第2問 複素数平面の解答・解説

$\alpha \ne \beta$ なので $z=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ とおける。

$△\mathrm{ABC}$ が正三角形であることは、$\mathrm{C}$ が $\mathrm{B}$ を $\mathrm{A}$ のまわりに $60^{\circ }$ または $-60^{\circ }$ 回した点であること、すなわち

と同値である。つまり

である。この2数は2次方程式 $z^2-z+1=0$ の2解である（和 $1$、積 $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$）。逆にこの方程式の解はこの2数しかない。したがって

である。両辺に ${\left(\beta -\alpha \right)}^2\ne 0$ を掛けると

である。展開して整理すると

となる。よって求める必要十分条件が示された。$■$

$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$（1の原始3乗根）を使うと

と因数分解できる。2つの因数はそれぞれ「反時計回りの正三角形」「時計回りの正三角形」に対応する。

外接円の中心を原点にとる。正三角形なので、$\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$ を使って

としてよい（必要なら全体を回す）。$\mathrm{P}$ は $p=R\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$ と書ける。

2乗の和。 頂点を $v_k=R{\omega }^k$（$k=0,1,2$）とすると

である。$v_0+v_1+v_2=R\left(1+\omega +{\omega }^2\right)=0$ なので、3つ足すと

である。

4乗の和。 $v_k=R\left(\cos {\phi }_k+i\sin {\phi }_k\right)$（${\phi }_k=\frac{2k\pi }{3}$）とすると

である。${\psi }_k=\theta -{\phi }_k$ とおいて2乗して足すと

である。${\psi }_0,{\psi }_1,{\psi }_2$ は $120^{\circ }$ ずつ違うので $\sum _k\cos {\psi }_k=0$ である。また ${\cos }^2\psi =\frac{1+\cos 2\psi }{2}$ で、$2{\psi }_k$ も $240^{\circ }$ ずつ違う（つまり $120^{\circ }$ ずつ違う）ので $\sum _k\cos 2{\psi }_k=0$、したがって $\sum _k{\cos }^2{\psi }_k=\frac{3}{2}$ である。よって

である。まとめると

で、どちらも $\mathrm{P}$ の位置によらない。

$\mathrm{P}=\mathrm{A}$ で確かめると、$\mathrm{AP}=0$、$\mathrm{BP}=\mathrm{CP}=\sqrt{3}R$（正三角形の1辺）なので $0+3R^2+3R^2=6R^2$ ✓、$0+9R^4+9R^4=18R^4$ ✓。