独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全5問・無料

東京科学大学　2023年度　前期日程　理系

東京科学大 2023年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　積分法

定積分の評価・不等式ではさむ・整数部分・指数関数の比較当サイトの体感難易度：やや難

実数 $\int_{0}^{2023} \frac{2}{x + e ^{x}} d x$ の整数部分を求める

答 $1$

積分を計算することはできないので、上と下からはさむ。上は $x > 0$ を捨てて $2 e^{- x}$ 、下は $x ≦ e^{x} - 1$ を使って $e^{- x} + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ で押さえる。

$I = \int_{0}^{2023} \frac{2}{x + e ^{x}} d x$ とおく。

上からの評価。 $0 < x ≦ 2023$ では $x + e^{x} > e^{x}$ なので

\frac{2}{x + e ^{x}} < 2 e^{- x}

である。したがって

I < \int_{0}^{2023} 2 e^{- x} d x = 2 (1 - e^{- 2023}) < 2

である。

下からの評価。 $e^{x} ≧ 1 + x$ （ $x ≧ 0$ ）より $x ≦ e^{x} - 1$ なので

x + e^{x} ≦ 2 e^{x} - 1, \frac{2}{x + e ^{x}} ≧ \frac{2}{2 e ^{x} - 1}

である。ここで $u = e^{- x}$ （ $0 < u ≦ 1$ ）とおくと

\frac{2}{2 e ^{x} - 1} = \frac{2 u}{2 - u}

であり、 $2 - u > 0$ に注意して

\frac{2 u}{2 - u} - (u + \frac{u ^{2}}{2}) = \frac{2 u - u ( 2 - u ) - \frac{u ^{2}}{2} ( 2 - u )}{2 - u} = \frac{\frac{u ^{3}}{2}}{2 - u} > 0

である。よって

\frac{2}{x + e ^{x}} > e^{- x} + \frac{1}{2} e^{- 2 x}

であり

I > \int_{0}^{2023} (e^{- x} + \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = (1 - e^{- 2023}) + \frac{1}{4} (1 - e^{- 4046})

である。右辺は $\frac{5}{4} - (e^{- 2023} + \frac{1}{4} e^{- 4046})$ である。 $e > 2$ より $e^{2023} > 2^{2023} > 16$ なので

e^{- 2023} < \frac{1}{16}, e^{- 4046} < \frac{1}{16}

であり

e^{- 2023} + \frac{1}{4} e^{- 4046} < \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64} < \frac{1}{4}

である。したがって

I > \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1

である。

以上より

1 < I < 2

なので、 $I$ の整数部分は $1$ である。

太い実線が 2/(x + eˣ)、上の破線が 2e⁻ˣ、下の細い破線が e⁻ˣ + e⁻²ˣ/2。太い線は上下の破線にはさまれていて、上の破線の面積は 2、下の破線の面積は 5/4 になる。

実際に数値計算すると $I = 1.6127 \dots$ である。上の評価 $2$ と下の評価 $\frac{5}{4}$ のあいだにきちんと入っている。

数値積分すると $I = 1.612791232$ で、 $\frac{5}{4} < I < 2$ を満たしていた。

上からの評価だけでは $I < 2$ しか言えず、整数部分が $0$ か $1$ か決まらない。下からも $1$ を超えることを示す必要がある。

$x ≦ e^{x} - 1$ から $x + e^{x} ≦ 2 e^{x} - 1$ 。この「 $- 1$ 」を残すのが効く（ $2 e^{x}$ だけで押さえると $I > 1 - e^{- 2023}$ にしかならず、 $1$ に届かない）。

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第2問　整数

連続3整数の積・約数の絞り込み・3次方程式の整数解・すべて求める当サイトの体感難易度：やや難

方程式 $(x^{3} - x)^{2} (y^{3} - y) = 86400$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める

答 $(x, y) = (4, 3), (- 4, 3), (5, 2), (- 5, 2)$ の4組

$A = x^{3} - x$ とおくと $A^{2}$ は $86400$ の約数である。 $A^{2}$ が平方数であることから $∣ A ∣$ の候補が一気に絞られる。

$A = x^{3} - x = (x - 1) x (x + 1)$ 、 $B = y^{3} - y$ とおくと $A^{2} B = 86400$ である。

