第2問 ベクトルの解答・解説

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とし、$\vec{u}=2\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{v}=\vec{a}+2\vec{b}$ とおく。$\vec{u}+\vec{v}=3\left(\vec{a}+\vec{b}\right)$ なので

である。与えられた条件は $\left|\vec{u}\right|=\left|\vec{v}\right|=1$ と

である。${\left|\vec{u}\right|}^2=1$ なので

である。求めるものはこの $\vec{u}\cdot \vec{v}$ そのものなので、答えは $0$ である。

$\left|\vec{u}\right|=\left|\vec{v}\right|=1$ で $\vec{u}\perp \vec{v}$。つまり $\vec{u},\vec{v}$ は正規直交な組で、これを座標軸にとると (2) が見やすくなる。

(1) より $\vec{u},\vec{v}$ は正規直交なので、これを座標軸にとって $\vec{u}=\left(1,0\right)$、$\vec{v}=\left(0,1\right)$ とする。このとき

である。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(x,y\right)$ とおくと、条件は

である。中心 $\mathrm{C}\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ の $x$ 座標がちょうど $\frac{1}{3}$ なので、この領域は円板をちょうど半分に切った左半分（直径を含む）である。

$\mathrm{OC}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}>\frac{1}{3}$ なので、原点 $\mathrm{O}$ は円の外にある。

最小。円板全体で $\mathrm{O}$ に最も近いのは、線分 $\mathrm{OC}$ を $\mathrm{C}$ の側に延ばして円と交わる手前の点

で、その $x$ 座標は $\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)<\frac{1}{3}$ なので半平面の条件もみたす。よって最小値は

である。

最大。円板全体での最遠点は $\mathrm{C}$ の向こう側 $\left(\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ だが、$x$ 座標が $\frac{1}{3}$ を超えるので使えない。そこで境界 $x=\frac{1}{3}$（直径）の上で考えると、${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=\frac{1}{9}+y^2$ で $0\leqq y\leqq \frac{2}{3}$ だから、$y=\frac{2}{3}$ のとき最大で

である。円弧（$x\leqq \frac{1}{3}$ の側）の上では、$\mathrm{P}=\mathrm{C}+\frac{1}{3}\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)$（$\cos \theta \leqq 0$）として

（$\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{3\pi }{2}$ で $\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\leqq 1$、等号は $\theta =\frac{\pi }{2}$）なので、やはり $\frac{\sqrt{5}}{3}$ を超えない。したがって最大値は $\frac{\sqrt{5}}{3}$ である。