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東京科学大学　2019年度　前期日程　理系

第3問複素数平面・整数の解答・解説

複素数の割り算と格子・半径の中の格子点を数える・合同式で格子を書き表す・領域に含まれる点の数え上げ当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $i$ を虚数単位とし、実部と虚部がともに整数である複素数 $z$ により $\frac{z}{3 + 2 i}$ と表される複素数全体の集合を $M$ とする。原点を中心とする半径 $r$ の円上またはその内部に含まれる $M$ の要素の個数を $N (r)$ とするとき、集合 ${r ∣ 10 ≦ N (r) < 25}$ を求める

答 $\frac{2 13}{13} ≦ r < \frac{2 26}{13}$ を満たす $r$ 全体

$∣ 3 + 2 i ∣ = 13$ なので、数えるのは $m^{2} + n^{2} ≦ 13 r^{2}$ を満たす整数の組の個数になる。

$z = m + ni$ （ $m, n$ は整数）とおく。 $∣ 3 + 2 i ∣ = 3^{2} + 2^{2} = 13$ なので

\frac{z}{3 + 2 i} = \frac{∣ z ∣}{13} = \frac{m ^{2} + n ^{2}}{13}

である。 $z \mapsto \frac{z}{3 + 2 i}$ は1対1だから、 $N (r)$ は $m^{2} + n^{2} ≦ 13 r^{2}$ を満たす整数の組 $(m, n)$ の個数に等しい。

$m^{2} + n^{2}$ の値ごとに組の個数を数えると、次のようになる。

$m^{2} + n^{2} = 0$ … $1$ 個（累計 $1$ ）
$m^{2} + n^{2} = 1$ … $4$ 個（累計 $5$ ）
$m^{2} + n^{2} = 2$ … $4$ 個（累計 $9$ ）
$m^{2} + n^{2} = 3$ … $0$ 個（累計 $9$ ）
$m^{2} + n^{2} = 4$ … $4$ 個（累計 $13$ ）
$m^{2} + n^{2} = 5$ … $8$ 個（ $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ 。累計 $21$ ）
$m^{2} + n^{2} = 6, 7$ … $0$ 個（累計 $21$ ）
$m^{2} + n^{2} = 8$ … $4$ 個（累計 $25$ ）

つまり $N (r)$ のとりうる値は $1, 5, 9, 13, 21, 25, \dots$ である。したがって

$N (r) ≧ 10$ となるのは累計が $13$ 以上のとき、つまり $13 r^{2} ≧ 4$
$N (r) < 25$ となるのは累計が $21$ 以下のとき、つまり $13 r^{2} < 8$

である。よって $4 ≦ 13 r^{2} < 8$ 、すなわち

\frac{2}{13} ≦ r < \frac{2 2}{13}

である。分母を有理化して

\frac{2 13}{13} ≦ r < \frac{2 26}{13}

（およそ $0.5547 ≦ r < 0.7845$ ）が答えである。

$r$ を $0.00005$ 刻みで走査したところ、 $10 ≦ N (r) < 25$ となるのは $0.55475 ≦ r ≦ 0.78445$ で、上の区間と一致した。

$N$ は $1, 5, 9, 13, 21, 25$ と飛び飛びに増える。 $m^{2} + n^{2} = 5$ のように表し方が $8$ 通りある値があるので、累計をていねいに追う。

$10 ≦ N < 25$ を満たす $N$ の値は $13$ と $21$ の2つだが、 $r$ の範囲はそれらがつながって1つの区間になる。

(2)複素数平面の相異なる2点 $z, w$ を結ぶ線分を $L (z, w)$ で表すとき、6つの線分 $L (0, 1)$ 、 $L (1, 1 + \frac{i}{2})$ 、 $L (1 + \frac{i}{2}, \frac{1 + i}{2})$ 、 $L (\frac{1 + i}{2}, \frac{1}{2} + i)$ 、 $L (\frac{1}{2} + i, i)$ 、 $L (i, 0)$ で囲まれる領域の内部または境界に含まれる $M$ の要素の個数を求める

答 $12$ 個

$13 w = u + v i$ とおくと、 $w \in M$ は $u \equiv 5 v (mod 13)$ というひとつの合同式になる。あとは $v = 0, 1, \dots, 13$ で $u$ を拾う。