素因数分解。

86400 = 2^{7} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}

である（ $128 \cdot 27 \cdot 25 = 86400$ ）。

$∣ A ∣$ を絞る。 $A^{2}$ は $86400$ の約数で、しかも平方数である。 $A^{2} = 2^{2 α} 3^{2 β} 5^{2 γ}$ と書くと $2 α ≦ 7$ 、 $2 β ≦ 3$ 、 $2 γ ≦ 2$ より $α ≦ 3$ 、 $β ≦ 1$ 、 $γ ≦ 1$ である。したがって

∣ A ∣ は 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120 の約数

である。

一方、 $A$ は連続3整数の積なので、 $x = 0, \pm 1$ のとき $A = 0$ （このとき左辺が $0$ になり不適）、それ以外では

∣ A ∣ = 6, 24, 60, 120, 210, 336, \dots (x = \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 7, \dots)

であり、 $∣ A ∣$ は $x$ の絶対値とともに増える。 $120$ の約数になるのは $6, 24, 60, 120$ の4つだけである（ $210$ 以降は $120$ より大きい）。

それぞれ調べる。 $B = \frac{86400}{A ^{2}}$ が $y^{3} - y$ の形になるかを見る。

$∣ A ∣ = 6$ （ $x = \pm 2$ ）： $B = \frac{86400}{36} = 2400$ 。 $1 3^{3} - 13 = 2184$ 、 $1 4^{3} - 14 = 2730$ で $2400$ にはならない。不適
$∣ A ∣ = 24$ （ $x = \pm 3$ ）： $B = \frac{86400}{576} = 150$ 。 $5^{3} - 5 = 120$ 、 $6^{3} - 6 = 210$ で $150$ にはならない。不適
$∣ A ∣ = 60$ （ $x = \pm 4$ ）： $B = \frac{86400}{3600} = 24$ 。 $y^{3} - y = 24$ は $(y - 3) (y^{2} + 3 y + 8) = 0$ で、 $y^{2} + 3 y + 8$ の判別式は $9 - 32 < 0$ だから $y = 3$ のみ。適する
$∣ A ∣ = 120$ （ $x = \pm 5$ ）： $B = \frac{86400}{14400} = 6$ 。 $y^{3} - y = 6$ は $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 3) = 0$ で、 $y^{2} + 2 y + 3$ の判別式は $4 - 12 < 0$ だから $y = 2$ のみ。適する

である。 $A$ は2乗されているので符号は関係なく、 $x$ は $\pm$ の両方が使える。よって

(x, y) = (4, 3), (- 4, 3), (5, 2), (- 5, 2)

の4組である。

$x^{3} - x$ も $y^{3} - y$ も連続3整数の積なので $6$ の倍数である。 $A = 6 a$ 、 $B = 6 b$ とおくと $216 a^{2} b = 86400$ 、すなわち $a^{2} b = 400$ となり、ここから攻めてもよい。

$- 200 ≦ x ≦ 200$ の全探索でも、この4組だけだった。

「 $A^{2}$ が $86400$ の約数」から $∣ A ∣ ≦ 86400 = 293 \dots$ とだけ絞ると候補が多い。平方数であることを使って指数を半分にするのが近道。

$y^{3} - y = B$ の解がただ1つであることは、因数分解して残りの2次式の判別式を見れば分かる。

第2問だけのページ

第3問　複素数平面・確率

偏角と絶対値・多項分布の数え上げ・余りで分類する漸化式・対称性当サイトの体感難易度：やや難

(1)実数が書かれた3枚のカード $0$ 、 $1$ 、 $3$ から無作為に2枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数 $n$ に対して、この操作を $n$ 回繰り返して得られる $n$ 個の複素数の積を $z_{n}$ とするとき、 $∣ z_{n} ∣ < 5$ となる確率 $P_{n}$ を求める

答 $P_{n} = \frac{2 n ^{2} + 1}{3 ^{n}}$

6通りの複素数の絶対値は $1, 3, 2$ が2通りずつ。 $∣ z_{n} ∣$ は積なので、 $3$ と $2$ が何回出たかだけで決まる。条件を満たす回数の組は少ない。

