第4問 空間ベクトルの解答・解説

$\mathrm{P}$ は $z=0$ の平面上、$\mathrm{A}$ は $z=b\ne 0$ なので $\mathrm{A}\ne \mathrm{P}$、つまり $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\ne \vec{0}$ である。$\alpha$ は $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を法線とする平面で $\mathrm{O}$ を通るから、$\mathrm{Q}\in \alpha$ より

である。つまり $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{O}$ から直線 $\mathrm{AP}$ に下ろした垂線の足である。$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{AP}$ 上なので $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ とおくと

で、これと $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ の内積が $0$ だから

である。したがって

となり、両辺に ${\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$ を掛ければ求める等式になる。（証明終わり）

$\mathrm{OQ}\perp \mathrm{AQ}$ なので三平方の定理から

である。(1) より ${\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|}^2=\frac{{\left(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}\right)}^2}{{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2}$ だから、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=1$ は

と同値である。左辺は ${\left|\overrightarrow{\mathrm{AO}}\times \overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$ である。$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\left(-a,0,-b\right)$、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(x-a,y,-b\right)$ なので

であり

となる。展開して整理すると

である。$a^2+b^2-1>0$ なので $y^2$ の係数は正であり、形は $x^2$ の係数 $b^2-1$ で決まる。

1. $b^2>1$：$x^2,y^2$ の係数がともに正なので楕円
2. $b^2=1$（このとき $a\ne 0$）：$x$ の1次と $y^2$ だけが残り $a^2{y}^2+2ax-\left(a^2+1\right)=0$、すなわち放物線
3. $b^2<1$：係数の符号が逆なので双曲線

である（$b^2=1$ で $a=0$ だと $a^2+b^2=1$ となり条件 $a^2+b^2>1$ に反するので、$b^2=1$ のときは必ず $a\ne 0$）。$b^2\ne 1$ のときは平方完成して

と書ける。

$a=0$、$b=2$ なら $3x^2+3y^2-4=0$、つまり原点中心・半径 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ の円になる。対称性からも納得できる。