独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全5問・無料

東京科学大学　2019年度　前期日程　理系

東京科学大 2019年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　図形と計量・不等式

平方完成による不等式の証明・正三角形になる等号条件・四面体の4つの面に足し上げる当サイトの体感難易度：やや難

(1) $h > 0$ とする。 $O (0, 0)$ 、 $P (h, s)$ 、 $Q (h, t)$ （ $s < t$ ）について、三角形 $OPQ$ の面積を $S$ 、辺 $OP, OQ, PQ$ の長さを $p, q, r$ とするとき、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ を示し、等号成立時の $s, t$ を求める

答等号が成り立つのは $s = - \frac{3}{3} h$ 、 $t = \frac{3}{3} h$ のとき

$u = t - s$ 、 $v = t + s$ とおくと、左辺－右辺が $u$ と $v$ だけの式になり、 $h$ について平方完成できる。

$P, Q$ はともに直線 $x = h$ 上にあるので、 $PQ$ を底辺と見ると高さは $h$ で

p^{2} = h^{2} + s^{2}, q^{2} = h^{2} + t^{2}, r^{2} = (t - s)^{2}, S = \frac{1}{2} h (t - s)

である。 $u = t - s (> 0)$ 、 $v = t + s$ とおくと $s^{2} + t^{2} = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2}$ なので

p^{2} + q^{2} + r^{2} - 43 S = 2 h^{2} + \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} + u^{2} - 23 h u = 2 h^{2} - 23 h u + \frac{3}{2} u^{2} + \frac{v ^{2}}{2}

である。 $h$ について平方完成すると

2 h^{2} - 23 h u + \frac{3}{2} u^{2} = 2 (h - \frac{3}{2} u)^{2}

なので

p^{2} + q^{2} + r^{2} - 43 S = 2 (h - \frac{3}{2} u)^{2} + \frac{v ^{2}}{2} ≧ 0

であり、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ が成り立つ。等号が成り立つのは

h = \frac{3}{2} u かつ v = 0, つまり u = \frac{2 3}{3} h, v = 0

のときで、 $t - s = \frac{2 3}{3} h$ 、 $t + s = 0$ より

s = - \frac{3}{3} h, t = \frac{3}{3} h

である。

原点 O と、直線 x = h 上の2点 P(h, s)、Q(h, t) を結んだ三角形。PQ を底辺と見ると高さが h になる。

等号のときは $p = q = h^{2} + \frac{h ^{2}}{3} = \frac{2 3}{3} h$ 、 $r = t - s = \frac{2 3}{3} h$ なので、三角形 $OPQ$ は正三角形である。

$h, s, t$ を乱数で20万通り取って左辺－右辺を計算したところ、最小値は $0$ 以上だった。

$s < t$ なので $u = t - s > 0$ である。 $S = \frac{1}{2} h (t - s)$ に絶対値を付ける必要はない。

(2)四面体 $ABCD$ の表面積を $T$ 、辺 $BC, CA, AB$ の長さを $a, b, c$ 、辺 $AD, BD, CD$ の長さを $ℓ, m, n$ とするとき、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T$ を示し、等号成立時の四面体を答える

答等号が成り立つのは正四面体のとき

(1) は「どんな三角形でも、3辺の平方の和 $≧ 43 \times$ 面積」という形に読み替えられる。これを4つの面すべてに使って足す。

まず (1) を、座標を使わない形に言い直す。任意の三角形について、1つの頂点を原点に置き、向かい合う辺が直線 $x = h$ （ $h$ はその頂点から対辺までの距離）に乗るように座標をとれば、他の2頂点は $(h, s), (h, t)$ （ $s < t$ ）と書ける。よって (1) から次がいえる。

どんな三角形でも、3辺の長さを $p, q, r$ 、面積を $S$ とすると $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ であり、等号が成り立つのは正三角形のときに限る。

（等号条件は (1) の注のとおり。逆に正三角形なら $p = q = r$ 、 $S = \frac{3}{4} p^{2}$ より両辺とも $3 p^{2}$ で等号になる。）

四面体 $ABCD$ の4つの面の3辺は、それぞれ

面 $ABC$ … $a, b, c$
面 $ABD$ … $c, m, ℓ$
面 $ACD$ … $b, n, ℓ$
面 $BCD$ … $a, n, m$

である。6本の辺はどれもちょうど2つの面に現れるから、4つの面について「3辺の平方の和」を足し合わせると

2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2})

になる。一方、4つの面に上の不等式を使って足すと、面積の和は $T$ だから

2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2}) ≧ 43 T

すなわち

a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T

である。等号が成り立つのは4つの面すべてで等号が成り立つとき、つまり4つの面がすべて正三角形のときである。このとき面 $ABC$ から $a = b = c$ 、面 $ABD$ から $c = m = ℓ$ 、面 $ACD$ から $b = n = ℓ$ が出るので6辺がすべて等しく、四面体 $ABCD$ は正四面体である。逆に正四面体なら4つの面が正三角形なので等号が成り立つ。

四面体の4頂点を乱数で10万通り取って左辺－右辺を計算したところ、最小値は $0.166$ で、正四面体では両辺とも $48$ で一致した。

辺が2つの面に現れることを使うので、左辺に出るのは $2 (a^{2} + \dots + n^{2})$ である。係数 $2$ を落とすと $43 T$ のままになってしまう。