6通りを書き出す。 実部と虚部の順で選ぶので、得られる複素数と絶対値・偏角は

$0 + 1 i = i$ ： $∣ \cdot ∣ = 1$ 、偏角 $9 0^{\circ}$
$0 + 3 i$ ： $∣ \cdot ∣ = 3$ 、偏角 $9 0^{\circ}$
$1 + 0 i = 1$ ： $∣ \cdot ∣ = 1$ 、偏角 $0^{\circ}$
$1 + 3 i$ ： $∣ \cdot ∣ = 2$ 、偏角 $6 0^{\circ}$
$3 + 0 i = 3$ ： $∣ \cdot ∣ = 3$ 、偏角 $0^{\circ}$
$3 + i$ ： $∣ \cdot ∣ = 2$ 、偏角 $3 0^{\circ}$

の6通りで、どれも確率 $\frac{1}{6}$ である。絶対値は $1, 3, 2$ がそれぞれ2通りずつなので、1回の操作で絶対値が $1, 3, 2$ になる確率はどれも $\frac{1}{3}$ である。

条件を言いかえる。 $n$ 回のうち絶対値が $3$ だった回数を $b$ 、 $2$ だった回数を $c$ とすると

∣ z_{n} ∣ = (3)^{b} \cdot 2^{c}

である。 $∣ z_{n} ∣ < 5$ となる $(b, c)$ を調べると

$(0, 0)$ ： $1$ 、 $(1, 0)$ ： $3 = 1.73$ 、 $(2, 0)$ ： $3$ ✓
$(0, 1)$ ： $2$ 、 $(1, 1)$ ： $23 = 3.46$ 、 $(0, 2)$ ： $4$ ✓
$(3, 0)$ ： $33 = 5.19$ 、 $(2, 1)$ ： $6$ 、 $(1, 2)$ ： $43 = 6.93$ 、 $(0, 3)$ ： $8$ ✗

である。 $b, c$ をこれ以上増やすと $∣ z_{n} ∣$ はさらに大きくなるので、条件を満たすのは上の6通りの $(b, c)$ だけである。

数える。 絶対値が $1, 3, 2$ になる回がどの順で現れるかを考える。 $n$ 回のうち「 $3$ の回」を $b$ 個、「 $2$ の回」を $c$ 個選ぶ場合の数を足し合わせればよい。

$(0, 0)$ ： $1$ 通り
$(1, 0)$ 、 $(0, 1)$ ：それぞれ $n$ 通り
$(2, 0)$ 、 $(0, 2)$ ：それぞれ $_{n} C_{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ 通り
$(1, 1)$ ： $3$ の回と $2$ の回を別々に選ぶので $n (n - 1)$ 通り

である。合計すると

1 + 2 n + 2 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2} + n (n - 1) = 1 + 2 n + 2 n (n - 1) = 2 n^{2} + 1

通りである。どの場合も確率は $(\frac{1}{3})^{n}$ なので

P_{n} = \frac{2 n ^{2} + 1}{3 ^{n}}

である。

$n = 1, 2$ では $2 n^{2} + 1 = 3, 9$ で $P_{1} = P_{2} = 1$ になる。実際 $n = 2$ までは $∣ z_{n} ∣ ≦ 4 < 5$ なので、必ず条件を満たす。

$n = 1, \dots, 5$ で $6^{n}$ 通りを全列挙すると、 $1, 1, \frac{19}{27}, \frac{11}{27}, \frac{17}{81}$ でこの式と一致した。

絶対値だけを見ればよい。どの複素数が出たかまで区別すると数え方が複雑になるが、絶対値ごとにまとめれば確率は $\frac{1}{3}$ ずつになる。

$(b, c) = (1, 1)$ は「2か所を選んでどちらが $3$ か決める」ので $n (n - 1)$ 通り。 $_{n} C_{2}$ ではない。

(2) $z_{n}^{2}$ が実数となる確率 $Q_{n}$ を求める

答 $Q_{n} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2 ^{n - 1}})$

$z^{2}$ が実数 $⟺$ $z$ の偏角が $9 0^{\circ}$ の倍数。偏角は $3 0^{\circ}$ の倍数なので、 $3 0^{\circ}$ を単位にして「 $3$ で割った余り」を追えばよい。

