独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問1問・無料

東京科学大学　2023年度　前期日程　理系

第4問積分法の解答・解説

立体の共通部分・断面積の積分・回転による変換・円と正方形当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

$x y z$ 空間において、 $x$ 軸を軸とする半径 $2$ の円柱から $∣ y ∣ < 1$ かつ $∣ z ∣ < 1$ で表される角柱の内部を取り除いたものを $A$ とする。 $A$ を $x$ 軸のまわりに $4 5^{\circ}$ 回転してから $z$ 軸のまわりに $9 0^{\circ}$ 回転したものを $B$ とする。 $A$ と $B$ の共通部分の体積を求める

答 $60 - 43 - \frac{16 2}{3} - \frac{8 π}{3} - 42 π$

$A$ は $x$ 方向に無限に伸びた柱で、断面（ $y z$ 平面）は「円から正方形を抜いたもの」。 $B$ も同様に $y$ 方向の柱になる。 $z = t$ で切ると、 $A$ は $y$ だけ、 $B$ は $x$ だけを制限するので、断面積は2つの長さの積になる。

$A$ と $B$ を式で書く。 $A$ は $x$ によらないので

A = {(x, y, z) y^{2} + z^{2} ≦ 4, ∣ y ∣ ≧ 1 または ∣ z ∣ ≧ 1}

である。

A の断面（yz 平面）。半径 2 の円から、1辺 2 の正方形の内部を取り除いたもの。x 方向にはどこまでも同じ形が続く。

$x$ 軸まわりに $4 5^{\circ}$ 回す。 円は回しても変わらず、正方形 $∣ y ∣ < 1$ かつ $∣ z ∣ < 1$ は、頂点が $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ のひし形 $∣ y ∣ + ∣ z ∣ < 2$ に移る。つまり

A^{'} = {y^{2} + z^{2} ≦ 4, ∣ y ∣ + ∣ z ∣ ≧ 2}

である（やはり $x$ 方向に無限に伸びた柱）。

$z$ 軸まわりに $9 0^{\circ}$ 回す。 この回転は $(x, y, z) \mapsto (- y, x, z)$ である。 $A^{'}$ の点 $(x, y, z)$ が移った先を $(X, Y, Z)$ とすると $y = - X$ 、 $x = Y$ 、 $z = Z$ なので、 $A^{'}$ の条件は

B = {(X, Y, Z) X^{2} + Z^{2} ≦ 4, ∣ X ∣ + ∣ Z ∣ ≧ 2}

となる。今度は $Y$ 方向に無限に伸びた柱である。

B の断面（xz 平面）。半径 2 の円から、対角線の長さが 2√2 のひし形の内部を取り除いたもの。y 方向にはどこまでも同じ形が続く。

$z = t$ で切る。 $r = 4 - t^{2}$ とおく（ $∣ t ∣ ≦ 2$ ）。この平面で $A$ は $y$ だけを、 $B$ は $x$ だけを制限するので、共通部分の断面は長方形の集まりになり、その面積は

S (t) = L_{A} (t) \cdot L_{B} (t)

である。ここで $L_{A} (t)$ は許される $y$ の長さ、 $L_{B} (t)$ は許される $x$ の長さである。どちらも $t$ の偶関数なので、 $0 ≦ t ≦ 2$ で考える。

$L_{A} (t)$ ： $t ≧ 1$ なら制限なしで $2 r$ 。 $0 ≦ t < 1$ なら $1 ≦ ∣ y ∣ ≦ r$ で $2 (r - 1)$
$L_{B} (t)$ ： $t ≧ 2$ なら $2 r$ 。 $0 ≦ t < 2$ なら $2 - t ≦ ∣ x ∣ ≦ r$ で $2 (r - 2 + t)$

である。したがって体積は

V = 2 \int_{0}^{2} L_{A} L_{B} d t = 8 {\int_{0}^{1} (r - 1) (r - 2 + t) d t + \int_{1}^{2} r (r - 2 + t) d t + \int_{2}^{2} r^{2} d t}

である。

必要な積分。 $F (t) = \frac{t}{2} 4 - t^{2} + 2 arcsin \frac{t}{2}$ とおくと $F^{'} (t) = 4 - t^{2}$ である。

$\int_{0}^{1} r d t = F (1) = \frac{3}{2} + \frac{π}{3}$ 、 $\int_{1}^{2} r d t = F (2) - F (1) = 1 + \frac{π}{2} - \frac{3}{2} - \frac{π}{3}$
$\int t r d t = - \frac{1}{3} (4 - t^{2})^{\frac{3}{2}}$ より $\int_{0}^{1} t r d t = \frac{8 - 3 3}{3}$ 、 $\int_{1}^{2} t r d t = \frac{3 3 - 2 2}{3}$
$\int r^{2} d t = \int (4 - t^{2}) d t = 4 t - \frac{t ^{3}}{3}$

である。これらを使って3つの積分を計算し、 $2$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $π$ 、 $2 π$ 、有理数の各項を整理すると、 $6$ の項は打ち消し合って

\int_{0}^{1} + \int_{1}^{2} + \int_{2}^{2} = \frac{15}{2} - \frac{2 2}{3} - \frac{3}{2} - \frac{π}{3} - \frac{2 π}{2}

となる。 $8$ 倍して

V = 60 - 43 - \frac{16 2}{3} - \frac{8 π}{3} - 42 π

である。数値では $19.3802 \dots$ である。

$A$ は $x$ 方向、 $B$ は $y$ 方向に伸びた柱なので、 $z$ で切ると「 $y$ の条件」と「 $x$ の条件」に完全に分かれる。これがこの問題のいちばんの急所である。

モンテカルロ法で $19.3615$ 、断面積の数値積分で $19.380247$ となり、式の値 $19.380212$ と合った。

$z$ 軸まわりの $9 0^{\circ}$ 回転で、柱の向きが $x$ 方向から $y$ 方向に変わる。回転前と同じ向きだと思うと共通部分がまったく違ってしまう。

$4 5^{\circ}$ 回転で正方形がひし形に変わる。円は変わらない。

$z = t$ の断面は「 $x$ の区間」×「 $y$ の区間」という長方形の集まり。面積は2つの長さの積になる。

2023年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東京科学大学（旧東工大）数学予想問題集 2027

東京科学大（旧東工大）数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・160ページ・2026年7月24日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