「4つの面が正三角形」から直ちに「正四面体」と書かず、6辺が等しいことまで確かめる。

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第2問　積分法

置換して積分区間を固定する・絶対値のついた積分の場合分け・積分方程式の微分・定数の決定当サイトの体感難易度：やや難

$1 ≦ x ≦ 2$ で $\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} ∣ lo g y ∣ f (x y) d y = 3 x (lo g x - 1) + A + \frac{B}{x}$ が成り立つような連続関数 $f (x)$ （ $1 ≦ x ≦ 2$ で定義）と定数 $A, B$ を求める

答 $f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2$ 、 $A = 5 - 8 lo g 2$ 、 $B = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2$

$t = x y$ と置換すると積分区間が $1 ≦ t ≦ 2$ に固定される。あとは絶対値を $t$ と $x$ の大小で外し、2回微分して $f$ を取り出す。

$t = x y$ と置換する。 $x > 0$ で、 $y : \frac{1}{x} \to \frac{2}{x}$ のとき $t : 1 \to 2$ 、 $d y = \frac{d t}{x}$ なので

\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} ∣ lo g y ∣ f (x y) d y = \frac{1}{x} \int_{1}^{2} ∣ lo g t - lo g x ∣ f (t) d t

である。そこで

F (x) = \int_{1}^{2} ∣ lo g t - lo g x ∣ f (t) d t

とおくと、与えられた等式は両辺を $x$ 倍して

F (x) = 3 x^{2} (lo g x - 1) + A x + B (1 ≦ x ≦ 2) \dots (*)

と書き直せる。 $1 ≦ x ≦ 2$ 、 $1 ≦ t ≦ 2$ のとき $lo g t - lo g x$ の符号は $t$ と $x$ の大小で決まるから

F (x) = \int_{1}^{x} (lo g x - lo g t) f (t) d t + \int_{x}^{2} (lo g t - lo g x) f (t) d t

である。ここで

P (x) = \int_{1}^{x} f (t) d t, Q (x) = \int_{1}^{x} (lo g t) f (t) d t

とおくと

F (x) = 2 (lo g x) P (x) - 2 Q (x) + Q (2) - (lo g x) P (2)

となる。 $f$ は連続なので $P, Q$ は微分可能で $P^{'} = f$ 、 $Q^{'} = (lo g x) f$ である。微分すると $(lo g x) f (x)$ の項が打ち消し合って

F^{'} (x) = \frac{2 P ( x )}{x} + 2 (lo g x) f (x) - 2 (lo g x) f (x) - \frac{P ( 2 )}{x} = \frac{2 P ( x ) - P ( 2 )}{x}

である。 $(*)$ の右辺を微分すると $6 x lo g x - 3 x + A$ なので

2 P (x) - P (2) = 6 x^{2} lo g x - 3 x^{2} + A x (1 ≦ x ≦ 2) \dots (* *)

である。もう一度微分すると $12 x lo g x + 6 x - 6 x + A$ となり

f (x) = 6 x lo g x + \frac{A}{2}

を得る。 $(* *)$ で $x = 1$ とすると $P (1) = 0$ より

P (2) = 3 - A

である。一方 $\int_{1}^{2} t lo g t d t = [\frac{t ^{2}}{2} lo g t - \frac{t ^{2}}{4}]_{1}^{2} = 2 lo g 2 - \frac{3}{4}$ なので

P (2) = \int_{1}^{2} (6 t lo g t + \frac{A}{2}) d t = 6 (2 lo g 2 - \frac{3}{4}) + \frac{A}{2} = 12 lo g 2 - \frac{9}{2} + \frac{A}{2}

である。2つを等しいとおくと $\frac{3}{2} A = \frac{15}{2} - 12 lo g 2$ 、すなわち

A = 5 - 8 lo g 2, f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2

である。最後に $(*)$ で $x = 1$ とする。 $lo g 1 = 0$ 、 $P (1) = Q (1) = 0$ より $F (1) = Q (2)$ で、右辺は $- 3 + A + B$ だから

B = Q (2) + 3 - A

である。 $\int_{1}^{2} t (lo g t)^{2} d t = [\frac{t ^{2}}{2} (lo g t)^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t lo g t d t = 2 (lo g 2)^{2} - 2 lo g 2 + \frac{3}{4}$ 、 $\int_{1}^{2} lo g t d t = 2 lo g 2 - 1$ を使うと

Q (2) = 6 {2 (lo g 2)^{2} - 2 lo g 2 + \frac{3}{4}} + \frac{A}{2} (2 lo g 2 - 1) = 4 (lo g 2)^{2} - 3 lo g 2 + 2

となり

B = 4 (lo g 2)^{2} - 3 lo g 2 + 2 + 3 - (5 - 8 lo g 2) = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2

を得る。逆に、この $f, A, B$ に対して $(*)$ の両辺は導関数が一致し、 $x = 1$ での値も一致するので、 $1 ≦ x ≦ 2$ で等しい。よって

f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2, A = 5 - 8 lo g 2, B = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2

である。

$x = 1, 1.3, 1.7, 2$ で左辺を数値積分したところ、右辺と小数9桁まで一致した。

$t = x y$ の置換で積分区間が $x$ によらなくなるのが要。置換しないと絶対値の場合分けが $y$ と $x$ の両方に絡んで扱いにくい。

$F (x)$ を微分するとき、 $(lo g x) f (x)$ の項が2つ出て打ち消し合う。ここを落とすと $f$ が合わない。

$A$ は「2回微分して出た式」だけでは決まらない。 $P (2)$ を2通りに表して初めて決まる。

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第3問　複素数平面・整数

複素数の割り算と格子・半径の中の格子点を数える・合同式で格子を書き表す・領域に含まれる点の数え上げ当サイトの体感難易度：やや難

(1) $i$ を虚数単位とし、実部と虚部がともに整数である複素数 $z$ により $\frac{z}{3 + 2 i}$ と表される複素数全体の集合を $M$ とする。原点を中心とする半径 $r$ の円上またはその内部に含まれる $M$ の要素の個数を $N (r)$ とするとき、集合 ${r ∣ 10 ≦ N (r) < 25}$ を求める