$w \in M$ とすると $w = \frac{z}{3 + 2 i} = \frac{z ( 3 - 2 i )}{13}$ なので、 $13 w$ の実部と虚部は整数である。そこで $13 w = u + v i$ （ $u, v$ は整数）とおく。

逆に $13 w = u + v i$ （ $u, v$ は整数）のとき、 $w \in M$ であることは $(3 + 2 i) w = z$ が実部・虚部とも整数であることと同じである。

(3 + 2 i) w = \frac{( 3 + 2 i ) ( u + v i )}{13} = \frac{( 3 u - 2 v ) + ( 2 u + 3 v ) i}{13}

なので、条件は「 $3 u - 2 v$ と $2 u + 3 v$ がともに $13$ の倍数」である。 $9$ も $7$ も $13$ と互いに素で

9 (3 u - 2 v) = 27 u - 18 v \equiv u - 5 v, 7 (2 u + 3 v) = 14 u + 21 v \equiv u + 8 v \equiv u - 5 v (mod 13)

だから、どちらの条件も

u \equiv 5 v (mod 13)

と同値である。

次に領域を書き表す。6つの線分の端点は順に $0, 1, 1 + \frac{i}{2}, \frac{1 + i}{2}, \frac{1}{2} + i, i$ で、これらを結んだ図形は「1辺 $1$ の正方形から右上の1辺 $\frac{1}{2}$ の正方形を取り除いたL字形」である。 $w = x + y i$ とすると、境界を含めた領域は

0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1, かつ (x ≦ \frac{1}{2} または y ≦ \frac{1}{2})

で表される。 $x = \frac{u}{13}$ 、 $y = \frac{v}{13}$ なので、求めるのは

0 ≦ u ≦ 13, 0 ≦ v ≦ 13, (u ≦ 6 または v ≦ 6), u \equiv 5 v (mod 13)

を満たす整数の組 $(u, v)$ の個数である（ $u, v$ は整数なので $u ≦ \frac{13}{2}$ は $u ≦ 6$ と同じ）。 $v$ を $0$ から $13$ まで動かし、 $0 ≦ u ≦ 13$ で $u \equiv 5 v (mod 13)$ となる $u$ を拾うと

$v = 0$ … $u = 0, 13$ （ $v ≦ 6$ なのでどちらも適する）… $2$ 個
$v = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ … 順に $u = 5, 10, 2, 7, 12, 4$ （ $v ≦ 6$ なので適する）… $6$ 個
$v = 7$ … $u = 9$ 。 $u > 6$ かつ $v > 6$ なので適さない … $0$ 個
$v = 8$ … $u = 1$ … $1$ 個
$v = 9$ … $u = 6$ … $1$ 個
$v = 10$ … $u = 11$ 。適さない … $0$ 個
$v = 11$ … $u = 3$ … $1$ 個
$v = 12$ … $u = 8$ 。適さない … $0$ 個
$v = 13$ … $u = 0$ は適し、 $u = 13$ は適さない … $1$ 個

となる。合計すると

2 + 6 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 12

で、求める個数は $12$ 個である。

6つの線分で囲まれたL字形の領域（1辺1の正方形から右上の1辺2分の1の正方形を取り除いた形）と、その内部または境界にある M の要素12個。

$- 20 ≦ m, n ≦ 20$ の格子をすべて $\frac{z}{3 + 2 i}$ に移し、領域に入るものを数えたところ 12 個だった。

$v = 0$ と $v = 13$ では $0 ≦ u ≦ 13$ に候補が2つ入る。片方だけ数えると足りない。

「内部または境界」なので、 $w = 1$ （ $u = 13, v = 0$ ）や $w = i$ （ $u = 0, v = 13$ ）も数える。

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(2)複素数平面の相異なる2点 z,w を結ぶ線分を L(z,w) で表すとき、6つの線分 L(0,1)、L(1,1+2i​)、L(1+2i​,21+i​)、L(21+i​,21​+i)、L(21​+i,i)、L(i,0) で囲まれる領域の内部または境界に含まれる M の要素の個数を求める

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