東京科学大学　2023年度　前期日程　理系

第1問積分法の解答・解説

定積分の評価・不等式ではさむ・整数部分・指数関数の比較当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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答 $1$

積分を計算することはできないので、上と下からはさむ。上は $x > 0$ を捨てて $2 e^{- x}$ 、下は $x ≦ e^{x} - 1$ を使って $e^{- x} + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ で押さえる。

$I = \int_{0}^{2023} \frac{2}{x + e ^{x}} d x$ とおく。

上からの評価。 $0 < x ≦ 2023$ では $x + e^{x} > e^{x}$ なので

\frac{2}{x + e ^{x}} < 2 e^{- x}

である。したがって

I < \int_{0}^{2023} 2 e^{- x} d x = 2 (1 - e^{- 2023}) < 2

である。

下からの評価。 $e^{x} ≧ 1 + x$ （ $x ≧ 0$ ）より $x ≦ e^{x} - 1$ なので

x + e^{x} ≦ 2 e^{x} - 1, \frac{2}{x + e ^{x}} ≧ \frac{2}{2 e ^{x} - 1}

である。ここで $u = e^{- x}$ （ $0 < u ≦ 1$ ）とおくと

\frac{2}{2 e ^{x} - 1} = \frac{2 u}{2 - u}

であり、 $2 - u > 0$ に注意して

\frac{2 u}{2 - u} - (u + \frac{u ^{2}}{2}) = \frac{2 u - u ( 2 - u ) - \frac{u ^{2}}{2} ( 2 - u )}{2 - u} = \frac{\frac{u ^{3}}{2}}{2 - u} > 0

である。よって

\frac{2}{x + e ^{x}} > e^{- x} + \frac{1}{2} e^{- 2 x}

であり

I > \int_{0}^{2023} (e^{- x} + \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = (1 - e^{- 2023}) + \frac{1}{4} (1 - e^{- 4046})

である。右辺は $\frac{5}{4} - (e^{- 2023} + \frac{1}{4} e^{- 4046})$ である。 $e > 2$ より $e^{2023} > 2^{2023} > 16$ なので

e^{- 2023} < \frac{1}{16}, e^{- 4046} < \frac{1}{16}

であり

e^{- 2023} + \frac{1}{4} e^{- 4046} < \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64} < \frac{1}{4}

である。したがって

I > \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1

である。

以上より

1 < I < 2

なので、 $I$ の整数部分は $1$ である。

太い実線が 2/(x + eˣ)、上の破線が 2e⁻ˣ、下の細い破線が e⁻ˣ + e⁻²ˣ/2。太い線は上下の破線にはさまれていて、上の破線の面積は 2、下の破線の面積は 5/4 になる。

実際に数値計算すると $I = 1.6127 \dots$ である。上の評価 $2$ と下の評価 $\frac{5}{4}$ のあいだにきちんと入っている。

数値積分すると $I = 1.612791232$ で、 $\frac{5}{4} < I < 2$ を満たしていた。

上からの評価だけでは $I < 2$ しか言えず、整数部分が $0$ か $1$ か決まらない。下からも $1$ を超えることを示す必要がある。

$x ≦ e^{x} - 1$ から $x + e^{x} ≦ 2 e^{x} - 1$ 。この「 $- 1$ 」を残すのが効く（ $2 e^{x}$ だけで押さえると $I > 1 - e^{- 2023}$ にしかならず、 $1$ に届かない）。

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