独自の解答・詳解
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全5問・無料

大阪大学　2023年度　前期日程　理系

阪大理系 2023年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　極限

等比数列の和・不等式ではさむ・交代級数・はさみうちの原理当サイトの体感難易度：やや難

(1) $n ≧ 2$ の自然数とする。 $0 ≦ x ≦ 1$ のとき $\frac{1}{2} x^{n} ≦ (- 1)^{n} {\frac{1}{x + 1} - 1 - k = 2 \sum n (- x)^{k - 1}} ≦ x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1}$ を示す

答真ん中は $\frac{x ^{n}}{1 + x}$ に等しく、 $0 ≦ x ≦ 1$ では $\frac{1}{2} ≦ \frac{1}{1 + x} ≦ \frac{2 - x}{2}$

$1 + k = 2 \sum n (- x)^{k - 1} = k = 1 \sum n (- x)^{k - 1}$ は公比 $- x$ の等比数列の和。

$1 + k = 2 \sum n (- x)^{k - 1} = k = 1 \sum n (- x)^{k - 1}$ は初項 $1$ 、公比 $- x$ の等比数列の和である。 $x = 1$ でも $- x = - 1 \neq = 1$ なので

k = 1 \sum n (- x)^{k - 1} = \frac{1 - ( - x ) ^{n}}{1 + x}

である。したがって真ん中の中かっこは

\frac{1}{x + 1} - \frac{1 - ( - x ) ^{n}}{1 + x} = \frac{( - x ) ^{n}}{1 + x}

となり、 $(- 1)^{n}$ を掛けると $(- 1)^{2 n} = 1$ なので

(- 1)^{n} {\frac{1}{x + 1} - 1 - k = 2 \sum n (- x)^{k - 1}} = \frac{x ^{n}}{1 + x}

である。あとは $0 ≦ x ≦ 1$ で

\frac{1}{2} x^{n} ≦ \frac{x ^{n}}{1 + x} ≦ x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1} = x^{n} \cdot \frac{2 - x}{2}

を示せばよい。 $x^{n} ≧ 0$ なので、 $x = 0$ なら3つとも $0$ で等号。 $0 < x ≦ 1$ なら $x^{n} > 0$ で割って

\frac{1}{2} ≦ \frac{1}{1 + x} ≦ \frac{2 - x}{2}

を示せばよい。左は $1 + x ≦ 2$ 、つまり $x ≦ 1$ から従う。右は

\frac{2 - x}{2} - \frac{1}{1 + x} = \frac{( 2 - x ) ( 1 + x ) - 2}{2 ( 1 + x )} = \frac{x - x ^{2}}{2 ( 1 + x )} = \frac{x ( 1 - x )}{2 ( 1 + x )} ≧ 0

から従う。（証明終わり）

図は n = 2 のとき。真ん中の曲線が xⁿ/(1+x) で、うすい2本は下の線 xⁿ/2 と上の線 xⁿ − x^(n+1)/2。塗った帯のなかに収まっていて、x = 0 と x = 1 では3本とも重なる。

$n = 2, 3, 5, 8$ と $0 ≦ x ≦ 1$ の $1001$ 点で、不等式も $\frac{x ^{n}}{1 + x}$ との一致も成り立った。

(2) $a_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k}$ とするとき $n \to \infty lim (- 1)^{n} n (a_{n} - lo g 2)$ を求める

答 $- \frac{1}{2}$

(1) の等式を $0$ から $1$ まで積分すると、左辺が $lo g 2 - a_{n}$ に化ける。

(1) の途中で示した

\frac{x ^{n}}{1 + x} = (- 1)^{n} {\frac{1}{1 + x} - k = 1 \sum n (- x)^{k - 1}}

を $0$ から $1$ まで積分する。 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = lo g 2$ 、 $\int_{0}^{1} x^{k - 1} d x = \frac{1}{k}$ なので

\int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x = (- 1)^{n} {lo g 2 - k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k}} = (- 1)^{n} (lo g 2 - a_{n})

である。つまり

(- 1)^{n} n (a_{n} - lo g 2) = - n \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x

