第3問 図形と方程式・積分の解答・解説

$x=s+t$、$y=st$ のとき、$s,t$ は $u$ の2次方程式

の2解である。$s,t$ が実数であるためには判別式が $0$ 以上、つまり

が必要である。$\left(x,y\right)=\left(2,\sqrt{2}\right)$ を入れると

である（$\sqrt{2}>1$）。よって $s+t=2$、$st=\sqrt{2}$ をみたす実数 $s,t$ は存在しない。したがって $\left(2,\sqrt{2}\right)$ は $A$ の点ではない。

$\left(x,y\right)$ が $A$ の点である必要十分条件は、$u^2-xu+y=0$ が実数解 $s,t$（重解も可）をもち、かつ $s^2+t^2\le 6$ となることである。

1. 実数解をもつ：$x^2-4y\ge 0$、すなわち $y\le \frac{x^2}{4}$
2. $s^2+t^2={\left(s+t\right)}^2-2st=x^2-2y\le 6$、すなわち $y\ge \frac{x^2-6}{2}$

逆に、この2つをみたす $\left(x,y\right)$ に対しては $u^2-xu+y=0$ の2解 $s,t$ が実数で、$s+t=x$、$st=y$、$s^2+t^2=x^2-2y\le 6$ となる。よって

である。中身が空でない条件は

すなわち $-2\sqrt{3}\le x\le 2\sqrt{3}$ である。両端 $x=\pm 2\sqrt{3}$ では上下が一致して $y=3$ の1点になる。

$U\left(x\right)=\frac{x^2}{4}$、$L\left(x\right)=\frac{x^2-6}{2}$ とおく。$A$ は $y$ 軸について対称ではないが $x\mapsto -x$ で不変なので、$x\ge 0$ の部分を考えて2倍すればよい。

$x$ を固定すると、$A$ の切り口は線分 $L\left(x\right)\le y\le U\left(x\right)$ である。これを $x$ 軸のまわりに回すと

1. $L\left(x\right)\le 0\le U\left(x\right)$ のとき（$x^2\le 6$）：線分が $x$ 軸をまたぐので円板。半径は $\max \left(U,\left|L\right|\right)$。
2. $0\le L\left(x\right)$ のとき（$x^2\ge 6$）：円環。外半径 $U$、内半径 $L$。

$U\left(x\right)\ge 0$ はつねに正しい。$\left|L\left(x\right)\right|=\frac{6-x^2}{2}$ と $U\left(x\right)=\frac{x^2}{4}$ の大小は

で決まる。まとめると、$0\le x\le 2\sqrt{3}$ では

1. $0\le x\le 2$：円板、半径 $\frac{6-x^2}{2}$
2. $2\le x\le \sqrt{6}$：円板、半径 $\frac{x^2}{4}$
3. $\sqrt{6}\le x\le 2\sqrt{3}$：円環、外半径 $\frac{x^2}{4}$、内半径 $\frac{x^2-6}{2}$

である。したがって

である。1つめは

である。2つめは

である。3つめは、被積分関数を整理すると

なので

である。3つを足すと

なので

である（$\doteqdot 92.009$）。