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大阪大学　2023年度　前期日程　理系

第3問微分（接線の本数）の解答・解説

接線が通る条件・解の個数と増減・端点も数える・領域の図示当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/14

問題文について

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$P (a, b)$ とする。 $- π ≦ t ≦ π$ の実数 $t$ のうち、曲線 $y = cos x$ 上の点 $(t, cos t)$ における接線が $P$ を通るものの個数を $N (P)$ とする。 $N (P) = 4$ かつ $0 < a < π$ をみたす $P$ の存在範囲を求める

答 $0 < a < \frac{π}{2}$ では $cos a < b < \frac{π}{2} - a$ 、 $\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1$ では $\frac{π}{2} - a < b < cos a$ 、 $\frac{π}{2} + 1 < a < π$ では $- 1 ≦ b < cos a$ （ $a = \frac{π}{2}$ のときはない）

接線が通る条件を $b = h (t)$ の形にし、 $h^{'} (t) = (t - a) cos t$ の符号で増減を調べる。

$(t, cos t)$ における接線は $y = cos t - sin t (x - t)$ である。 $P (a, b)$ を通る条件は

b = cos t + (t - a) sin t \dots (*)

である。 $h (t) = cos t + (t - a) sin t$ とおくと

h^{'} (t) = - sin t + sin t + (t - a) cos t = (t - a) cos t

である。 $N (P)$ は $- π ≦ t ≦ π$ における $h (t) = b$ の解の個数である。端の値は

h (- π) = h (π) = - 1, h (- \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + a, h (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - a, h (a) = cos a

である。

$0 < a < \frac{π}{2}$ のとき。 $h^{'} = (t - a) cos t$ の符号は $(- π, - \frac{π}{2})$ で正、 $(- \frac{π}{2}, a)$ で負、 $(a, \frac{π}{2})$ で正、 $(\frac{π}{2}, π)$ で負である。つまり

- 1 ↗ \frac{π}{2} + a ↘ cos a ↗ \frac{π}{2} - a ↘ - 1

と動く。 $cos a < \frac{π}{2} - a$ （ $φ (a) = \frac{π}{2} - a - cos a$ は $φ^{'} = sin a - 1 ≦ 0$ で減少、 $φ (\frac{π}{2}) = 0$ なので $0 < a < \frac{π}{2}$ で $φ > 0$ ）だから、4本の単調な区間すべてで解をもつのは

cos a < b < \frac{π}{2} - a

のときである（等号では2本が1点で重なり $3$ 個になる）。

$a = \frac{π}{2}$ のとき。 $h^{'} = (t - \frac{π}{2}) cos t$ は $(- π, - \frac{π}{2})$ で正、 $(- \frac{π}{2}, π)$ で負なので、単調な区間が2つしかなく $N ≦ 2$ である。

$\frac{π}{2} < a < π$ のとき。符号は $(- π, - \frac{π}{2})$ で正、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ で負、 $(\frac{π}{2}, a)$ で正、 $(a, π)$ で負なので

- 1 ↗ \frac{π}{2} + a ↘ \frac{π}{2} - a ↗ cos a ↘ - 1

と動く。今度は $\frac{π}{2} - a < cos a$ （ $ψ (a) = cos a + a - \frac{π}{2}$ は $ψ^{'} = 1 - sin a ≧ 0$ で増加、 $ψ (\frac{π}{2}) = 0$ ）である。4つの単調な区間の値域はそれぞれ

[- 1, \frac{π}{2} + a], [\frac{π}{2} - a, \frac{π}{2} + a], [\frac{π}{2} - a, cos a], [- 1, cos a]

なので、4つすべてに $b$ が入るのは

max (- 1, \frac{π}{2} - a) ≦ b ≦ cos a

のときである。ただし端では重なりが起きる。 $b = cos a$ では $t = a$ で2区間が重なって $3$ 個、 $b = \frac{π}{2} - a$ （これが $- 1$ より大きいとき）では $t = \frac{π}{2}$ で重なって $3$ 個である。一方 $b = - 1$ は $t = - π$ と $t = π$ という異なる2つの $t$ を与えるので重なりではない。したがって

$\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1$ （このとき $\frac{π}{2} - a ≧ - 1$ ）： $\frac{π}{2} - a < b < cos a$
$\frac{π}{2} + 1 < a < π$ （このとき $\frac{π}{2} - a < - 1$ ）： $- 1 ≦ b < cos a$

である。まとめると求める範囲は

$0 < a < \frac{π}{2}$ ： $cos a < b < \frac{π}{2} - a$
$a = \frac{π}{2}$ ：なし
$\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1$ ： $\frac{π}{2} - a < b < cos a$
$\frac{π}{2} + 1 < a < π$ ： $- 1 ≦ b < cos a$

である。

N(P) = 4 となる範囲（塗った部分）。左の山は 0 < a < π/2 で曲線 b = cos a と直線 b = π/2 − a のあいだ、右の部分は π/2 < a < π で直線 b = π/2 − a（または b = −1）と曲線 b = cos a のあいだ。a = π/2 では range がつぶれる。

$t = - π$ と $t = π$ はどちらも同じ直線 $y = - 1$ を与えるが、 $t$ としては別物なので $2$ 個と数える。 $a$ が $\frac{π}{2} + 1$ を超えると $b = - 1$ が範囲に入るのは、このためである。

$40$ 万点走査で解の個数を数えると、上の範囲の内部でだけ $4$ になり、 $a = 2.5709$ では $b = - 1$ でも $4$ だった。

数えるのは「接線の本数」ではなく「条件をみたす $t$ の個数」。 $t = \pm π$ を1つにまとめない。

$b$ が極大・極小の値に一致すると2つの区間が1点で重なって $3$ 個になる。端の扱いがこの問題の山。

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P(a,b) とする。−π≦t≦π の実数 t のうち、曲線 y=cosx 上の点 (t,cost) における接線が P を通るものの個数を N(P) とする。N(P)=4 かつ 0<a<π をみたす P の存在範囲を求める

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