答 $\frac{2 13}{13} ≦ r < \frac{2 26}{13}$ を満たす $r$ 全体

$∣ 3 + 2 i ∣ = 13$ なので、数えるのは $m^{2} + n^{2} ≦ 13 r^{2}$ を満たす整数の組の個数になる。

$z = m + ni$ （ $m, n$ は整数）とおく。 $∣ 3 + 2 i ∣ = 3^{2} + 2^{2} = 13$ なので

\frac{z}{3 + 2 i} = \frac{∣ z ∣}{13} = \frac{m ^{2} + n ^{2}}{13}

である。 $z \mapsto \frac{z}{3 + 2 i}$ は1対1だから、 $N (r)$ は $m^{2} + n^{2} ≦ 13 r^{2}$ を満たす整数の組 $(m, n)$ の個数に等しい。

$m^{2} + n^{2}$ の値ごとに組の個数を数えると、次のようになる。

$m^{2} + n^{2} = 0$ … $1$ 個（累計 $1$ ）
$m^{2} + n^{2} = 1$ … $4$ 個（累計 $5$ ）
$m^{2} + n^{2} = 2$ … $4$ 個（累計 $9$ ）
$m^{2} + n^{2} = 3$ … $0$ 個（累計 $9$ ）
$m^{2} + n^{2} = 4$ … $4$ 個（累計 $13$ ）
$m^{2} + n^{2} = 5$ … $8$ 個（ $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ 。累計 $21$ ）
$m^{2} + n^{2} = 6, 7$ … $0$ 個（累計 $21$ ）
$m^{2} + n^{2} = 8$ … $4$ 個（累計 $25$ ）

つまり $N (r)$ のとりうる値は $1, 5, 9, 13, 21, 25, \dots$ である。したがって

$N (r) ≧ 10$ となるのは累計が $13$ 以上のとき、つまり $13 r^{2} ≧ 4$
$N (r) < 25$ となるのは累計が $21$ 以下のとき、つまり $13 r^{2} < 8$

である。よって $4 ≦ 13 r^{2} < 8$ 、すなわち

\frac{2}{13} ≦ r < \frac{2 2}{13}

である。分母を有理化して

\frac{2 13}{13} ≦ r < \frac{2 26}{13}

（およそ $0.5547 ≦ r < 0.7845$ ）が答えである。

$r$ を $0.00005$ 刻みで走査したところ、 $10 ≦ N (r) < 25$ となるのは $0.55475 ≦ r ≦ 0.78445$ で、上の区間と一致した。

$N$ は $1, 5, 9, 13, 21, 25$ と飛び飛びに増える。 $m^{2} + n^{2} = 5$ のように表し方が $8$ 通りある値があるので、累計をていねいに追う。

$10 ≦ N < 25$ を満たす $N$ の値は $13$ と $21$ の2つだが、 $r$ の範囲はそれらがつながって1つの区間になる。

(2)複素数平面の相異なる2点 $z, w$ を結ぶ線分を $L (z, w)$ で表すとき、6つの線分 $L (0, 1)$ 、 $L (1, 1 + \frac{i}{2})$ 、 $L (1 + \frac{i}{2}, \frac{1 + i}{2})$ 、 $L (\frac{1 + i}{2}, \frac{1}{2} + i)$ 、 $L (\frac{1}{2} + i, i)$ 、 $L (i, 0)$ で囲まれる領域の内部または境界に含まれる $M$ の要素の個数を求める

答 $12$ 個

$13 w = u + v i$ とおくと、 $w \in M$ は $u \equiv 5 v (mod 13)$ というひとつの合同式になる。あとは $v = 0, 1, \dots, 13$ で $u$ を拾う。

$w \in M$ とすると $w = \frac{z}{3 + 2 i} = \frac{z ( 3 - 2 i )}{13}$ なので、 $13 w$ の実部と虚部は整数である。そこで $13 w = u + v i$ （ $u, v$ は整数）とおく。

逆に $13 w = u + v i$ （ $u, v$ は整数）のとき、 $w \in M$ であることは $(3 + 2 i) w = z$ が実部・虚部とも整数であることと同じである。

(3 + 2 i) w = \frac{( 3 + 2 i ) ( u + v i )}{13} = \frac{( 3 u - 2 v ) + ( 2 u + 3 v ) i}{13}

なので、条件は「 $3 u - 2 v$ と $2 u + 3 v$ がともに $13$ の倍数」である。 $9$ も $7$ も $13$ と互いに素で

9 (3 u - 2 v) = 27 u - 18 v \equiv u - 5 v, 7 (2 u + 3 v) = 14 u + 21 v \equiv u + 8 v \equiv u - 5 v (mod 13)

だから、どちらの条件も

u \equiv 5 v (mod 13)

と同値である。

次に領域を書き表す。6つの線分の端点は順に $0, 1, 1 + \frac{i}{2}, \frac{1 + i}{2}, \frac{1}{2} + i, i$ で、これらを結んだ図形は「1辺 $1$ の正方形から右上の1辺 $\frac{1}{2}$ の正方形を取り除いたL字形」である。 $w = x + y i$ とすると、境界を含めた領域は

0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1, かつ (x ≦ \frac{1}{2} または y ≦ \frac{1}{2})

