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東京科学大学　2019年度　前期日程　理系

第2問積分法の解答・解説

置換して積分区間を固定する・絶対値のついた積分の場合分け・積分方程式の微分・定数の決定当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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$1 ≦ x ≦ 2$ で $\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} ∣ lo g y ∣ f (x y) d y = 3 x (lo g x - 1) + A + \frac{B}{x}$ が成り立つような連続関数 $f (x)$ （ $1 ≦ x ≦ 2$ で定義）と定数 $A, B$ を求める

答 $f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2$ 、 $A = 5 - 8 lo g 2$ 、 $B = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2$

$t = x y$ と置換すると積分区間が $1 ≦ t ≦ 2$ に固定される。あとは絶対値を $t$ と $x$ の大小で外し、2回微分して $f$ を取り出す。

$t = x y$ と置換する。 $x > 0$ で、 $y : \frac{1}{x} \to \frac{2}{x}$ のとき $t : 1 \to 2$ 、 $d y = \frac{d t}{x}$ なので

\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} ∣ lo g y ∣ f (x y) d y = \frac{1}{x} \int_{1}^{2} ∣ lo g t - lo g x ∣ f (t) d t

である。そこで

F (x) = \int_{1}^{2} ∣ lo g t - lo g x ∣ f (t) d t

とおくと、与えられた等式は両辺を $x$ 倍して

F (x) = 3 x^{2} (lo g x - 1) + A x + B (1 ≦ x ≦ 2) \dots (*)

と書き直せる。 $1 ≦ x ≦ 2$ 、 $1 ≦ t ≦ 2$ のとき $lo g t - lo g x$ の符号は $t$ と $x$ の大小で決まるから

F (x) = \int_{1}^{x} (lo g x - lo g t) f (t) d t + \int_{x}^{2} (lo g t - lo g x) f (t) d t

である。ここで

P (x) = \int_{1}^{x} f (t) d t, Q (x) = \int_{1}^{x} (lo g t) f (t) d t

とおくと

F (x) = 2 (lo g x) P (x) - 2 Q (x) + Q (2) - (lo g x) P (2)

となる。 $f$ は連続なので $P, Q$ は微分可能で $P^{'} = f$ 、 $Q^{'} = (lo g x) f$ である。微分すると $(lo g x) f (x)$ の項が打ち消し合って

F^{'} (x) = \frac{2 P ( x )}{x} + 2 (lo g x) f (x) - 2 (lo g x) f (x) - \frac{P ( 2 )}{x} = \frac{2 P ( x ) - P ( 2 )}{x}

である。 $(*)$ の右辺を微分すると $6 x lo g x - 3 x + A$ なので

2 P (x) - P (2) = 6 x^{2} lo g x - 3 x^{2} + A x (1 ≦ x ≦ 2) \dots (* *)

である。もう一度微分すると $12 x lo g x + 6 x - 6 x + A$ となり

f (x) = 6 x lo g x + \frac{A}{2}

を得る。 $(* *)$ で $x = 1$ とすると $P (1) = 0$ より

P (2) = 3 - A

である。一方 $\int_{1}^{2} t lo g t d t = [\frac{t ^{2}}{2} lo g t - \frac{t ^{2}}{4}]_{1}^{2} = 2 lo g 2 - \frac{3}{4}$ なので

P (2) = \int_{1}^{2} (6 t lo g t + \frac{A}{2}) d t = 6 (2 lo g 2 - \frac{3}{4}) + \frac{A}{2} = 12 lo g 2 - \frac{9}{2} + \frac{A}{2}

である。2つを等しいとおくと $\frac{3}{2} A = \frac{15}{2} - 12 lo g 2$ 、すなわち

A = 5 - 8 lo g 2, f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2

である。最後に $(*)$ で $x = 1$ とする。 $lo g 1 = 0$ 、 $P (1) = Q (1) = 0$ より $F (1) = Q (2)$ で、右辺は $- 3 + A + B$ だから

B = Q (2) + 3 - A

である。 $\int_{1}^{2} t (lo g t)^{2} d t = [\frac{t ^{2}}{2} (lo g t)^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t lo g t d t = 2 (lo g 2)^{2} - 2 lo g 2 + \frac{3}{4}$ 、 $\int_{1}^{2} lo g t d t = 2 lo g 2 - 1$ を使うと

Q (2) = 6 {2 (lo g 2)^{2} - 2 lo g 2 + \frac{3}{4}} + \frac{A}{2} (2 lo g 2 - 1) = 4 (lo g 2)^{2} - 3 lo g 2 + 2

となり

B = 4 (lo g 2)^{2} - 3 lo g 2 + 2 + 3 - (5 - 8 lo g 2) = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2

を得る。逆に、この $f, A, B$ に対して $(*)$ の両辺は導関数が一致し、 $x = 1$ での値も一致するので、 $1 ≦ x ≦ 2$ で等しい。よって

f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2, A = 5 - 8 lo g 2, B = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2

である。

$x = 1, 1.3, 1.7, 2$ で左辺を数値積分したところ、右辺と小数9桁まで一致した。

$t = x y$ の置換で積分区間が $x$ によらなくなるのが要。置換しないと絶対値の場合分けが $y$ と $x$ の両方に絡んで扱いにくい。

$F (x)$ を微分するとき、 $(lo g x) f (x)$ の項が2つ出て打ち消し合う。ここを落とすと $f$ が合わない。

$A$ は「2回微分して出た式」だけでは決まらない。 $P (2)$ を2通りに表して初めて決まる。

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1≦x≦2 で ∫x1​x2​​∣logy∣f(xy)dy=3x(logx−1)+A+xB​ が成り立つような連続関数 f(x)（1≦x≦2 で定義）と定数 A,B を求める

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