である。(1) の不等式を $0$ から $1$ まで積分すると

\frac{1}{2 ( n + 1 )} ≦ \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x ≦ \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{2 ( n + 2 )}

である。 $n$ を掛けると

\frac{n}{2 ( n + 1 )} ≦ n \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x ≦ \frac{n}{n + 1} - \frac{n}{2 ( n + 2 )}

で、 $n \to \infty$ のとき左辺は $\frac{1}{2}$ 、右辺は $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ に収束する。はさみうちの原理より

n \to \infty lim n \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x = \frac{1}{2}

である。したがって

n \to \infty lim (- 1)^{n} n (a_{n} - lo g 2) = - \frac{1}{2}

である。

$a_{n}$ は $lo g 2$ に「交互に近づく」級数。差はおよそ $\frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 n}$ で、符号を打ち消すと $- \frac{1}{2}$ が残る、というのがこの問題の言っていること。

$n = 10, 100, 1000, 10000$ で $- 0.4751, - 0.4975, - 0.49975, - 0.499975$ となり、 $- \frac{1}{2}$ に近づいた。

$\int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x$ をそのまま計算しようとしない。(1) の不等式ではさむのが筋。

第1問だけのページ

第2問　ベクトル

内積の計算・正規直交な組をつくる・円板と半平面・距離の最大最小当サイトの体感難易度：やや難

(1)平面上の3点 $O, A, B$ が $2 OA + OB = OA + 2 OB = 1$ かつ $(2 OA + OB) \cdot (OA + OB) = \frac{1}{3}$ をみたすとき、 $(2 OA + OB) \cdot (OA + 2 OB)$ を求める

答 $0$

$u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおくと $a + b = \frac{u + v}{3}$ 。

$a = OA$ 、 $b = OB$ とし、 $u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおく。 $u + v = 3 (a + b)$ なので

a + b = \frac{u + v}{3}

である。与えられた条件は $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1$ と

u \cdot \frac{u + v}{3} = \frac{1}{3}, ∣ u ∣^{2} + u \cdot v = 1

である。 $∣ u ∣^{2} = 1$ なので

u \cdot v = 0

である。求めるものはこの $u \cdot v$ そのものなので、答えは $0$ である。

$∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1$ で $u ⊥ v$ 。つまり $u, v$ は正規直交な組で、これを座標軸にとると (2) が見やすくなる。

$u = (1, 0)$ 、 $v = (0, 1)$ から $a, b$ を作ると条件がすべて成り立ち、内積は $0$ だった。

(2)平面上の点 $P$ が $OP - (a + b) ≦ \frac{1}{3}$ かつ $OP \cdot (2 a + b) ≦ \frac{1}{3}$ をみたすように動くとき、 $OP$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{5}{3}$ 、最小値 $\frac{2 - 1}{3}$

$u, v$ を座標軸にとる。条件は「中心 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 半径 $\frac{1}{3}$ の円板」と「 $x ≦ \frac{1}{3}$ 」。

(1) より $u, v$ は正規直交なので、これを座標軸にとって $u = (1, 0)$ 、 $v = (0, 1)$ とする。このとき

a + b = \frac{u + v}{3} = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3})

である。 $OP = (x, y)$ とおくと、条件は

(x - \frac{1}{3})^{2} + (y - \frac{1}{3})^{2} ≦ \frac{1}{9} かつ x ≦ \frac{1}{3}

である。中心 $C (\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ の $x$ 座標がちょうど $\frac{1}{3}$ なので、この領域は円板をちょうど半分に切った左半分（直径を含む）である。

$OC = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{3} > \frac{1}{3}$ なので、原点 $O$ は円の外にある。

最小。円板全体で $O$ に最も近いのは、線分 $OC$ を $C$ の側に延ばして円と交わる手前の点

P_{0} = C - \frac{1}{3} \cdot \frac{OC}{OC} = (\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2}), \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2}))

で、その $x$ 座標は $\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2}) < \frac{1}{3}$ なので半平面の条件もみたす。よって最小値は

