第1問 整数の解答・解説

符号。 $x^2-x-23=0$ の解は $x=\frac{1\pm \sqrt{93}}{2}$ で、$\sqrt{93}=9.64\cdots$ なので正の解は $5.32\cdots$ である。したがって正の整数 $x$ については

1. $1\leqq x\leqq 5$：$x^2-x-23<0$ なので $\left|x^2-x-23\right|=23+x-x^2$
2. $x\geqq 6$：$x^2-x-23>0$ なので $\left|x^2-x-23\right|=x^2-x-23$

である。

$3$ で割った余り。 $x^2-x=x\left(x-1\right)$ と $23\equiv 2$ から

1. $x\equiv 0$：$x^2-x\equiv 0$ なので $x^2-x-23\equiv -2\equiv 1$
2. $x\equiv 1$：$x^2-x\equiv 0$ なので $\equiv 1$
3. $x\equiv 2$：$x^2-x\equiv 4-2=2$ なので $\equiv 0$

である（いずれも $\mathrm{mod}3$）。

$x\geqq 6$ のとき。 $\left|x^2-x-23\right|=x^2-x-23\equiv 1$ または $0$ で、$2$ にはならない。解なし。

$1\leqq x\leqq 5$ のとき。 $\left|x^2-x-23\right|=-\left(x^2-x-23\right)\equiv -1\equiv 2$ または $-0\equiv 0$ なので、$x\not\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のときに $2$ になる。$x=1,2,3,4,5$ のうち $x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なのは $x=2,5$ なので、残る

が答えである。実際 $\left|1-1-23\right|=23$、$\left|9-3-23\right|=17$、$\left|16-4-23\right|=11$ で、どれも $3$ で割ると $2$ 余る ✓。

$3$ の倍数になるのはいつか。 (1) の計算より、$x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のとき（そしてそのときだけ）$\left|x^2-x-23\right|$ は $3$ の倍数である。

$3$ の倍数が素数になるのは、その値が $3$ のときだけである。

である。$x^2-x-26=0$ は判別式 $1+104=105$ が平方数でないので整数解をもたない。$x^2-x-20=0$ は $\left(x-5\right)\left(x+4\right)=0$ で、正の整数解は $x=5$ である。

したがって $x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ で $\left|x^2-x-23\right|$ が素数になるのは $x=5$ だけである。

$k$ の上限。 連続する $6$ 個の整数には $3$ で割って $2$ 余るものがちょうど $2$ 個ある。どちらも $5$ にはなれないので、$k\geqq 6$ は不可能である。よって $k\leqq 5$ である。

$k=5$ の場合。 連続する $5$ 個の整数のうち $3$ で割って $2$ 余るものの個数は、先頭 $x_1$ の余りによって

1. $x_1\equiv 0$：余りは $0,1,2,0,1$ で 1個
2. $x_1\equiv 1$：余りは $1,2,0,1,2$ で 2個
3. $x_1\equiv 2$：余りは $2,0,1,2,0$ で 2個

なので、$x_1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ でなければならない。そのとき $3$ で割って $2$ 余るのは $x_1+2$ で、これが $5$ である必要があるから $x_1=3$ である。

確かめる。

1. $x=3$：$\left|9-3-23\right|=17$（素数）
2. $x=4$：$\left|16-4-23\right|=11$（素数）
3. $x=5$：$\left|25-5-23\right|=3$（素数）
4. $x=6$：$\left|36-6-23\right|=7$（素数）
5. $x=7$：$\left|49-7-23\right|=19$（素数）

すべて素数なので $k=5$ が実現する。よって

である（この1組だけ）。

$\left|x^2-x-23\right|$ は $x=1$ から $17,21,17,11,3,7,19,33,\dots$ となる。$x=2$（$21=3\cdot 7$）と $x=8$（$33=3\cdot 11$）で $3$ の倍数になって素数でなくなるので、そのあいだの長さ $5$ が最長である。