第1問 微分・積分・極限の解答・解説

微分積分学の基本定理より $\frac{d}{dx}{\int }_x^b{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}dt=-{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ である。また

で、$\frac{d}{dx}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}=-x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ なので、積の微分より

である。よって

である。中括弧の中を ${\left(x^2+1\right)}^2$ で通分すると、分子は

となり、$x$ が消えて定数 $2$ になる。したがって

がすべての実数 $x$ で成り立つ。よって $f$ は（$b$ の値によらず）単調に減少する。$■$

左側。(1) の $f$（この $b$ を使う）で

である。$f$ は減少で $a\le b$ だから $f\left(a\right)\ge f\left(b\right)$、すなわち

である。移項すると左側の不等式になる。

右側。$t>0$ では ${\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}$ は減少するので、$a\le t\le b$ のとき

である。$a\le b$ なので、この不等式を $a$ から $b$ まで積分して

を得る。$■$

$s=\sqrt{n}t$ とおくと $\frac{n{t}^2}{2}=\frac{s^2}{2}$、$dt=\frac{ds}{\sqrt{n}}$ で、$t:1\to 2$ のとき $s:\sqrt{n}\to 2\sqrt{n}$ なので

である。(2) を $a=\sqrt{n}$、$b=2\sqrt{n}$（ともに正で $a\le b$）に使うと

である。$\sqrt{n}$ で割ると

である。

上から。$\left(\ast \right)$ の右より $\log I_n\le -\frac{n}{2}$、よって

である。

下から。$\left(\ast \right)$ の左を $\frac{{\mathrm{e}}^{-n/2}}{n+1}$ でくくると

である（$\frac{2{\mathrm{e}}^{-2n}}{4n+1}=\frac{{\mathrm{e}}^{-n/2}}{n+1}\cdot \frac{2\left(n+1\right){\mathrm{e}}^{-3n/2}}{4n+1}$ による）。括弧の中は $n\to \infty$ で $1$ に収束するので、ある $N$ から先はつねに $\frac{1}{2}$ 以上である。よって $n\ge N$ で

であり、対数をとって $n$ で割ると

である。与えられた $\frac{1}{n}\log \left(n+1\right)\to 0$ と $\frac{\log 2}{n}\to 0$ より、右辺は $-\frac{1}{2}$ に収束する。

はさみうちの原理より

である。

答えが $-\frac{1}{2}$ になるのは、${\mathrm{e}}^{-n{t}^2/2}$ が $1\le t\le 2$ のうち左端 $t=1$ のごく近くにだけ集中するからである。$I_n\doteqdot \frac{{\mathrm{e}}^{-n/2}}{n}$ くらいの大きさで、$\frac{1}{n}\log$ をとると $n$ の多項式ぶんは消え、${\mathrm{e}}^{-n/2}$ の肩だけが残る。