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東京科学大学　2020年度　前期日程　理系

第3問空間図形の解答・解説

平面の方程式・線分との交点・方べきの定理の逆・領域の図示当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)座標空間に5点 $O (0, 0, 0)$ 、 $A (3, 0, 0)$ 、 $B (0, 3, 0)$ 、 $C (0, 0, 4)$ 、 $P (0, 0, - 2)$ をとり、 $0 < a < 3$ 、 $0 < b < 3$ に対して $Q (a, 0, 0)$ 、 $R (0, b, 0)$ を考える。 $P, Q, R$ を通る平面を $H$ とするとき、 $H$ と線分 $AC$ の交点 $T$ 、 $H$ と線分 $BC$ の交点 $S$ の座標を求める

答 $T (\frac{9 a}{3 + 2 a}, 0, \frac{4 ( 3 - a )}{3 + 2 a})$ 、 $S (0, \frac{9 b}{3 + 2 b}, \frac{4 ( 3 - b )}{3 + 2 b})$

$H$ は3つの座標軸を $(a, 0, 0)$ 、 $(0, b, 0)$ 、 $(0, 0, - 2)$ で切るので、切片形で一発で書ける。

$H$ は $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸をそれぞれ $a$ 、 $b$ 、 $- 2$ で切るので、切片形で

H : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{- 2} = 1, すなわち \frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{2} = 1

である。

$T$ 。 線分 $AC$ は $(3 - 3 t, 0, 4 t)$ （ $0 ≦ t ≦ 1$ ）と書ける。代入すると

\frac{3 - 3 t}{a} - 2 t = 1, 3 - 3 t = a (1 + 2 t), t = \frac{3 - a}{3 + 2 a}

である（ $0 < a < 3$ より $0 < t < 1$ ✓）。これを代入して

T (\frac{9 a}{3 + 2 a}, 0, \frac{4 ( 3 - a )}{3 + 2 a})

である。

$S$ 。 線分 $BC$ は $(0, 3 - 3 s, 4 s)$ で、まったく同じ計算により $s = \frac{3 - b}{3 + 2 b}$ 、

S (0, \frac{9 b}{3 + 2 b}, \frac{4 ( 3 - b )}{3 + 2 b})

である。

$(a, b) = (1, 2)$ では $T (1.8, 0, 1.6)$ 、 $S (0, \frac{18}{7}, \frac{4}{7})$ で、どちらも $H$ 上かつ線分上にあった。

平面の切片形を使うと計算が最短になる。法線ベクトルを求めてから…とすると遠回り。

(2)点 $Q, R, S, T$ が同一円周上にあるための必要十分条件を $a, b$ を用いて表し、それを満たす点 $(a, b)$ の範囲を座標平面上に図示する

答 $a = b$ または $2 ab + 3 a + 3 b = 8$ （すなわち $(a + \frac{3}{2}) (b + \frac{3}{2}) = \frac{25}{4}$ ）。ただし $0 < a < 3$ 、 $0 < b < 3$

$Q, T$ は平面 $y = 0$ 上、 $R, S$ は平面 $x = 0$ 上にあり、直線 $QT$ と $RS$ はどちらも $P$ を通る。方べきの定理の逆が使える形である。

2直線は $P$ で交わる。 $Q, T$ はどちらも $y = 0$ を満たし、 $R, S$ はどちらも $x = 0$ を満たす。直線 $QT$ と $RS$ はともに平面 $H$ 上にあるので交わり、その交点は $x = y = 0$ 、つまり $z$ 軸上で $H$ 上の点である。 $H$ の式で $x = y = 0$ とすると $- \frac{z}{2} = 1$ 、 $z = - 2$ なので、交点は $P$ である。

方べきの定理。 $Q, T$ は直線 $QT$ 上、 $R, S$ は直線 $RS$ 上にあり、2直線は $P$ で交わる。 $z$ 座標を見ると $P$ は $- 2$ 、 $Q, R$ は $0$ 、 $S, T$ は正なので、 $P$ は線分 $QT$ の外側、線分 $RS$ の外側にある。したがって4点が同一円周上にある必要十分条件は

PQ \cdot PT = PR \cdot PS

である。

計算する。

PQ = ∣ (a, 0, 2) ∣ = a^{2} + 4

である。 $T$ の $z$ 座標に $2$ を足すと $\frac{4 ( 3 - a ) + 2 ( 3 + 2 a )}{3 + 2 a} = \frac{18}{3 + 2 a}$ なので

PT = \frac{1}{3 + 2 a} (9 a)^{2} + 1 8^{2} = \frac{9}{3 + 2 a} a^{2} + 4

である（ $81 a^{2} + 324 = 81 (a^{2} + 4)$ ）。よって

PQ \cdot PT = \frac{9 ( a ^{2} + 4 )}{3 + 2 a}

であり、同様に $PR \cdot PS = \frac{9 ( b ^{2} + 4 )}{3 + 2 b}$ である。条件は

\frac{a ^{2} + 4}{3 + 2 a} = \frac{b ^{2} + 4}{3 + 2 b}

すなわち $(a^{2} + 4) (3 + 2 b) = (b^{2} + 4) (3 + 2 a)$ である。展開して整理すると

3 (a^{2} - b^{2}) + 2 ab (a - b) - 8 (a - b) = 0, (a - b) {3 (a + b) + 2 ab - 8} = 0

である。したがって求める条件は

a = b または 2 ab + 3 a + 3 b = 8

である。後者は

2 (a + \frac{3}{2}) (b + \frac{3}{2}) = 2 ab + 3 a + 3 b + \frac{9}{2} = \frac{25}{2}, (a + \frac{3}{2}) (b + \frac{3}{2}) = \frac{25}{4}

と書ける。漸近線が $a = - \frac{3}{2}$ 、 $b = - \frac{3}{2}$ の双曲線で、 $b = \frac{8 - 3 a}{2 a + 3}$ である。 $0 < b < 3$ となるのは $0 < a < \frac{8}{3}$ のときである。

太い線が条件を満たす (a, b) の集合。正方形 0 < a < 3、0 < b < 3 の中で、対角線 a = b と、双曲線 (a + 3/2)(b + 3/2) = 25/4 の一部（(0, 8/3) から (8/3, 0) まで、両端は除く）。2つは (1, 1) で交わる。

2つの曲線は $(1, 1)$ で交わる。 $a = b = 1$ は $2 + 3 + 3 = 8$ を満たすからである。

数値で $PQ \cdot PT - PR \cdot PS$ を計算すると、 $a = b$ のときと $2 ab + 3 a + 3 b = 8$ のときにちょうど $0$ になった。

4点が2つの直線に2個ずつ乗っていて、その2直線が1点で交わる、という構図に気づくこと。そこから方べきの定理（の逆）が使える。

$P$ が両方の線分の外側にあることを確かめる。内側だと符号つきの扱いが変わる。

$(a - b)$ でくくれる。 $a = b$ のほうを落とさない。

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(1)座標空間に5点 O(0,0,0)、A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,4)、P(0,0,−2) をとり、0<a<3、0<b<3 に対して Q(a,0,0)、R(0,b,0) を考える。P,Q,R を通る平面を H とするとき、H と線分 AC の交点 T、H と線分 BC の交点 S の座標を求める

(2)点 Q,R,S,T が同一円周上にあるための必要十分条件を a,b を用いて表し、それを満たす点 (a,b) の範囲を座標平面上に図示する

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