∣ OC ∣ - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2 - 1}{3}

である。

最大。円板全体での最遠点は $C$ の向こう側 $(\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2}), \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2}))$ だが、 $x$ 座標が $\frac{1}{3}$ を超えるので使えない。そこで境界 $x = \frac{1}{3}$ （直径）の上で考えると、 $OP^{2} = \frac{1}{9} + y^{2}$ で $0 ≦ y ≦ \frac{2}{3}$ だから、 $y = \frac{2}{3}$ のとき最大で

OP = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{3}

である。円弧（ $x ≦ \frac{1}{3}$ の側）の上では、 $P = C + \frac{1}{3} (cos θ, sin θ)$ （ $cos θ ≦ 0$ ）として

OP^{2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} (cos θ + sin θ) ≦ \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}

（ $\frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{3 π}{2}$ で $cos θ + sin θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4}) ≦ 1$ 、等号は $θ = \frac{π}{2}$ ）なので、やはり $\frac{5}{3}$ を超えない。したがって最大値は $\frac{5}{3}$ である。

u, v を座標軸にとったときの領域（塗った左半分の円板）。中心は (1/3, 1/3)、半径は 1/3。原点から最も遠いのは上の端 (1/3, 2/3)、最も近いのは中心へ向かう向きの点。

$1201 \times 1201$ の格子で走査すると最大 $0.7453560$ （ $\frac{5}{3}$ ）、最小 $0.1382787$ （ $\frac{2 - 1}{3} = 0.1380712$ ）だった。

半平面で切られるので、円板だけで考えた最遠点は使えない。切り口（直径）の端も候補に入れる。

第2問だけのページ

第3問　微分（接線の本数）

接線が通る条件・解の個数と増減・端点も数える・領域の図示当サイトの体感難易度：難

$P (a, b)$ とする。 $- π ≦ t ≦ π$ の実数 $t$ のうち、曲線 $y = cos x$ 上の点 $(t, cos t)$ における接線が $P$ を通るものの個数を $N (P)$ とする。 $N (P) = 4$ かつ $0 < a < π$ をみたす $P$ の存在範囲を求める

答 $0 < a < \frac{π}{2}$ では $cos a < b < \frac{π}{2} - a$ 、 $\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1$ では $\frac{π}{2} - a < b < cos a$ 、 $\frac{π}{2} + 1 < a < π$ では $- 1 ≦ b < cos a$ （ $a = \frac{π}{2}$ のときはない）

接線が通る条件を $b = h (t)$ の形にし、 $h^{'} (t) = (t - a) cos t$ の符号で増減を調べる。

$(t, cos t)$ における接線は $y = cos t - sin t (x - t)$ である。 $P (a, b)$ を通る条件は

b = cos t + (t - a) sin t \dots (*)

である。 $h (t) = cos t + (t - a) sin t$ とおくと

h^{'} (t) = - sin t + sin t + (t - a) cos t = (t - a) cos t

である。 $N (P)$ は $- π ≦ t ≦ π$ における $h (t) = b$ の解の個数である。端の値は

h (- π) = h (π) = - 1, h (- \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + a, h (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - a, h (a) = cos a

である。

$0 < a < \frac{π}{2}$ のとき。 $h^{'} = (t - a) cos t$ の符号は $(- π, - \frac{π}{2})$ で正、 $(- \frac{π}{2}, a)$ で負、 $(a, \frac{π}{2})$ で正、 $(\frac{π}{2}, π)$ で負である。つまり

- 1 ↗ \frac{π}{2} + a ↘ cos a ↗ \frac{π}{2} - a ↘ - 1

と動く。 $cos a < \frac{π}{2} - a$ （ $φ (a) = \frac{π}{2} - a - cos a$ は $φ^{'} = sin a - 1 ≦ 0$ で減少、 $φ (\frac{π}{2}) = 0$ なので $0 < a < \frac{π}{2}$ で $φ > 0$ ）だから、4本の単調な区間すべてで解をもつのは

cos a < b < \frac{π}{2} - a

のときである（等号では2本が1点で重なり $3$ 個になる）。

$a = \frac{π}{2}$ のとき。 $h^{'} = (t - \frac{π}{2}) cos t$ は $(- π, - \frac{π}{2})$ で正、 $(- \frac{π}{2}, π)$ で負なので、単調な区間が2つしかなく $N ≦ 2$ である。