$z_{n} \neq = 0$ である（6通りのどれも $0$ ではない）。 $z_{n}^{2}$ が実数になるのは $z_{n}^{2}$ の偏角が $18 0^{\circ}$ の倍数のとき、すなわち

ar g z_{n} が 9 0^{\circ} の倍数

のときである。(1) の表より、1回の操作で得られる偏角は $3 0^{\circ}$ の倍数で、 $3 0^{\circ}$ を単位にすると

3, 3, 0, 2, 0, 1 (それぞれ確率 \frac{1}{6})

である。積の偏角は和になるので、 $n$ 回ぶんの合計 $S$ （ $3 0^{\circ}$ 単位）が $3$ の倍数であればよい。

$3$ で割った余り。 上の6つを $3$ で割った余りで分けると

余り $0$ ： $3, 3, 0, 0$ の4通り、確率 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
余り $1$ ： $1$ の1通り、確率 $\frac{1}{6}$
余り $2$ ： $2$ の1通り、確率 $\frac{1}{6}$

である。 $n$ 回後に $S$ を $3$ で割った余りが $0, 1, 2$ である確率を $q_{n}, r_{n}, s_{n}$ とする。余り $1$ と余り $2$ が出る確率が等しいので、対称性から $r_{n} = s_{n}$ であり

q_{n} + 2 r_{n} = 1

である。

漸化式。 余りが $0$ になるのは「 $0$ から $0$ を足す」「 $1$ から $2$ を足す」「 $2$ から $1$ を足す」の3通りなので

q_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n} + \frac{1}{6} r_{n} + \frac{1}{6} s_{n} = \frac{2}{3} q_{n} + \frac{1}{6} (1 - q_{n}) = \frac{1}{2} q_{n} + \frac{1}{6}

である。 $q = \frac{1}{2} q + \frac{1}{6}$ を解くと $q = \frac{1}{3}$ なので

q_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} (q_{n} - \frac{1}{3})

である。 $q_{1} = \frac{2}{3}$ （余り $0$ になるのは4通り）なので $q_{1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ で

q_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}

である。よって

Q_{n} = q_{n} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2 ^{n - 1}}) = \frac{2 ^{n - 1} + 1}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}

である。

$n \to \infty$ で $Q_{n} \to \frac{1}{3}$ である。偏角の余りが $0, 1, 2$ のどれになるかが、だんだん均等に近づく。

$n = 1, \dots, 5$ の全列挙で $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{5}{12}, \frac{3}{8}, \frac{17}{48}$ となり、この式と一致した。

$z^{2}$ が実数なのは「 $z$ が実数」だけでなく「 $z$ が純虚数」でもよい。偏角が $9 0^{\circ}$ の倍数、とまとめる。

$3 0^{\circ}$ を単位にすると、 $9 0^{\circ}$ の倍数は「 $3$ の倍数」になる。余りで分類する定石に持ちこめる。

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第4問　積分法

立体の共通部分・断面積の積分・回転による変換・円と正方形当サイトの体感難易度：難

$x y z$ 空間において、 $x$ 軸を軸とする半径 $2$ の円柱から $∣ y ∣ < 1$ かつ $∣ z ∣ < 1$ で表される角柱の内部を取り除いたものを $A$ とする。 $A$ を $x$ 軸のまわりに $4 5^{\circ}$ 回転してから $z$ 軸のまわりに $9 0^{\circ}$ 回転したものを $B$ とする。 $A$ と $B$ の共通部分の体積を求める

答 $60 - 43 - \frac{16 2}{3} - \frac{8 π}{3} - 42 π$

$A$ は $x$ 方向に無限に伸びた柱で、断面（ $y z$ 平面）は「円から正方形を抜いたもの」。 $B$ も同様に $y$ 方向の柱になる。 $z = t$ で切ると、 $A$ は $y$ だけ、 $B$ は $x$ だけを制限するので、断面積は2つの長さの積になる。