で表される。 $x = \frac{u}{13}$ 、 $y = \frac{v}{13}$ なので、求めるのは

0 ≦ u ≦ 13, 0 ≦ v ≦ 13, (u ≦ 6 または v ≦ 6), u \equiv 5 v (mod 13)

を満たす整数の組 $(u, v)$ の個数である（ $u, v$ は整数なので $u ≦ \frac{13}{2}$ は $u ≦ 6$ と同じ）。 $v$ を $0$ から $13$ まで動かし、 $0 ≦ u ≦ 13$ で $u \equiv 5 v (mod 13)$ となる $u$ を拾うと

$v = 0$ … $u = 0, 13$ （ $v ≦ 6$ なのでどちらも適する）… $2$ 個
$v = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ … 順に $u = 5, 10, 2, 7, 12, 4$ （ $v ≦ 6$ なので適する）… $6$ 個
$v = 7$ … $u = 9$ 。 $u > 6$ かつ $v > 6$ なので適さない … $0$ 個
$v = 8$ … $u = 1$ … $1$ 個
$v = 9$ … $u = 6$ … $1$ 個
$v = 10$ … $u = 11$ 。適さない … $0$ 個
$v = 11$ … $u = 3$ … $1$ 個
$v = 12$ … $u = 8$ 。適さない … $0$ 個
$v = 13$ … $u = 0$ は適し、 $u = 13$ は適さない … $1$ 個

となる。合計すると

2 + 6 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 12

で、求める個数は $12$ 個である。

6つの線分で囲まれたL字形の領域（1辺1の正方形から右上の1辺2分の1の正方形を取り除いた形）と、その内部または境界にある M の要素12個。

$- 20 ≦ m, n ≦ 20$ の格子をすべて $\frac{z}{3 + 2 i}$ に移し、領域に入るものを数えたところ 12 個だった。

$v = 0$ と $v = 13$ では $0 ≦ u ≦ 13$ に候補が2つ入る。片方だけ数えると足りない。

「内部または境界」なので、 $w = 1$ （ $u = 13, v = 0$ ）や $w = i$ （ $u = 0, v = 13$ ）も数える。

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第4問　空間図形・場合の数

平面を1枚ずつ足して数える・一般の位置・交線が平行になる3枚・最大から2番目・3番目の値当サイトの体感難易度：難

(1)空間内の相異なる $n$ 枚の平面 $H_{1}, \dots, H_{n}$ が空間を $T (H_{1}, \dots, H_{n})$ 個の空間領域に分けるとき、 $T$ のとりうる値のうち最も大きいものを求める

答 $\frac{n ^{3} + 5 n + 6}{6}$

平面を1枚ずつ足す。 $H_{k}$ を足すと、 $H_{k}$ が先の平面との交線で分けられる部分の個数だけ領域が増える。

準備1（平面上の直線）　平面上に相異なる $m$ 本の直線があるとき、それらが平面を分ける部分の個数を数える。直線を1本ずつ引くと、 $k$ 本目の直線はすでに引いた直線との交点で区切られて（交点の個数） $+ 1$ 本の部分に分かれ、その本数だけ部分の個数が増える。よって

(部分の個数) = 1 + m + P \sum (j_{P} - 1)

である。和は交点 $P$ 全体にわたり、 $j_{P}$ は $P$ を通る直線の本数である（ $P$ を通る $j_{P}$ 本のうち、2本目以降の $j_{P} - 1$ 本が $P$ を新しい交点として数える）。 $j_{P} ≧ 2$ のとき $j_{P} - 1 ≦ \frac{j _{P} ( j _{P} - 1 )}{2}$ であり、2本の直線は高々1点で交わるので

P \sum (j_{P} - 1) ≦ P \sum \frac{j _{P} ( j _{P} - 1 )}{2} ≦ \frac{m ( m - 1 )}{2}

である。等号はどの2本も交わり、どの3本も1点を通らないときに成り立つ。

準備2（空間）　空間でも平面を1枚ずつ足す。 $H_{k}$ を足すとき、 $H_{k}$ は $H_{1}, \dots, H_{k - 1}$ との交線（平行な平面とは交線がない）によっていくつかの部分に分かれ、その部分の個数だけ空間領域が増える。この個数を $R_{k}$ とすると

T (H_{1}, \dots, H_{n}) = 1 + k = 1 \sum n R_{k}

である。 $H_{k}$ 上の交線は高々 $k - 1$ 本なので、準備1から

R_{k} ≦ 1 + (k - 1) + \frac{( k - 1 ) ( k - 2 )}{2}

であり、 $k = 1$ から $n$ まで足すと

T ≦ 1 + n + \frac{n ( n - 1 )}{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} = \frac{n ^{3} + 5 n + 6}{6}

を得る。次に、この値が実際にとれることを示す。

H_{k} : x + k y + k^{2} z = k^{3} (k = 1, 2, \dots, n)

とおくと、次が成り立つ。

どの2枚も平行でない。法線ベクトル $(1, k, k^{2})$ は、 $k$ が違えば平行にならない（第1成分がどれも $1$ だから、平行なら一致してしまう）。
どの3枚もただ1点で交わる。 $k = k_{1}, k_{2}, k_{3}$ に対する係数行列の行列式はファンデルモンドの行列式で $(k_{2} - k_{1}) (k_{3} - k_{1}) (k_{3} - k_{2}) \neq = 0$ である。
どの4枚も共有点をもたない。点 $(x, y, z)$ が相異なる4つの $k$ で $x + k y + k^{2} z = k^{3}$ を満たすとすると、 $k$ の3次式 $k^{3} - z k^{2} - y k - x$ が相異なる4つの実数解をもつことになり矛盾する。

