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東京科学大学　2020年度　前期日程　理系

第4問積分法の解答・解説

斜めの直線のまわりの回転・垂線の足・断面積の積分・パップス・ギュルダンでの確認当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $n$ を正の奇数とし、曲線 $y = sin x$ （ $(n - 1) π ≦ x ≦ nπ$ ）と $x$ 軸で囲まれた部分を $D_{n}$ 、直線 $x + y = 0$ を $ℓ$ 、 $ℓ$ のまわりに $D_{n}$ を1回転させてできる回転体を $V_{n}$ とする。 $(n - 1) π ≦ x ≦ nπ$ に対して点 $(x, sin x)$ を $P$ 、 $P$ から $ℓ$ に下ろした垂線と $x$ 軸の交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ を $ℓ$ のまわりに1回転させてできる図形の面積を $x$ の式で表す

答 $2 π x sin x$

$PQ$ は $ℓ$ に垂直なので、回すと円環になる。外側と内側の半径は、 $P$ と $Q$ から $ℓ$ までの距離である。

$ℓ : x + y = 0$ に垂直な方向は $(1, 1)$ である。 $P (x, sin x)$ を通りこの向きの直線は $(x + t, sin x + t)$ で、 $x$ 軸との交点は $t = - sin x$ のときだから

Q (x - sin x, 0)

である。

点 $(u, v)$ と $ℓ$ の距離は $\frac{∣ u + v ∣}{2}$ なので

d (P) = \frac{x + sin x}{2}, d (Q) = \frac{x - sin x}{2}

である（ $n$ は奇数なので $(n - 1) π ≦ x ≦ nπ$ では $sin x ≧ 0$ 、また $x ≧ 0$ かつ $x ≧ sin x$ なのでどちらも $0$ 以上）。

線分 $PQ$ は $ℓ$ に垂直なので、回すと外半径 $d (P)$ 、内半径 $d (Q)$ の円環になる。面積は

π {d (P)^{2} - d (Q)^{2}} = \frac{π}{2} {(x + sin x)^{2} - (x - sin x)^{2}} = \frac{π}{2} \cdot 4 x sin x

すなわち

2 π x sin x

である。

n = 1 のとき。網かけが D₁、右下がりの直線が ℓ : x + y = 0。P から ℓ に下ろした垂線（破線）が x 軸と交わる点が Q。線分 PQ は ℓ に垂直なので、回すと円環になる。

この面積を使った積分が、パップス・ギュルダンの定理と一致した（(2) 参照）。

$PQ$ が $ℓ$ に垂直であることが効く。斜めの線分だと円環にならない。

$d (P)^{2} - d (Q)^{2}$ は和と差の積で一気に簡単になる。

(2)(1) の結果を用いて、回転体 $V_{n}$ の体積を $n$ の式で表す

答 $V_{n} = \frac{2 ( 8 n - 3 ) π ^{2}}{4}$

$ℓ$ に沿った位置を $s$ とすると、断面積は (1) の円環の面積。 $s$ と $x$ の関係を微分して $d s$ に直す。

$ℓ$ 上の位置を測る。 $ℓ$ の方向ベクトルは $\frac{1}{2} (1, - 1)$ なので、点 $(u, v)$ の $ℓ$ 方向の座標は $\frac{u - v}{2}$ である。 $P$ と $Q$ はどちらも

s = \frac{x - sin x}{2}

である（同じ垂線の上にあるので当然）。微分すると

\frac{d s}{d x} = \frac{1 - cos x}{2} ≧ 0

で、 $s$ は $x$ とともに（広い意味で）増加する。 $s$ の位置での断面積が (1) の $2 π x sin x$ なので

V_{n} = \int 2 π x sin x d s = \int_{(n - 1) π}^{nπ} 2 π x sin x \cdot \frac{1 - cos x}{2} d x

である。 $2$ を整理して

V_{n} = 2 π \int_{(n - 1) π}^{nπ} x sin x (1 - cos x) d x

である。

積分する。 $sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}$ なので

\int x sin x (1 - cos x) d x = \int x sin x d x - \frac{1}{2} \int x sin 2 x d x

で、部分積分により

\int x sin x d x = - x cos x + sin x, \int x sin 2 x d x = - \frac{x}{2} cos 2 x + \frac{1}{4} sin 2 x

である。したがって原始関数は

F (x) = - x cos x + sin x + \frac{x}{4} cos 2 x - \frac{1}{8} sin 2 x

である。 $n$ は奇数なので $cos nπ = - 1$ 、 $cos (n - 1) π = 1$ 、 $sin$ はどちらも $0$ 、 $cos 2 nπ = cos 2 (n - 1) π = 1$ である。よって

F (nπ) = nπ + \frac{nπ}{4} = \frac{5 nπ}{4}, F ((n - 1) π) = - (n - 1) π + \frac{( n - 1 ) π}{4} = - \frac{3 ( n - 1 ) π}{4}

である。差をとると

\int_{(n - 1) π}^{nπ} x sin x (1 - cos x) d x = \frac{5 nπ + 3 ( n - 1 ) π}{4} = \frac{( 8 n - 3 ) π}{4}

なので

V_{n} = 2 π \cdot \frac{( 8 n - 3 ) π}{4} = \frac{2 ( 8 n - 3 ) π ^{2}}{4}

である。

パップス・ギュルダンの定理でも確かめられる。 $D_{n}$ の面積は $2$ 、重心は $(\frac{( 2 n - 1 ) π}{2}, \frac{π}{8})$ なので $ℓ$ までの距離は $\frac{( 8 n - 3 ) π}{8 2}$ で、 $V = 2 π \cdot \frac{( 8 n - 3 ) π}{8 2} \cdot 2 = \frac{2 ( 8 n - 3 ) π ^{2}}{4}$ ✓。

$n = 1, 3, 5$ で数値積分すると $17.447160499$ 、 $73.278074096$ 、 $129.108987693$ で、式の値と小数9桁まで一致した。

$d s$ と $d x$ の関係を忘れない。 $ℓ$ に沿った長さで積分する。

$n$ が奇数であることを使って三角関数の値を確定させる。偶数だと符号が変わる。

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(2)(1) の結果を用いて、回転体 Vn​ の体積を n の式で表す

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