$A$ と $B$ を式で書く。 $A$ は $x$ によらないので

A = {(x, y, z) y^{2} + z^{2} ≦ 4, ∣ y ∣ ≧ 1 または ∣ z ∣ ≧ 1}

である。

A の断面（yz 平面）。半径 2 の円から、1辺 2 の正方形の内部を取り除いたもの。x 方向にはどこまでも同じ形が続く。

$x$ 軸まわりに $4 5^{\circ}$ 回す。 円は回しても変わらず、正方形 $∣ y ∣ < 1$ かつ $∣ z ∣ < 1$ は、頂点が $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ のひし形 $∣ y ∣ + ∣ z ∣ < 2$ に移る。つまり

A^{'} = {y^{2} + z^{2} ≦ 4, ∣ y ∣ + ∣ z ∣ ≧ 2}

である（やはり $x$ 方向に無限に伸びた柱）。

$z$ 軸まわりに $9 0^{\circ}$ 回す。 この回転は $(x, y, z) \mapsto (- y, x, z)$ である。 $A^{'}$ の点 $(x, y, z)$ が移った先を $(X, Y, Z)$ とすると $y = - X$ 、 $x = Y$ 、 $z = Z$ なので、 $A^{'}$ の条件は

B = {(X, Y, Z) X^{2} + Z^{2} ≦ 4, ∣ X ∣ + ∣ Z ∣ ≧ 2}

となる。今度は $Y$ 方向に無限に伸びた柱である。

B の断面（xz 平面）。半径 2 の円から、対角線の長さが 2√2 のひし形の内部を取り除いたもの。y 方向にはどこまでも同じ形が続く。

$z = t$ で切る。 $r = 4 - t^{2}$ とおく（ $∣ t ∣ ≦ 2$ ）。この平面で $A$ は $y$ だけを、 $B$ は $x$ だけを制限するので、共通部分の断面は長方形の集まりになり、その面積は

S (t) = L_{A} (t) \cdot L_{B} (t)

である。ここで $L_{A} (t)$ は許される $y$ の長さ、 $L_{B} (t)$ は許される $x$ の長さである。どちらも $t$ の偶関数なので、 $0 ≦ t ≦ 2$ で考える。

$L_{A} (t)$ ： $t ≧ 1$ なら制限なしで $2 r$ 。 $0 ≦ t < 1$ なら $1 ≦ ∣ y ∣ ≦ r$ で $2 (r - 1)$
$L_{B} (t)$ ： $t ≧ 2$ なら $2 r$ 。 $0 ≦ t < 2$ なら $2 - t ≦ ∣ x ∣ ≦ r$ で $2 (r - 2 + t)$

である。したがって体積は

V = 2 \int_{0}^{2} L_{A} L_{B} d t = 8 {\int_{0}^{1} (r - 1) (r - 2 + t) d t + \int_{1}^{2} r (r - 2 + t) d t + \int_{2}^{2} r^{2} d t}

である。

必要な積分。 $F (t) = \frac{t}{2} 4 - t^{2} + 2 arcsin \frac{t}{2}$ とおくと $F^{'} (t) = 4 - t^{2}$ である。

$\int_{0}^{1} r d t = F (1) = \frac{3}{2} + \frac{π}{3}$ 、 $\int_{1}^{2} r d t = F (2) - F (1) = 1 + \frac{π}{2} - \frac{3}{2} - \frac{π}{3}$
$\int t r d t = - \frac{1}{3} (4 - t^{2})^{\frac{3}{2}}$ より $\int_{0}^{1} t r d t = \frac{8 - 3 3}{3}$ 、 $\int_{1}^{2} t r d t = \frac{3 3 - 2 2}{3}$
$\int r^{2} d t = \int (4 - t^{2}) d t = 4 t - \frac{t ^{3}}{3}$

である。これらを使って3つの積分を計算し、 $2$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $π$ 、 $2 π$ 、有理数の各項を整理すると、 $6$ の項は打ち消し合って

\int_{0}^{1} + \int_{1}^{2} + \int_{2}^{2} = \frac{15}{2} - \frac{2 2}{3} - \frac{3}{2} - \frac{π}{3} - \frac{2 π}{2}

となる。 $8$ 倍して

V = 60 - 43 - \frac{16 2}{3} - \frac{8 π}{3} - 42 π

である。数値では $19.3802 \dots$ である。

$A$ は $x$ 方向、 $B$ は $y$ 方向に伸びた柱なので、 $z$ で切ると「 $y$ の条件」と「 $x$ の条件」に完全に分かれる。これがこの問題のいちばんの急所である。