したがって $H_{k}$ 上の $k - 1$ 本の交線は相異なり（3枚が直線を共有しないから）、どの2本も交わり（3枚が1点で交わるから）、どの3本も1点を通らない（4枚が共有点をもたないから）。よって $R_{k}$ は最大値をとり

T = \frac{n ^{3} + 5 n + 6}{6}

となる。以下これを $T_{m a x}$ と書く。なお $T_{m a x} = 1 + n + \frac{n ( n - 1 )}{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}$ で、 $n = 3$ で $8$ 、 $n = 4$ で $15$ である（問題文の例と合う）。

$n = 3, 4, 5, 6, 7$ について無作為な平面の組で領域の個数を数えたところ、最大値はそれぞれ $8, 15, 26, 42, 64$ で $\frac{n ^{3} + 5 n + 6}{6}$ と一致した。

$R_{k}$ は「 $H_{k}$ と交わる平面の枚数」ではなく「 $H_{k}$ が交線で分けられる部分の個数」である。

(2) $T$ のとりうる値のうち2番目に大きいものを求める（ $n ≧ 2$ ）

答 $\frac{n ^{3} + 5 n}{6} = \frac{n ( n ^{2} + 5 )}{6}$

$T_{m a x} - T$ は $0$ 以上の整数なので、 $T = T_{m a x} - 1$ となる配置を1つ作ればよい。「交線が平行になる3枚」を1組だけ作る。

$T_{m a x} - T$ は $0$ 以上の整数だから、 $T = T_{m a x} - 1$ となる配置が1つでもあれば、それが2番目に大きい値である。

$n = 2$ のときは2枚を平行にとると $T = 3 = T_{m a x} - 1$ である（ $T_{m a x} = 4$ ）。

$n ≧ 3$ のときは、(1) の $H_{k} : x + k y + k^{2} z = k^{3}$ （ $k = 1, \dots, n - 1$ ）に

H_{n} : 3 x + 2 y = c

を加える。 $H_{i} \cap H_{j}$ の方向ベクトルは2つの法線の外積

(1, i, i^{2}) \times (1, j, j^{2}) = (j - i) (ij, - (i + j), 1)

である。 $H_{n}$ の法線 $(3, 2, 0)$ とこれの内積は $(j - i) {3 ij - 2 (i + j)}$ で、 $1 ≦ i < j ≦ n - 1$ でこれが $0$ になるのは

$i = 1$ のとき $3 j = 2 + 2 j$ より $j = 2$
$i ≧ 2$ のとき $3 ij - 2 (i + j) ≧ 6 j - 2 i - 2 j = 4 j - 2 i > 0$ （ $j > i$ だから）

より $(i, j) = (1, 2)$ のときだけである。また $(1, k, k^{2})$ が $(3, 2, 0)$ の定数倍なら $k^{2} = 0$ すなわち $k = 0$ となって $1 ≦ k ≦ n - 1$ に反するので、 $H_{n}$ はどの $H_{k}$ とも交わる。

ここで、 $H_{n}$ 上の2本の交線 $H_{i} \cap H_{n}$ と $H_{j} \cap H_{n}$ が平行であることは、その共通の方向が $H_{i}$ にも $H_{j}$ にも含まれること、つまり $H_{n}$ が $H_{i} \cap H_{j}$ の方向を含むことと同じである。上の計算から、それが起こるのは $(i, j) = (1, 2)$ の1組だけである。

$c$ は、 $H_{i} \cap H_{j} \cap H_{l}$ （有限個の点）のどれも $H_{n}$ 上に来ないように、かつ $H_{n}$ が直線 $H_{1} \cap H_{2}$ を含まないように選ぶ。どちらも $c$ の有限個の値を避ければよい。

このとき $H_{n}$ 上の $n - 1$ 本の交線は相異なり、平行な組は1組だけ、3本が1点を通ることもないので

R_{n} = 1 + (n - 1) + {\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2} - 1}

となる。 $H_{1}, \dots, H_{n - 1}$ の側は (1) の最大の配置のままなので $T = T_{m a x} - 1$ である。よって2番目に大きい値は

\frac{n ^{3} + 5 n + 6}{6} - 1 = \frac{n ^{3} + 5 n}{6} = \frac{n ( n ^{2} + 5 )}{6}

である（ $n = 2$ で $3$ 、 $n = 3$ で $7$ 、 $n = 4$ で $14$ ）。

3枚の平面が「どの2枚の交線も互いに平行」になる形は、三角柱の3つの側面のような配置である。問題文の2つ目の例（ $x = 0$ 、 $y = 0$ 、 $x + y = 1$ で $T = 7$ ）がまさにこれで、 $n = 3$ の $T_{m a x} = 8$ より $1$ だけ小さい。

無作為な平面の組で $n = 3, 4, 5, 6, 7$ の領域の個数を数えたところ、2番目に大きい値はそれぞれ $7, 14, 25, 41, 63$ で、 $\frac{n ( n ^{2} + 5 )}{6}$ と一致した。

2枚を平行にしたり、3枚で1本の直線を共有させたりすると、減り方は $1$ ではなく $n - 1$ になる（(3) で確かめる）。 $1$ だけ減らすには「交線が平行な3枚」を使う。

(3) $T$ のとりうる値のうち3番目に大きいものを求める（ $n ≧ 3$ ）

答 $n = 4$ のときは $12$ 、 $n = 3$ および $n ≧ 5$ のときは $\frac{n ^{3} + 5 n - 6}{6}$

$T = T_{m a x} - 2$ が作れるかどうかを調べる。 $n ≧ 5$ では「交線が平行な3枚」を2組作れるが、 $n = 4$ ではできず、 $13$ が飛ぶ。