$\frac{π}{2} < a < π$ のとき。符号は $(- π, - \frac{π}{2})$ で正、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ で負、 $(\frac{π}{2}, a)$ で正、 $(a, π)$ で負なので

- 1 ↗ \frac{π}{2} + a ↘ \frac{π}{2} - a ↗ cos a ↘ - 1

と動く。今度は $\frac{π}{2} - a < cos a$ （ $ψ (a) = cos a + a - \frac{π}{2}$ は $ψ^{'} = 1 - sin a ≧ 0$ で増加、 $ψ (\frac{π}{2}) = 0$ ）である。4つの単調な区間の値域はそれぞれ

[- 1, \frac{π}{2} + a], [\frac{π}{2} - a, \frac{π}{2} + a], [\frac{π}{2} - a, cos a], [- 1, cos a]

なので、4つすべてに $b$ が入るのは

max (- 1, \frac{π}{2} - a) ≦ b ≦ cos a

のときである。ただし端では重なりが起きる。 $b = cos a$ では $t = a$ で2区間が重なって $3$ 個、 $b = \frac{π}{2} - a$ （これが $- 1$ より大きいとき）では $t = \frac{π}{2}$ で重なって $3$ 個である。一方 $b = - 1$ は $t = - π$ と $t = π$ という異なる2つの $t$ を与えるので重なりではない。したがって

$\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1$ （このとき $\frac{π}{2} - a ≧ - 1$ ）： $\frac{π}{2} - a < b < cos a$
$\frac{π}{2} + 1 < a < π$ （このとき $\frac{π}{2} - a < - 1$ ）： $- 1 ≦ b < cos a$

である。まとめると求める範囲は

$0 < a < \frac{π}{2}$ ： $cos a < b < \frac{π}{2} - a$
$a = \frac{π}{2}$ ：なし
$\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1$ ： $\frac{π}{2} - a < b < cos a$
$\frac{π}{2} + 1 < a < π$ ： $- 1 ≦ b < cos a$

である。

N(P) = 4 となる範囲（塗った部分）。左の山は 0 < a < π/2 で曲線 b = cos a と直線 b = π/2 − a のあいだ、右の部分は π/2 < a < π で直線 b = π/2 − a（または b = −1）と曲線 b = cos a のあいだ。a = π/2 では range がつぶれる。

$t = - π$ と $t = π$ はどちらも同じ直線 $y = - 1$ を与えるが、 $t$ としては別物なので $2$ 個と数える。 $a$ が $\frac{π}{2} + 1$ を超えると $b = - 1$ が範囲に入るのは、このためである。

$40$ 万点走査で解の個数を数えると、上の範囲の内部でだけ $4$ になり、 $a = 2.5709$ では $b = - 1$ でも $4$ だった。

数えるのは「接線の本数」ではなく「条件をみたす $t$ の個数」。 $t = \pm π$ を1つにまとめない。

$b$ が極大・極小の値に一致すると2つの区間が1点で重なって $3$ 個になる。端の扱いがこの問題の山。

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第4問　空間ベクトル

垂線の足・射影の長さ・外積の大きさ・2次曲線当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a^{2} + b^{2} > 1$ 、 $b \neq = 0$ とし、 $A (a, 0, b)$ 、 $P (x, y, 0)$ とする。 $O$ を通り直線 $AP$ に垂直な平面を $α$ 、 $α$ と直線 $AP$ の交点を $Q$ とするとき、 $(AP \cdot AO)^{2} = AP^{2} AQ^{2}$ を示す

答 $Q$ は $O$ から直線 $AP$ に下ろした垂線の足なので、 $AQ$ は $AO$ の $AP$ 方向への正射影

$OQ ⊥ AP$ から $AQ = \frac{AO \cdot AP}{AP ^{2}} AP$ 。

$P$ は $z = 0$ の平面上、 $A$ は $z = b \neq = 0$ なので $A \neq = P$ 、つまり $AP \neq = 0$ である。 $α$ は $AP$ を法線とする平面で $O$ を通るから、 $Q \in α$ より

