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東京科学大学　2019年度　前期日程　理系

第1問図形と計量・不等式の解答・解説

平方完成による不等式の証明・正三角形になる等号条件・四面体の4つの面に足し上げる当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $h > 0$ とする。 $O (0, 0)$ 、 $P (h, s)$ 、 $Q (h, t)$ （ $s < t$ ）について、三角形 $OPQ$ の面積を $S$ 、辺 $OP, OQ, PQ$ の長さを $p, q, r$ とするとき、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ を示し、等号成立時の $s, t$ を求める

答等号が成り立つのは $s = - \frac{3}{3} h$ 、 $t = \frac{3}{3} h$ のとき

$u = t - s$ 、 $v = t + s$ とおくと、左辺－右辺が $u$ と $v$ だけの式になり、 $h$ について平方完成できる。

$P, Q$ はともに直線 $x = h$ 上にあるので、 $PQ$ を底辺と見ると高さは $h$ で

p^{2} = h^{2} + s^{2}, q^{2} = h^{2} + t^{2}, r^{2} = (t - s)^{2}, S = \frac{1}{2} h (t - s)

である。 $u = t - s (> 0)$ 、 $v = t + s$ とおくと $s^{2} + t^{2} = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2}$ なので

p^{2} + q^{2} + r^{2} - 43 S = 2 h^{2} + \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} + u^{2} - 23 h u = 2 h^{2} - 23 h u + \frac{3}{2} u^{2} + \frac{v ^{2}}{2}

である。 $h$ について平方完成すると

2 h^{2} - 23 h u + \frac{3}{2} u^{2} = 2 (h - \frac{3}{2} u)^{2}

なので

p^{2} + q^{2} + r^{2} - 43 S = 2 (h - \frac{3}{2} u)^{2} + \frac{v ^{2}}{2} ≧ 0

であり、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ が成り立つ。等号が成り立つのは

h = \frac{3}{2} u かつ v = 0, つまり u = \frac{2 3}{3} h, v = 0

のときで、 $t - s = \frac{2 3}{3} h$ 、 $t + s = 0$ より

s = - \frac{3}{3} h, t = \frac{3}{3} h

である。

原点 O と、直線 x = h 上の2点 P(h, s)、Q(h, t) を結んだ三角形。PQ を底辺と見ると高さが h になる。

等号のときは $p = q = h^{2} + \frac{h ^{2}}{3} = \frac{2 3}{3} h$ 、 $r = t - s = \frac{2 3}{3} h$ なので、三角形 $OPQ$ は正三角形である。

$h, s, t$ を乱数で20万通り取って左辺－右辺を計算したところ、最小値は $0$ 以上だった。

$s < t$ なので $u = t - s > 0$ である。 $S = \frac{1}{2} h (t - s)$ に絶対値を付ける必要はない。

(2)四面体 $ABCD$ の表面積を $T$ 、辺 $BC, CA, AB$ の長さを $a, b, c$ 、辺 $AD, BD, CD$ の長さを $ℓ, m, n$ とするとき、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T$ を示し、等号成立時の四面体を答える

答等号が成り立つのは正四面体のとき

(1) は「どんな三角形でも、3辺の平方の和 $≧ 43 \times$ 面積」という形に読み替えられる。これを4つの面すべてに使って足す。

まず (1) を、座標を使わない形に言い直す。任意の三角形について、1つの頂点を原点に置き、向かい合う辺が直線 $x = h$ （ $h$ はその頂点から対辺までの距離）に乗るように座標をとれば、他の2頂点は $(h, s), (h, t)$ （ $s < t$ ）と書ける。よって (1) から次がいえる。

どんな三角形でも、3辺の長さを $p, q, r$ 、面積を $S$ とすると $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ であり、等号が成り立つのは正三角形のときに限る。

（等号条件は (1) の注のとおり。逆に正三角形なら $p = q = r$ 、 $S = \frac{3}{4} p^{2}$ より両辺とも $3 p^{2}$ で等号になる。）

四面体 $ABCD$ の4つの面の3辺は、それぞれ

面 $ABC$ … $a, b, c$
面 $ABD$ … $c, m, ℓ$
面 $ACD$ … $b, n, ℓ$
面 $BCD$ … $a, n, m$

である。6本の辺はどれもちょうど2つの面に現れるから、4つの面について「3辺の平方の和」を足し合わせると

2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2})

になる。一方、4つの面に上の不等式を使って足すと、面積の和は $T$ だから

2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2}) ≧ 43 T

すなわち

a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T

である。等号が成り立つのは4つの面すべてで等号が成り立つとき、つまり4つの面がすべて正三角形のときである。このとき面 $ABC$ から $a = b = c$ 、面 $ABD$ から $c = m = ℓ$ 、面 $ACD$ から $b = n = ℓ$ が出るので6辺がすべて等しく、四面体 $ABCD$ は正四面体である。逆に正四面体なら4つの面が正三角形なので等号が成り立つ。

四面体の4頂点を乱数で10万通り取って左辺－右辺を計算したところ、最小値は $0.166$ で、正四面体では両辺とも $48$ で一致した。

辺が2つの面に現れることを使うので、左辺に出るのは $2 (a^{2} + \dots + n^{2})$ である。係数 $2$ を落とすと $43 T$ のままになってしまう。

「4つの面が正三角形」から直ちに「正四面体」と書かず、6辺が等しいことまで確かめる。

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問題文について

(1)h>0 とする。O(0,0)、P(h,s)、Q(h,t)（s<t）について、三角形 OPQ の面積を S、辺 OP,OQ,PQ の長さを p,q,r とするとき、p2+q2+r2≧43​S を示し、等号成立時の s,t を求める

(2)四面体 ABCD の表面積を T、辺 BC,CA,AB の長さを a,b,c、辺 AD,BD,CD の長さを ℓ,m,n とするとき、a2+b2+c2+ℓ2+m2+n2≧23​T を示し、等号成立時の四面体を答える

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(1) $h > 0$ とする。 $O (0, 0)$ 、 $P (h, s)$ 、 $Q (h, t)$ （ $s < t$ ）について、三角形 $OPQ$ の面積を $S$ 、辺 $OP, OQ, PQ$ の長さを $p, q, r$ とするとき、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ を示し、等号成立時の $s, t$ を求める

(2)四面体 $ABCD$ の表面積を $T$ 、辺 $BC, CA, AB$ の長さを $a, b, c$ 、辺 $AD, BD, CD$ の長さを $ℓ, m, n$ とするとき、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T$ を示し、等号成立時の四面体を答える