第5問 数列・微分法の解答・解説

$x>0$ で $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left\{\log \left(x+1\right)-\log x\right\}$ なので

である（$\left(x+1\right)\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)=1-\frac{x+1}{x}=-\frac{1}{x}$）。ここで $g\left(t\right)=\log \left(1+t\right)-t$ とおくと

で $g\left(0\right)=0$ なので、$t>0$ では $g\left(t\right)<0$、すなわち

である。$x>0$ のとき $t=\frac{1}{x}>0$ だから $f^{\prime }\left(x\right)=\log \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}<0$ であり、$f\left(x\right)$ は $x>0$ で減少する。

すべての $k$ で $b_k>0$ である。隣り合う項の比をとると

である。対数をとると

となる。(1) より $f$ は $x>0$ で減少するので、$k$ が増えると $\frac{b_{k+1}}{b_k}$ は減少する。

ここで

であることに注目する。$k=2$ とすると

である。比は減少するから

1. $k=1$ では $\frac{b_2}{b_1}>1$、つまり $b_1<b_2$
2. $k=2$ では $\frac{b_3}{b_2}=1$、つまり $b_2=b_3$
3. $k\geqq 3$ では $\frac{b_{k+1}}{b_k}<1$、つまり $b_3>b_4>b_5>\cdots$

となり、最大値は $b_2=b_3$ である。実際に計算すると

であり、$b_3=\frac{4^4}{a^3\cdot 3!}=\frac{2^8}{6}\cdot \frac{3^{12}}{2^{24}}=\frac{3^{12}}{3\cdot 2^{17}}=\frac{3^{11}}{2^{17}}$ でも同じ値になる。$3^{11}$ は奇数なので既約分数である。よって

である。

$a={\left(\frac{4}{3}\right)}^4$ と見ると、$\frac{b_{k+1}}{b_k}=1$ は ${\left(1+\frac{1}{k+1}\right)}^{k+2}={\left(1+\frac{1}{3}\right)}^4$、つまり $k+1=3$ である。$a$ がこの形に作ってあることが、答えがちょうど2つになる理由である。