OQ \cdot AP = 0

である。つまり $Q$ は $O$ から直線 $AP$ に下ろした垂線の足である。 $Q$ は直線 $AP$ 上なので $AQ = k AP$ とおくと

OQ = AQ - AO = k AP - AO

で、これと $AP$ の内積が $0$ だから

k = \frac{AO \cdot AP}{AP ^{2}}

である。したがって

AQ^{2} = k^{2} AP^{2} = \frac{( AO \cdot AP ) ^{2}}{AP ^{2}}

となり、両辺に $AP^{2}$ を掛ければ求める等式になる。（証明終わり）

ランダムに2万組とって確かめると、両辺の差は相対誤差 $1 0^{- 6}$ 以下だった。

(2) $OQ = 1$ をみたすように $P (x, y, 0)$ が $x y$ 平面上を動くときの $P$ の軌跡を求める

答 $(b^{2} - 1) x^{2} + (a^{2} + b^{2} - 1) y^{2} + 2 a x - (a^{2} + b^{2}) = 0$ 。 $b^{2} > 1$ なら楕円、 $b^{2} = 1$ なら放物線、 $b^{2} < 1$ なら双曲線

$OQ^{2} = AO^{2} - AQ^{2}$ 。(1) を使うと外積の形にまとまる。

$OQ ⊥ AQ$ なので三平方の定理から

OQ^{2} = AO^{2} - AQ^{2}

である。(1) より $AQ^{2} = \frac{( AO \cdot AP ) ^{2}}{AP ^{2}}$ だから、 $OQ = 1$ は

AO^{2} AP^{2} - (AO \cdot AP)^{2} = AP^{2}

と同値である。左辺は $AO \times AP^{2}$ である。 $AO = (- a, 0, - b)$ 、 $AP = (x - a, y, - b)$ なので

AO \times AP = (b y, - b x, - a y)

であり

b^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} + b^{2}

となる。展開して整理すると

(b^{2} - 1) x^{2} + (a^{2} + b^{2} - 1) y^{2} + 2 a x - (a^{2} + b^{2}) = 0

である。 $a^{2} + b^{2} - 1 > 0$ なので $y^{2}$ の係数は正であり、形は $x^{2}$ の係数 $b^{2} - 1$ で決まる。

$b^{2} > 1$ ： $x^{2}, y^{2}$ の係数がともに正なので楕円
$b^{2} = 1$ （このとき $a \neq = 0$ ）： $x$ の1次と $y^{2}$ だけが残り $a^{2} y^{2} + 2 a x - (a^{2} + 1) = 0$ 、すなわち放物線
$b^{2} < 1$ ：係数の符号が逆なので双曲線

である（ $b^{2} = 1$ で $a = 0$ だと $a^{2} + b^{2} = 1$ となり条件 $a^{2} + b^{2} > 1$ に反するので、 $b^{2} = 1$ のときは必ず $a \neq = 0$ ）。 $b^{2} \neq = 1$ のときは平方完成して

\frac{( x + \frac{a}{b ^{2} - 1} ) ^{2}}{\frac{b ^{2} ( a ^{2} + b ^{2} - 1 )}{( b ^{2} - 1 ) ^{2}}} + \frac{y ^{2}}{\frac{b ^{2}}{b ^{2} - 1}} = 1

と書ける。

$a = 0$ 、 $b = 2$ なら $3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 = 0$ 、つまり原点中心・半径 $\frac{2}{3}$ の円になる。対称性からも納得できる。

4組の $(a, b)$ について、求めた曲線上の点ではつねに $OQ = 1$ になった。

$AO^{2} AP^{2} - (AO \cdot AP)^{2}$ は外積の大きさの2乗。これに気づくと成分計算がぐっと短くなる。

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第5問　確率

漸化式でつなぐ・合同式・逆元・確率の漸化式当サイトの体感難易度：やや難

(1)さいころを $n$ 回投げ、 $k$ 回目の目を $a_{k}$ とする。 $b_{n} = k = 1 \sum n a_{1}^{n - k} a_{k}$ が $7$ の倍数となる確率を $p_{n}$ とするとき、 $p_{1}, p_{2}$ を求める