モンテカルロ法で $19.3615$ 、断面積の数値積分で $19.380247$ となり、式の値 $19.380212$ と合った。

$z$ 軸まわりの $9 0^{\circ}$ 回転で、柱の向きが $x$ 方向から $y$ 方向に変わる。回転前と同じ向きだと思うと共通部分がまったく違ってしまう。

$4 5^{\circ}$ 回転で正方形がひし形に変わる。円は変わらない。

$z = t$ の断面は「 $x$ の区間」×「 $y$ の区間」という長方形の集まり。面積は2つの長さの積になる。

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第5問　空間ベクトル

点と直線の距離・等距離の点の集合・2平面に分かれる・連立して解く当サイトの体感難易度：難

(1) $x y z$ 空間の4点 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (1, 1, 1)$ 、 $C (- 1, 1, - 1)$ 、 $D (- 1, 0, 0)$ を考える。2直線 $AB$ 、 $BC$ から等距離にある点全体のなす図形を求める

答2平面 $x - y = 0$ と $x + y + 2 z - 4 = 0$ の和集合

点と直線の距離は外積で書ける。2つの距離の2乗を比べ、差を因数分解する。

$P (x, y, z)$ とする。直線 $AB$ は $A (1, 0, 0)$ を通り方向ベクトルは $AB = (0, 1, 1)$ である。

AP \times AB = (y - z, - (x - 1), x - 1)

なので

(距離)^{2} = \frac{( y - z ) ^{2} + 2 ( x - 1 ) ^{2}}{2}

である。直線 $BC$ は $B (1, 1, 1)$ を通り $BC = (- 2, 0, - 2)$ 、向きとしては $(1, 0, 1)$ である。同様に

(距離)^{2} = \frac{2 ( y - 1 ) ^{2} + ( x - z ) ^{2}}{2}

である。2つが等しい条件は

(y - z)^{2} + 2 (x - 1)^{2} = 2 (y - 1)^{2} + (x - z)^{2}

である。展開して整理すると

x^{2} - y^{2} + 2 z (x - y) - 4 (x - y) = 0

で、 $x - y$ でくくれて

(x - y) (x + y + 2 z - 4) = 0

となる。したがって求める図形は

平面 x - y = 0 と平面 x + y + 2 z - 4 = 0 の和集合

である。どちらの平面も $B (1, 1, 1)$ （2直線の交点）を含んでいる。

交わる2直線から等距離にある点は、2直線が作る角の二等分線を含む2枚の平面の上にある。ここではそれが $x = y$ と $x + y + 2 z = 4$ である。

乱数で2000点をとると、距離が等しいことと $(x - y) (x + y + 2 z - 4) = 0$ が完全に一致した。

「2直線から等距離」は1枚の平面ではなく2枚の平面になる。因数分解して両方を書く。

(2)4直線 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求める

答中心 $(0, 0, \pm 2)$ で $r = 2$ 、中心 $(22, 4, - 2), (- 22, 4, 2)$ で $r = 32$ 、中心 $(\pm 2, - 2, \pm 2), (\pm 2, 2, \mp 2)$ （複号同順の4点）で $r = 6$ 。合わせて8組

4直線すべてへの距離の2乗を書き下して連立する。 $DA$ （ $x$ 軸）への距離がいちばん簡単なので、それを基準にすると式が軽くなる。

$P (x, y, z)$ 、半径 $r$ とする。4直線への距離の2乗は、(1) と同じ計算で

$AB$ ： $\frac{( y - z ) ^{2} + 2 ( x - 1 ) ^{2}}{2}$
$BC$ ： $\frac{2 ( y - 1 ) ^{2} + ( x - z ) ^{2}}{2}$
$CD$ ： $\frac{( y + z ) ^{2} + 2 ( x + 1 ) ^{2}}{2}$ （ $C (- 1, 1, - 1)$ を通り方向 $(0, 1, - 1)$ ）
$DA$ ： $y^{2} + z^{2}$ （ $x$ 軸そのもの）