$n ≧ 5$ のとき　(1) の $H_{k}$ （ $k = 1, \dots, n - 1$ ）に

H_{n} : 2 x + 5 y + 11 z = c

を加える。 $(2, 5, 11)$ と $(ij, - (i + j), 1)$ の内積は $2 ij - 5 (i + j) + 11$ で、これが $0$ になるのは

j (2 i - 5) = 5 i - 11, つまり j = \frac{5 i - 11}{2 i - 5}

のときである。 $1 ≦ i < j$ で調べると

$i = 1$ のとき $j = \frac{- 6}{- 3} = 2$ （適する）
$i = 2$ のとき $j = \frac{- 1}{- 1} = 1 < i$ （不適）
$i = 3$ のとき $j = \frac{4}{1} = 4$ （適する）
$i = 4$ のとき $j = \frac{9}{3} = 3 < i$ （不適）
$i ≧ 5$ のとき $5 i - 11 < 3 (2 i - 5)$ （ $i > 4$ と同値）より $j < 3 ≦ i$ （不適）

より $(i, j) = (1, 2), (3, 4)$ の2組だけである。この2つの方向 $(2, - 3, 1)$ と $(12, - 7, 1)$ は平行でないので、 $H_{n}$ 上では $H_{1}, H_{2}$ から来る2本と、 $H_{3}, H_{4}$ から来る2本がそれぞれ平行になり、2つの方向は異なる。また $(1, k, k^{2})$ が $(2, 5, 11)$ の定数倍なら $k = \frac{5}{2}$ かつ $k^{2} = \frac{11}{2}$ となって矛盾するので、 $H_{n}$ はどの $H_{k}$ とも交わる。

$c$ を (2) と同じように選べば

R_{n} = 1 + (n - 1) + {\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2} - 2}

となり $T = T_{m a x} - 2$ である。この配置は $1, 2, 3, 4$ がすべて $1 ≦ k ≦ n - 1$ に入ること、つまり $n ≧ 5$ で作れる。よって3番目に大きい値は $T_{m a x} - 2 = \frac{n ^{3} + 5 n - 6}{6}$ である。

$n = 3$ のとき　 $T_{m a x} = 8$ で、 $z = 0$ 、 $z = 1$ 、 $x = 0$ の3枚をとると、平行な2枚が空間を3つの層に分け、 $x = 0$ がそれぞれを2つに分けるので $T = 6 = T_{m a x} - 2$ である。 $\frac{n ^{3} + 5 n - 6}{6}$ に $n = 3$ を入れると $6$ なので、 $n ≧ 5$ と同じ式で書ける。

$n = 4$ のとき　 $T_{m a x} = 15$ だが、 $T = 13$ は起こらない。4枚を好きな順に足すとして $T = 1 + R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4}$ 、 $R_{1} = 1$ である。

(i) 2枚が平行なとき　その2枚を後ろに回して $H_{3} ∥ H_{4}$ とすると、 $H_{4}$ 上の交線は $H_{1}, H_{2}$ から来る高々2本なので $R_{4} ≦ 1 + 2 + 1 = 4$ である。 $R_{2} ≦ 2$ 、 $R_{3} ≦ 4$ とあわせて $T ≦ 1 + 1 + 2 + 4 + 4 = 12 < 13$ 。

(ii) 3枚が1本の直線 $ℓ$ を共有するとき　その3枚を後ろに回して $H_{2}, H_{3}, H_{4}$ が $ℓ$ を共有するとすると、 $H_{2} \cap H_{4} = H_{3} \cap H_{4} = ℓ$ なので $H_{4}$ 上の交線は高々2本で $R_{4} ≦ 4$ である。やはり $T ≦ 1 + 1 + 2 + 4 + 4 = 12 < 13$ 。

(iii) どの2枚も平行でなく、どの3枚も直線を共有しないとき　 $R_{2} = 2$ である。また

$H_{3}$ 上の交線 $H_{1} \cap H_{3}$ 、 $H_{2} \cap H_{3}$ は相異なる2直線で、交わるなら $R_{3} = 4$ 、平行なら $R_{3} = 3$ 。
$H_{4}$ 上の交線は相異なる3直線で、3直線が平面を分ける部分の個数は $7$ （どの2本も交わりどの3本も1点を通らない）、 $6$ （ちょうど1組が平行、または3本が1点を通る）、 $4$ （3本とも平行）のいずれか。

$T = 13$ なら $R_{3} + R_{4} = 9$ だが、 $R_{3}$ は $3$ か $4$ 、 $R_{4}$ は $4, 6, 7$ のいずれかなので $(R_{3}, R_{4}) = (3, 6)$ しかない。

$R_{3} = 3$ は $H_{1} \cap H_{3}$ と $H_{2} \cap H_{3}$ が平行ということである。その共通の方向を $v$ とすると、 $v$ は $H_{1}$ にも $H_{2}$ にも含まれるので $H_{1} \cap H_{2}$ の方向でもある。つまり $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ はどの2枚の交線も $v$ 方向で、3枚とも $v$ に平行である。

このとき $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ に共有点はない。共有点 $A$ があれば、 $A$ を通り $v$ 方向の直線が $H_{1} \cap H_{2}$ でも $H_{1} \cap H_{3}$ でもあることになり、3枚が1本の直線を共有してしまうからである。