答 $p_{1} = 0$ 、 $p_{2} = \frac{1}{6}$

$b_{1} = a_{1}$ は $1$ から $6$ なので $7$ の倍数にならない。 $b_{2} = a_{1}^{2} + a_{2}$ 。

$b_{1} = a_{1}$ で、 $a_{1}$ は $1$ から $6$ のどれかだから $7$ の倍数にならない。よって $p_{1} = 0$ である。

$b_{2} = a_{1} a_{1} + a_{2} = a_{1}^{2} + a_{2}$ である。 $a_{1}$ を固定すると $a_{1}^{2}$ を $7$ で割った余りは決まる。 $a_{1} = 1, \dots, 6$ に対して $a_{1}^{2} \equiv 1, 4, 2, 2, 4, 1 (mod 7)$ で、どれも $0$ でない。したがって $a_{2} \equiv - a_{1}^{2} (mod 7)$ をみたす $a_{2}$ の余りは $1$ から $6$ のどれかであり、 $a_{2} \in {1, \dots, 6}$ のなかにちょうど1つある。

よって $a_{1}$ がどれであっても確率 $\frac{1}{6}$ で、

p_{2} = \frac{1}{6}

である。

全探索すると $p_{1} = 0$ 、 $p_{2} = \frac{1}{6}$ だった。

(2)数列 ${p_{n}}$ の一般項を求める

答 $p_{n} = \frac{1}{7} {1 - (- \frac{1}{6})^{n - 1}}$

$b_{n + 1} = a_{1} b_{n} + a_{n + 1}$ 。 $a_{1}$ は $7$ と互いに素なので、 $b_{n} \neq \equiv 0$ のときだけ次が $7$ の倍数になりうる。

定義から

b_{n + 1} = k = 1 \sum n + 1 a_{1}^{n + 1 - k} a_{k} = a_{1} k = 1 \sum n a_{1}^{n - k} a_{k} + a_{n + 1} = a_{1} b_{n} + a_{n + 1}

である。 $a_{1} \in {1, \dots, 6}$ なので $a_{1}$ は $7$ の倍数でなく、 $7$ を法として逆元をもつ。

$b_{n + 1} \equiv 0 (mod 7)$ は $a_{n + 1} \equiv - a_{1} b_{n} (mod 7)$ と同じである。 $a_{n + 1}$ は $1$ から $6$ までを等しい確率でとるので

$b_{n} \equiv 0$ のとき： $- a_{1} b_{n} \equiv 0$ なので $a_{n + 1} \equiv 0$ が要るが、そんな目はない。確率 $0$
$b_{n} \neq \equiv 0$ のとき： $a_{1}$ が逆元をもつので $- a_{1} b_{n} \neq \equiv 0$ 、つまり $1$ から $6$ のなかにちょうど1つ。確率 $\frac{1}{6}$

である。したがって

p_{n + 1} = 0 \cdot p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n}) = - \frac{1}{6} p_{n} + \frac{1}{6}

である。 $p = - \frac{1}{6} p + \frac{1}{6}$ を解くと $p = \frac{1}{7}$ なので

p_{n + 1} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{6} (p_{n} - \frac{1}{7})

である。 $p_{1} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{7}$ だから

p_{n} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{7} (- \frac{1}{6})^{n - 1}, p_{n} = \frac{1}{7} {1 - (- \frac{1}{6})^{n - 1}}

である。

$n \to \infty$ で $p_{n} \to \frac{1}{7}$ 。 $7$ で割った余りが結局は一様にならされる、という当たり前の結論に落ち着く。 $a_{1}$ の値によらないのがきれいなところ。

$n = 1, \dots, 5$ の全探索で $0, \frac{1}{6}, \frac{5}{36}, \frac{31}{216}, \frac{185}{1296}$ となり、式と分数のまま一致した。