である。 $r^{2} = y^{2} + z^{2}$ を基準にして、残りの3本と等しいとおく。

$AB = DA$ 。

2 (y^{2} + z^{2}) = (y - z)^{2} + 2 (x - 1)^{2} ⟺ (y + z)^{2} = 2 (x - 1)^{2}

$CD = DA$ 。

2 (y^{2} + z^{2}) = (y + z)^{2} + 2 (x + 1)^{2} ⟺ (y - z)^{2} = 2 (x + 1)^{2}

$BC = DA$ 。

2 (y^{2} + z^{2}) = 2 (y - 1)^{2} + (x - z)^{2} ⟺ z^{2} + 2 x z - x^{2} + 4 y - 2 = 0

である。

はじめの2本を解く。 $y + z = ε_{1} 2 (x - 1)$ 、 $y - z = ε_{2} 2 (x + 1)$ （ $ε_{1}, ε_{2}$ は $\pm 1$ ）と書ける。足し引きして

y = \frac{2}{2} {ε_{1} (x - 1) + ε_{2} (x + 1)}, z = \frac{2}{2} {ε_{1} (x - 1) - ε_{2} (x + 1)}

である。符号の組ごとに書くと

$(+, +)$ ： $y = 2 x$ 、 $z = - 2$
$(+, -)$ ： $y = - 2$ 、 $z = 2 x$
$(-, +)$ ： $y = 2$ 、 $z = - 2 x$
$(-, -)$ ： $y = - 2 x$ 、 $z = 2$

である。これを3本目に代入する。

$(+, +)$ ： $2 - 22 x - x^{2} + 42 x - 2 = 0$ より $x (x - 22) = 0$ 、 $x = 0$ または $22$
$(+, -)$ ： $(1 + 22) x^{2} = 2 + 42$ より $x^{2} = 2$ 、 $x = \pm 2$
$(-, +)$ ： $(1 - 22) x^{2} = 2 - 42$ より $x^{2} = 2$ 、 $x = \pm 2$
$(-, -)$ ： $x (x + 22) = 0$ 、 $x = 0$ または $- 22$

である。それぞれ中心と $r = y^{2} + z^{2}$ を求めると

$(0, 0, - 2)$ 、 $r = 2$
$(0, 0, 2)$ 、 $r = 2$
$(22, 4, - 2)$ 、 $r = 32$
$(- 22, 4, 2)$ 、 $r = 32$
$(2, - 2, 2)$ 、 $r = 6$
$(- 2, - 2, - 2)$ 、 $r = 6$
$(2, 2, - 2)$ 、 $r = 6$
$(- 2, 2, 2)$ 、 $r = 6$

の8組である。どれも $r > 0$ で、実際に4直線すべてから等距離になっている。

4直線のうち $AB$ と $CD$ はねじれの位置、 $BC$ と $DA$ もねじれの位置にある。4本すべてに接する球が8個もあるのは、(1) で見たように「等距離の条件」が毎回2枚の平面に分かれ、 $2^{3} = 8$ 通りの組み合わせが生じるためである。

8つの中心それぞれで4直線への距離を計算すると、どれも4つとも同じ値（ $2 = 1.414213562$ 、 $32 = 4.242640687$ 、 $6 = 2.449489743$ ）になった。

$DA$ は $x$ 軸なので距離が $y^{2} + z^{2}$ と最も簡単。これを基準にすると式がそろう。

平方根を外すとき $\pm$ の両方を残す。符号の組ごとに場合分けが必要である。

第5問だけのページ

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問題文について

実数 ∫02023​x+ex2​dx の整数部分を求める

方程式 (x3−x)2(y3−y)=86400 を満たす整数の組 (x,y) をすべて求める

(2)zn2​ が実数となる確率 Qn​ を求める

(1)xyz 空間の4点 A(1,0,0)、B(1,1,1)、C(−1,1,−1)、D(−1,0,0) を考える。2直線 AB、BC から等距離にある点全体のなす図形を求める

(2)4直線 AB、BC、CD、DA に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求める

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(1) $x y z$ 空間の4点 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (1, 1, 1)$ 、 $C (- 1, 1, - 1)$ 、 $D (- 1, 0, 0)$ を考える。2直線 $AB$ 、 $BC$ から等距離にある点全体のなす図形を求める

(2)4直線 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求める