$ と $x + y + 2 z - 4 = 0$ の和集合

点と直線の距離は外積で書ける。2つの距離の2乗を比べ、差を因数分解する。

$P (x, y, z)$ とする。直線 $AB$ は $A (1, 0, 0)$ を通り方向ベクトルは $AB = (0, 1, 1)$ である。

AP \times AB = (y - z, - (x - 1), x - 1)

なので

(距離)^{2} = \frac{( y - z ) ^{2} + 2 ( x - 1 ) ^{2}}{2}

である。直線 $BC$ は $B (1, 1, 1)$ を通り $BC = (- 2, 0, - 2)$ 、向きとしては $(1, 0, 1)$ である。同様に

(距離)^{2} = \frac{2 ( y - 1 ) ^{2} + ( x - z ) ^{2}}{2}

である。2つが等しい条件は

(y - z)^{2} + 2 (x - 1)^{2} = 2 (y - 1)^{2} + (x - z)^{2}

である。展開して整理すると

x^{2} - y^{2} + 2 z (x - y) - 4 (x - y) = 0

で、 $x - y$ でくくれて

(x - y) (x + y + 2 z - 4) = 0

となる。したがって求める図形は

平面 x - y = 0 と平面 x + y + 2 z - 4 = 0 の和集合

である。どちらの平面も $B (1, 1, 1)$ （2直線の交点）を含んでいる。

交わる2直線から等距離にある点は、2直線が作る角の二等分線を含む2枚の平面の上にある。ここではそれが $x = y$ と $x + y + 2 z = 4$ である。

乱数で2000点をとると、距離が等しいことと $(x - y) (x + y + 2 z - 4) = 0$ が完全に一致した。

「2直線から等距離」は1枚の平面ではなく2枚の平面になる。因数分解して両方を書く。

(2)4直線 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求める

答中心 $(0, 0, \pm 2)$ で $r = 2$ 、中心 $(22, 4, - 2), (- 22, 4, 2)$ で $r = 32$ 、中心 $(\pm 2, - 2, \pm 2), (\pm 2, 2, \mp 2)$ （複号同順の4点）で $r = 6$ 。合わせて8組

4直線すべてへの距離の2乗を書き下して連立する。 $DA$ （ $x$ 軸）への距離がいちばん簡単なので、それを基準にすると式が軽くなる。

$P (x, y, z)$ 、半径 $r$ とする。4直線への距離の2乗は、(1) と同じ計算で

$AB$ ： $\frac{( y - z ) ^{2} + 2 ( x - 1 ) ^{2}}{2}$
$BC$ ： $\frac{2 ( y - 1 ) ^{2} + ( x - z ) ^{2}}{2}$
$CD$ ： $\frac{( y + z ) ^{2} + 2 ( x + 1 ) ^{2}}{2}$ （ $C (- 1, 1, - 1)$ を通り方向 $(0, 1, - 1)$ ）
$DA$ ： $y^{2} + z^{2}$ （ $x$ 軸そのもの）

である。 $r^{2} = y^{2} + z^{2}$ を基準にして、残りの3本と等しいとおく。

$AB = DA$ 。

2 (y^{2} + z^{2}) = (y - z)^{2} + 2 (x - 1)^{2} ⟺ (y + z)^{2} = 2 (x - 1)^{2}

$CD = DA$ 。

2 (y^{2} + z^{2}) = (y + z)^{2} + 2 (x + 1)^{2} ⟺ (y - z)^{2} = 2 (x + 1)^{2}

$BC = DA$ 。

2 (y^{2} + z^{2}) = 2 (y - 1)^{2} + (x - z)^{2} ⟺ z^{2} + 2 x z - x^{2} + 4 y - 2 = 0

である。

はじめの2本を解く。 $y + z = ε_{1} 2 (x - 1)$ 、 $y - z = ε_{2} 2 (x + 1)$ （ $ε_{1}, ε_{2}$ は $\pm 1$ ）と書ける。足し引きして

y = \frac{2}{2} {ε_{1} (x - 1) + ε_{2} (x + 1)}, z = \frac{2}{2} {ε_{1} (x - 1) - ε_{2} (x + 1)}

である。符号の組ごとに書くと

$(+, +)$ ： $y = 2 x$ 、 $z = - 2$
$(+, -)$ ： $y = - 2$ 、 $z = 2 x$
$(-, +)$ ： $y = 2$ 、 $z = - 2 x$
$(-, -)$ ： $y = - 2 x$ 、 $z = 2$

である。これを3本目に代入する。

$(+, +)$ ： $2 - 22 x - x^{2} + 42 x - 2 = 0$ より $x (x - 22) = 0$ 、 $x = 0$ または $22$
$(+, -)$ ： $(1 + 22) x^{2} = 2 + 42$ より $x^{2} = 2$ 、 $x = \pm 2$
$(-, +)$ ： $(1 - 22) x^{2} = 2 - 42$ より $x^{2} = 2$ 、 $x = \pm 2$
$(-, -)$ ： $x (x + 22) = 0$ 、 $x = 0$ または $- 22$

である。それぞれ中心と $r = y^{2} + z^{2}$ を求めると

$(0, 0, - 2)$ 、 $r = 2$
$(0, 0, 2)$ 、 $r = 2$
$(22, 4, - 2)$ 、 $r = 32$
$(- 22, 4, 2)$ 、 $r = 32$
$(2, - 2, 2)$ 、 $r = 6$
$(- 2, - 2, - 2)$ 、 $r = 6$
$(2, 2, - 2)$ 、 $r = 6$
$(- 2, 2, 2)$ 、 $r = 6$

の8組である。どれも $r > 0$ で、実際に4直線すべてから等距離になっている。

4直線のうち $AB$ と $CD$ はねじれの位置、 $BC$ と $DA$ もねじれの位置にある。4本すべてに接する球が8個もあるのは、(1) で見たように「等距離の条件」が毎回2枚の平面に分かれ、 $2^{3} = 8$ 通りの組み合わせが生じるためである。

8つの中心それぞれで4直線への距離を計算すると、どれも4つとも同じ値（ $2 = 1.414213562$ 、 $32 = 4.242640687$ 、 $6 = 2.449489743$ ）になった。

$DA$ は $x$ 軸なので距離が $y^{2} + z^{2}$ と最も簡単。これを基準にすると式がそろう。

平方根を外すとき $\pm$ の両方を残す。符号の組ごとに場合分けが必要である。

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(1)xyz 空間の4点 A(1,0,0)、B(1,1,1)、C(−1,1,−1)、D(−1,0,0) を考える。2直線 AB、BC から等距離にある点全体のなす図形を求める

(2)4直線 AB、BC、CD、DA に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求める

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