$a_{1}$ は最初の1回だけでなく、 $b_{n}$ の式にずっと出てくる。 $a_{1}$ を固定して条件つき確率を考えるのが安全。

第5問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)n≧2 の自然数とする。0≦x≦1 のとき 21​xn≦(−1)n{x+11​−1−k=2∑n​(−x)k−1}≦xn−21​xn+1 を示す

(2)an​=k=1∑n​k(−1)k−1​ とするとき n→∞lim​(−1)nn(an​−log2) を求める

(1)平面上の3点 O,A,B が ​2OA+OB​=​OA+2OB​=1 かつ (2OA+OB)⋅(OA+OB)=31​ をみたすとき、(2OA+OB)⋅(OA+2OB) を求める

(2)平面上の点 P が ​OP−(a+b)​≦31​ かつ OP⋅(2a+b)≦31​ をみたすように動くとき、​OP​ の最大値と最小値を求める

P(a,b) とする。−π≦t≦π の実数 t のうち、曲線 y=cosx 上の点 (t,cost) における接線が P を通るものの個数を N(P) とする。N(P)=4 かつ 0<a<π をみたす P の存在範囲を求める

(1)a2+b2>1、b=0 とし、A(a,0,b)、P(x,y,0) とする。O を通り直線 AP に垂直な平面を α、α と直線 AP の交点を Q とするとき、(AP⋅AO)2=​AP​2​AQ​​2 を示す

(2)​OQ​​=1 をみたすように P(x,y,0) が xy 平面上を動くときの P の軌跡を求める

(1)さいころを n 回投げ、k 回目の目を ak​ とする。bn​=k=1∑n​a1n−k​ak​ が 7 の倍数となる確率を pn​ とするとき、p1​,p2​ を求める

(2)数列 {pn​} の一般項を求める

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(1) $n ≧ 2$ の自然数とする。 $0 ≦ x ≦ 1$ のとき $\frac{1}{2} x^{n} ≦ (- 1)^{n} {\frac{1}{x + 1} - 1 - k = 2 \sum n (- x)^{k - 1}} ≦ x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1}$ を示す

(2) $a_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k}$ とするとき $n \to \infty lim (- 1)^{n} n (a_{n} - lo g 2)$ を求める

(1)平面上の3点 $O, A, B$ が $2 OA + OB = OA + 2 OB = 1$ かつ $(2 OA + OB) \cdot (OA + OB) = \frac{1}{3}$ をみたすとき、 $(2 OA + OB) \cdot (OA + 2 OB)$ を求める

(2)平面上の点 $P$ が $OP - (a + b) ≦ \frac{1}{3}$ かつ $OP \cdot (2 a + b) ≦ \frac{1}{3}$ をみたすように動くとき、 $OP$ の最大値と最小値を求める

$P (a, b)$ とする。 $- π ≦ t ≦ π$ の実数 $t$ のうち、曲線 $y = cos x$ 上の点 $(t, cos t)$ における接線が $P$ を通るものの個数を $N (P)$ とする。 $N (P) = 4$ かつ $0 < a < π$ をみたす $P$ の存在範囲を求める

(1) $a^{2} + b^{2} > 1$ 、 $b \neq = 0$ とし、 $A (a, 0, b)$ 、 $P (x, y, 0)$ とする。 $O$ を通り直線 $AP$ に垂直な平面を $α$ 、 $α$ と直線 $AP$ の交点を $Q$ とするとき、 $(AP \cdot AO)^{2} = AP^{2} AQ^{2}$ を示す

(2) $OQ = 1$ をみたすように $P (x, y, 0)$ が $x y$ 平面上を動くときの $P$ の軌跡を求める

(1)さいころを $n$ 回投げ、 $k$ 回目の目を $a_{k}$ とする。 $b_{n} = k = 1 \sum n a_{1}^{n - k} a_{k}$ が $7$ の倍数となる確率を $p_{n}$ とするとき、 $p_{1}, p_{2}$ を求める

(2)数列 ${p_{n}}$ の一般項を求める