独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

大阪大学　2023年度　前期日程　理系

第5問確率の解答・解説

漸化式でつなぐ・合同式・逆元・確率の漸化式当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)さいころを $n$ 回投げ、 $k$ 回目の目を $a_{k}$ とする。 $b_{n} = k = 1 \sum n a_{1}^{n - k} a_{k}$ が $7$ の倍数となる確率を $p_{n}$ とするとき、 $p_{1}, p_{2}$ を求める

答 $p_{1} = 0$ 、 $p_{2} = \frac{1}{6}$

$b_{1} = a_{1}$ は $1$ から $6$ なので $7$ の倍数にならない。 $b_{2} = a_{1}^{2} + a_{2}$ 。

$b_{1} = a_{1}$ で、 $a_{1}$ は $1$ から $6$ のどれかだから $7$ の倍数にならない。よって $p_{1} = 0$ である。

$b_{2} = a_{1} a_{1} + a_{2} = a_{1}^{2} + a_{2}$ である。 $a_{1}$ を固定すると $a_{1}^{2}$ を $7$ で割った余りは決まる。 $a_{1} = 1, \dots, 6$ に対して $a_{1}^{2} \equiv 1, 4, 2, 2, 4, 1 (mod 7)$ で、どれも $0$ でない。したがって $a_{2} \equiv - a_{1}^{2} (mod 7)$ をみたす $a_{2}$ の余りは $1$ から $6$ のどれかであり、 $a_{2} \in {1, \dots, 6}$ のなかにちょうど1つある。

よって $a_{1}$ がどれであっても確率 $\frac{1}{6}$ で、

p_{2} = \frac{1}{6}

である。

全探索すると $p_{1} = 0$ 、 $p_{2} = \frac{1}{6}$ だった。

(2)数列 ${p_{n}}$ の一般項を求める

答 $p_{n} = \frac{1}{7} {1 - (- \frac{1}{6})^{n - 1}}$

$b_{n + 1} = a_{1} b_{n} + a_{n + 1}$ 。 $a_{1}$ は $7$ と互いに素なので、 $b_{n} \neq \equiv 0$ のときだけ次が $7$ の倍数になりうる。

定義から

b_{n + 1} = k = 1 \sum n + 1 a_{1}^{n + 1 - k} a_{k} = a_{1} k = 1 \sum n a_{1}^{n - k} a_{k} + a_{n + 1} = a_{1} b_{n} + a_{n + 1}

である。 $a_{1} \in {1, \dots, 6}$ なので $a_{1}$ は $7$ の倍数でなく、 $7$ を法として逆元をもつ。

$b_{n + 1} \equiv 0 (mod 7)$ は $a_{n + 1} \equiv - a_{1} b_{n} (mod 7)$ と同じである。 $a_{n + 1}$ は $1$ から $6$ までを等しい確率でとるので

$b_{n} \equiv 0$ のとき： $- a_{1} b_{n} \equiv 0$ なので $a_{n + 1} \equiv 0$ が要るが、そんな目はない。確率 $0$
$b_{n} \neq \equiv 0$ のとき： $a_{1}$ が逆元をもつので $- a_{1} b_{n} \neq \equiv 0$ 、つまり $1$ から $6$ のなかにちょうど1つ。確率 $\frac{1}{6}$

である。したがって

p_{n + 1} = 0 \cdot p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n}) = - \frac{1}{6} p_{n} + \frac{1}{6}

である。 $p = - \frac{1}{6} p + \frac{1}{6}$ を解くと $p = \frac{1}{7}$ なので

p_{n + 1} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{6} (p_{n} - \frac{1}{7})

である。 $p_{1} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{7}$ だから

p_{n} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{7} (- \frac{1}{6})^{n - 1}, p_{n} = \frac{1}{7} {1 - (- \frac{1}{6})^{n - 1}}

である。

$n \to \infty$ で $p_{n} \to \frac{1}{7}$ 。 $7$ で割った余りが結局は一様にならされる、という当たり前の結論に落ち着く。 $a_{1}$ の値によらないのがきれいなところ。

$n = 1, \dots, 5$ の全探索で $0, \frac{1}{6}, \frac{5}{36}, \frac{31}{216}, \frac{185}{1296}$ となり、式と分数のまま一致した。

$a_{1}$ は最初の1回だけでなく、 $b_{n}$ の式にずっと出てくる。 $a_{1}$ を固定して条件つき確率を考えるのが安全。

2023年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる阪大理系数学 2027

阪大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・120ページ・2026年7月27日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)さいころを n 回投げ、k 回目の目を ak​ とする。bn​=k=1∑n​a1n−k​ak​ が 7 の倍数となる確率を pn​ とするとき、p1​,p2​ を求める

(2)数列 {pn​} の一般項を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)さいころを $n$ 回投げ、 $k$ 回目の目を $a_{k}$ とする。 $b_{n} = k = 1 \sum n a_{1}^{n - k} a_{k}$ が $7$ の倍数となる確率を $p_{n}$ とするとき、 $p_{1}, p_{2}$ を求める

(2)数列 ${p_{n}}$ の一般項を求める