$R_{4} = 6$ になるのは次の2つの場合だが、どちらも矛盾する。

3本が1点 $A$ を通る場合。 $A$ は $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ のすべての上にあり、とくに $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ の共有点になる。これは上で否定した。
ちょうど1組が平行な場合。 $H_{i} \cap H_{4}$ と $H_{j} \cap H_{4}$ （ $i, j \in {1, 2, 3}$ ）が平行なら、同じ理由でその方向は $H_{i} \cap H_{j}$ の方向、つまり $v$ であり、 $H_{4}$ も $v$ に平行になる。すると4枚とも $v$ に平行なので $H_{4}$ 上の3本の交線はすべて $v$ 方向、つまり3本とも平行で $R_{4} = 4$ となり、 $R_{4} = 6$ に反する。

よって $n = 4$ では $T = 13$ は起こらない。一方 $z = 0$ 、 $z = 1$ 、 $x = 0$ 、 $y = 0$ の4枚をとると、3つの層を4つの象限が切るので $T = 3 \times 4 = 12$ である。したがって $n = 4$ のときの3番目に大きい値は $12$ である。

まとめると、3番目に大きい値は

n = 4 のとき 12, n = 3 または n ≧ 5 のとき \frac{n ^{3} + 5 n - 6}{6}

である。

無作為な平面の組で数えたところ、 $n = 4$ では $15, 14, 12, 11, 10$ が現れ、 $13$ は一度も現れなかった。 $n = 5, 6, 7$ では3番目に大きい値がそれぞれ $24, 40, 62$ で $\frac{n ^{3} + 5 n - 6}{6}$ と一致した。

「最大から1ずつ減った値が必ず実現する」とは限らない。 $n = 4$ では $15, 14$ の次が $12$ で、 $13$ は飛ぶ。

$n = 4$ で $13$ が作れないことは、実例を探すだけでは示せない。場合分けで尽くす必要がある。

第4問だけのページ

第5問　数列・微分法

対数をとって増減を見る・隣り合う項の比・比がちょうど1になる番号・最大値をとる項当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x) = (x + 1) lo g (1 + \frac{1}{x})$ は $x > 0$ で減少することを示す

答 $f^{'} (x) = lo g (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} < 0$ より減少する

微分すると $lo g (1 + t) - t$ （ $t = \frac{1}{x}$ ）の形になり、よく使う不等式 $lo g (1 + t) < t$ でかたづく。

$x > 0$ で $f (x) = (x + 1) {lo g (x + 1) - lo g x}$ なので

f^{'} (x) = lo g (1 + \frac{1}{x}) + (x + 1) (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}) = lo g (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x}

である（ $(x + 1) (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}) = 1 - \frac{x + 1}{x} = - \frac{1}{x}$ ）。ここで $g (t) = lo g (1 + t) - t$ とおくと

g^{'} (t) = \frac{1}{1 + t} - 1 = - \frac{t}{1 + t} < 0 (t > 0)

で $g (0) = 0$ なので、 $t > 0$ では $g (t) < 0$ 、すなわち

lo g (1 + t) < t (t > 0)

である。 $x > 0$ のとき $t = \frac{1}{x} > 0$ だから $f^{'} (x) = lo g (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} < 0$ であり、 $f (x)$ は $x > 0$ で減少する。

$x$ を $0.01$ 刻みで $0.01$ から $29.99$ まで動かしたところ、 $f$ はつねに減少し、 $f (0.01) = 4.6613$ 、 $f (29.99) = 1.0165$ だった。

(2) $a = \frac{2 ^{8}}{3 ^{4}}$ として $b_{k} = \frac{( k + 1 ) ^{k + 1}}{a ^{k} k !}$ （ $k = 1, 2, 3, \dots$ ）とするとき、数列 ${b_{k}}$ の項の最大値 $M$ を既約分数で表し、 $b_{k} = M$ となる $k$ をすべて求める

答 $M = \frac{3 ^{11}}{2 ^{17}} = \frac{177147}{131072}$ 、 $k = 2, 3$

隣り合う項の比をとると $\frac{b _{k + 1}}{b _{k}} = \frac{1}{a} (1 + \frac{1}{k + 1})^{k + 2}$ となり、対数が $f (k + 1) - lo g a$ になる。(1) よりこの比は減少する。

すべての $k$ で $b_{k} > 0$ である。隣り合う項の比をとると

\frac{b _{k + 1}}{b _{k}} = \frac{( k + 2 ) ^{k + 2}}{a ^{k + 1} ( k + 1 ) !} \cdot \frac{a ^{k} k !}{( k + 1 ) ^{k + 1}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{( k + 2 ) ^{k + 2}}{( k + 1 ) ^{k + 2}} = \frac{1}{a} (1 + \frac{1}{k + 1})^{k + 2}

である。対数をとると

lo g \frac{b _{k + 1}}{b _{k}} = (k + 2) lo g (1 + \frac{1}{k + 1}) - lo g a = f (k + 1) - lo g a

となる。(1) より $f$ は $x > 0$ で減少するので、 $k$ が増えると $\frac{b _{k + 1}}{b _{k}}$ は減少する。

ここで

a = \frac{2 ^{8}}{3 ^{4}} = \frac{256}{81} = (\frac{4}{3})^{4}

であることに注目する。 $k = 2$ とすると

\frac{b _{3}}{b _{2}} = \frac{1}{a} (1 + \frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{a} (\frac{4}{3})^{4} = 1

である。比は減少するから

$k = 1$ では $\frac{b _{2}}{b _{1}} > 1$ 、つまり $b_{1} < b_{2}$
$k = 2$ では $\frac{b _{3}}{b _{2}} = 1$ 、つまり $b_{2} = b_{3}$
$k ≧ 3$ では $\frac{b _{k + 1}}{b _{k}} < 1$ 、つまり $b_{3} > b_{4} > b_{5} > \dots$

