第2問 整数の解答・解説

$A=x^3-x=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)$、$B=y^3-y$ とおくと $A^{2}B=86400$ である。

素因数分解。

である（$128\cdot 27\cdot 25=86400$）。

$\left|A\right|$ を絞る。 $A^2$ は $86400$ の約数で、しかも平方数である。$A^2=2^{2\alpha }{3}^{2\beta }{5}^{2\gamma }$ と書くと $2\alpha \leqq 7$、$2\beta \leqq 3$、$2\gamma \leqq 2$ より $\alpha \leqq 3$、$\beta \leqq 1$、$\gamma \leqq 1$ である。したがって

である。

一方、$A$ は連続3整数の積なので、$x=0,\pm 1$ のとき $A=0$（このとき左辺が $0$ になり不適）、それ以外では

であり、$\left|A\right|$ は $x$ の絶対値とともに増える。$120$ の約数になるのは $6,24,60,120$ の4つだけである（$210$ 以降は $120$ より大きい）。

それぞれ調べる。 $B=\frac{86400}{A^2}$ が $y^3-y$ の形になるかを見る。

1. $\left|A\right|=6$（$x=\pm 2$）：$B=\frac{86400}{36}=2400$。$13^3-13=2184$、$14^3-14=2730$ で $2400$ にはならない。不適
2. $\left|A\right|=24$（$x=\pm 3$）：$B=\frac{86400}{576}=150$。$5^3-5=120$、$6^3-6=210$ で $150$ にはならない。不適
3. $\left|A\right|=60$（$x=\pm 4$）：$B=\frac{86400}{3600}=24$。$y^3-y=24$ は $\left(y-3\right)\left(y^2+3y+8\right)=0$ で、$y^2+3y+8$ の判別式は $9-32<0$ だから $y=3$ のみ。適する
4. $\left|A\right|=120$（$x=\pm 5$）：$B=\frac{86400}{14400}=6$。$y^3-y=6$ は $\left(y-2\right)\left(y^2+2y+3\right)=0$ で、$y^2+2y+3$ の判別式は $4-12<0$ だから $y=2$ のみ。適する

である。$A$ は2乗されているので符号は関係なく、$x$ は $\pm$ の両方が使える。よって

の4組である。

$x^3-x$ も $y^3-y$ も連続3整数の積なので $6$ の倍数である。$A=6a$、$B=6b$ とおくと $216a^{2}b=86400$、すなわち $a^{2}b=400$ となり、ここから攻めてもよい。