となり、最大値は $b_{2} = b_{3}$ である。実際に計算すると

b_{2} = \frac{3 ^{3}}{a ^{2} \cdot 2 !} = \frac{27}{2} \cdot \frac{3 ^{8}}{2 ^{16}} = \frac{3 ^{11}}{2 ^{17}}

であり、 $b_{3} = \frac{4 ^{4}}{a ^{3} \cdot 3 !} = \frac{2 ^{8}}{6} \cdot \frac{3 ^{12}}{2 ^{24}} = \frac{3 ^{12}}{3 \cdot 2 ^{17}} = \frac{3 ^{11}}{2 ^{17}}$ でも同じ値になる。 $3^{11}$ は奇数なので既約分数である。よって

M = \frac{3 ^{11}}{2 ^{17}} = \frac{177147}{131072}, b_{k} = M となる k は k = 2, 3

である。

$a = (\frac{4}{3})^{4}$ と見ると、 $\frac{b _{k + 1}}{b _{k}} = 1$ は $(1 + \frac{1}{k + 1})^{k + 2} = (1 + \frac{1}{3})^{4}$ 、つまり $k + 1 = 3$ である。 $a$ がこの形に作ってあることが、答えがちょうど2つになる理由である。

$k = 1, \dots, 39$ の $b_{k}$ を分数のまま計算したところ、最大値は $\frac{177147}{131072}$ で $k = 2, 3$ の2つで達成された。

比がちょうど $1$ になる $k$ があるので、最大値をとる $k$ は2つある。 $k = 2$ だけ答えると足りない。

比が減少することは (1) から従う。 $(1 + \frac{1}{k + 1})^{k + 2}$ が減少すると「なんとなく」書くのではなく、(1) を使う。

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問題文について

(1)h>0 とする。O(0,0)、P(h,s)、Q(h,t)（s<t）について、三角形 OPQ の面積を S、辺 OP,OQ,PQ の長さを p,q,r とするとき、p2+q2+r2≧43​S を示し、等号成立時の s,t を求める

(2)四面体 ABCD の表面積を T、辺 BC,CA,AB の長さを a,b,c、辺 AD,BD,CD の長さを ℓ,m,n とするとき、a2+b2+c2+ℓ2+m2+n2≧23​T を示し、等号成立時の四面体を答える

1≦x≦2 で ∫x1​x2​​∣logy∣f(xy)dy=3x(logx−1)+A+xB​ が成り立つような連続関数 f(x)（1≦x≦2 で定義）と定数 A,B を求める

(2)複素数平面の相異なる2点 z,w を結ぶ線分を L(z,w) で表すとき、6つの線分 L(0,1)、L(1,1+2i​)、L(1+2i​,21+i​)、L(21+i​,21​+i)、L(21​+i,i)、L(i,0) で囲まれる領域の内部または境界に含まれる M の要素の個数を求める

(1)空間内の相異なる n 枚の平面 H1​,…,Hn​ が空間を T(H1​,…,Hn​) 個の空間領域に分けるとき、T のとりうる値のうち最も大きいものを求める

(2)T のとりうる値のうち2番目に大きいものを求める（n≧2）

(3)T のとりうる値のうち3番目に大きいものを求める（n≧3）

(1)f(x)=(x+1)log(1+x1​) は x>0 で減少することを示す

(2)a=3428​ として bk​=akk!(k+1)k+1​（k=1,2,3,…）とするとき、数列 {bk​} の項の最大値 M を既約分数で表し、bk​=M となる k をすべて求める

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(1) $h > 0$ とする。 $O (0, 0)$ 、 $P (h, s)$ 、 $Q (h, t)$ （ $s < t$ ）について、三角形 $OPQ$ の面積を $S$ 、辺 $OP, OQ, PQ$ の長さを $p, q, r$ とするとき、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S$ を示し、等号成立時の $s, t$ を求める

(2)四面体 $ABCD$ の表面積を $T$ 、辺 $BC, CA, AB$ の長さを $a, b, c$ 、辺 $AD, BD, CD$ の長さを $ℓ, m, n$ とするとき、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + ℓ^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T$ を示し、等号成立時の四面体を答える

$1 ≦ x ≦ 2$ で $\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} ∣ lo g y ∣ f (x y) d y = 3 x (lo g x - 1) + A + \frac{B}{x}$ が成り立つような連続関数 $f (x)$ （ $1 ≦ x ≦ 2$ で定義）と定数 $A, B$ を求める

(1)空間内の相異なる $n$ 枚の平面 $H_{1}, \dots, H_{n}$ が空間を $T (H_{1}, \dots, H_{n})$ 個の空間領域に分けるとき、 $T$ のとりうる値のうち最も大きいものを求める

(2) $T$ のとりうる値のうち2番目に大きいものを求める（ $n ≧ 2$ ）

(3) $T$ のとりうる値のうち3番目に大きいものを求める（ $n ≧ 3$ ）

(1) $f (x) = (x + 1) lo g (1 + \frac{1}{x})$ は $x > 0$ で減少することを示す

(2) $a = \frac{2 ^{8}}{3 ^{4}}$ として $b_{k} = \frac{( k + 1 ) ^{k + 1}}{a ^{k} k !}$ （ $k = 1, 2, 3, \dots$ ）とするとき、数列 ${b_{k}}$ の項の最大値 $M$ を既約分数で表し、 $b_{k} = M$ となる $k$ をすべて求める