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大阪大学　2019年度　前期日程　理系

第2問複素数平面・確率の解答・解説

複素数列の漸化式・等比数列の和・1 の n 乗根・確率当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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自然数 $a, b$ に対し $w = cos \frac{aπ}{3 + b} + i sin \frac{aπ}{3 + b}$ とおき、 $z_{1} = 1$ 、 $z_{2} = 1 - w$ 、 $z_{n} = (1 - w) z_{n - 1} + w z_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ）で複素数 $z_{n}$ を定める。小問 (1)〜(3) に答える

答 $z_{n} = 1 + (- w) + \dots + (- w)^{n - 1}$

階差 $z_{n} - z_{n - 1}$ が公比 $- w$ の等比数列になる。

漸化式を移項すると

z_{n} - z_{n - 1} = - w (z_{n - 1} - z_{n - 2})

である。よって階差 $d_{n} = z_{n} - z_{n - 1}$ は公比 $- w$ の等比数列で、 $d_{2} = z_{2} - z_{1} = - w$ だから

d_{n} = (- w)^{n - 2} \cdot (- w) = (- w)^{n - 1}

である。 $z_{1} = 1 = (- w)^{0}$ と合わせて

z_{n} = k = 0 \sum n - 1 (- w)^{k} \dots (*)

である。とくに $- w \neq = 1$ のとき

z_{n} = \frac{1 - ( - w ) ^{n}}{1 + w}

であり、 $- w = 1$ （つまり $w = - 1$ ）のときは $z_{n} = n$ である。以下、 $θ = \frac{aπ}{3 + b}$ 、 $v = - w = e^{i (θ + π)}$ とおく。 $∣ v ∣ = 1$ である。

$a = 4, b = 3$ でも $a = 2, b = 1$ でも、漸化式を直接まわした値と $(*)$ の値が一致した。

特性方程式 $x^{2} = (1 - w) x + w$ は $(x - 1) (x + w) = 0$ と因数分解でき、解は $1$ と $- w$ 。階差を使うほうが式の見通しがよい。

(1) $a = 4$ 、 $b = 3$ のとき、複素数平面上の点 $z_{1}, \dots, z_{7}$ をこの順に線分で結んでできる図形を図示する

答1辺の長さ $1$ の正六角形（中心 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ 、 $z_{7} = z_{1} = 1$ で閉じる）

$- w$ が $1$ の原始6乗根になることを見る。

$a = 4$ 、 $b = 3$ のとき $θ = \frac{4 π}{6} = \frac{2 π}{3}$ なので

v = - w = e^{i (\frac{2 π}{3} + π)} = e^{i \frac{5 π}{3}} = e^{- i \frac{π}{3}}

である。 $v^{6} = e^{- 2 π i} = 1$ で、 $v, v^{2}, \dots, v^{5}$ はどれも $1$ でないから、 $v$ は $1$ の原始6乗根である。

$(*)$ より $z_{n} - z_{n - 1} = v^{n - 1}$ なので、点を順に結んだときの各辺のベクトルは

v^{0}, v^{1}, v^{2}, v^{3}, v^{4}, v^{5}

の6つである。どれも絶対値 $1$ 、偏角は $- \frac{π}{3}$ ずつ減っていく。つまり「長さ $1$ 進んでは $6 0^{\circ}$ ずつ右に曲がる」動きを6回くり返す。さらに

z_{7} - z_{1} = v^{0} + v^{1} + \dots + v^{5} = \frac{1 - v ^{6}}{1 - v} = 0

なので $z_{7} = z_{1}$ で閉じる。したがってできる図形は1辺の長さ $1$ の正六角形である。

実際に計算すると

z_{1} z_{4} = 1, = - 3 i, z_{2} z_{5} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i, = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i, z_{3} z_{6} = 1 - 3 i, = 0

で、 $z_{7} = 1 = z_{1}$ である。6点の重心は $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ で、ここから各点までの距離はどれも $1$ である。

z₁ から z₇ をこの順に結んだ図形。1 辺の長さが 1 の正六角形で、z₇ は z₁ に戻る。z₆ はちょうど原点。

辺の長さはすべて $1.000000$ 、 $z_{7} = z_{1}$ 、 $6$ 点はどれも中心から距離 $1.000000$ だった。

$θ = \frac{4 π}{6}$ をそのまま $w$ の偏角と見ると6乗根が見えにくい。 $- 1$ を掛けた $v = - w$ のほうが扱いやすい。

(2) $a = 2$ 、 $b = 1$ のとき $z_{63}$ を求める

答 $- i$

$v = - w = - i$ は $1$ の原始4乗根。 $63 = 4 \cdot 15 + 3$ 。

$a = 2$ 、 $b = 1$ のとき $θ = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ なので $w = i$ 、 $v = - w = - i$ である。 $v^{4} = 1$ で、 $v, v^{2}, v^{3}$ は $1$ でないから $v$ は $1$ の原始4乗根である。

$(*)$ より

z_{63} = k = 0 \sum 62 v^{k}

である。 $v^{0} + v^{1} + v^{2} + v^{3} = 1 - i - 1 + i = 0$ なので、 $4$ つずつまとめると消える。 $63 = 4 \cdot 15 + 3$ だから、残るのは最後の3項で

z_{63} = v^{0} + v^{1} + v^{2} = 1 + (- i) + (- 1) = - i

である。

公式で確かめると、 $v^{63} = v^{60} \cdot v^{3} = 1 \cdot i = i$ なので

z_{63} = \frac{1 - v ^{63}}{1 - v} = \frac{1 - i}{1 + i} = \frac{( 1 - i ) ^{2}}{2} = \frac{- 2 i}{2} = - i

で一致する。

漸化式を $63$ 回まわした値も $- 1.0000000 i$ だった。

$(*)$ の和は $k = 0$ から $n - 1$ まで、つまり $z_{63}$ は $63$ 項。 $62$ 項と数え違えない。

(3)さいころを2回投げ、1回目の目を $a$ 、2回目の目を $b$ とする。 $z_{63} = 0$ である確率を求める

答 $\frac{7}{36}$

$z_{63} = 0 ⟺ v^{63} = 1$ かつ $v \neq = 1$ 。 $v = e^{iπ (\frac{a}{3 + b} + 1)}$ なので、 $\frac{63 a}{3 + b}$ が奇数の整数になる条件に直る。

$m = 3 + b$ とおく。 $b$ は $1$ から $6$ なので $m \in {4, 5, 6, 7, 8, 9}$ 、 $a \in {1, \dots, 6}$ である。

$v = 1$ のときは $z_{63} = 63 \neq = 0$ である。 $v \neq = 1$ のときは

z_{63} = \frac{1 - v ^{63}}{1 - v}

なので

z_{63} = 0 ⟺ v^{63} = 1 かつ v \neq = 1

である。

$v = e^{iπ (\frac{a}{m} + 1)}$ なので $v^{63} = e^{i \cdot 63 π (\frac{a}{m} + 1)}$ であり

v^{63} = 1 ⟺ 63 (\frac{a}{m} + 1) が偶数の整数

である。 $63$ は奇数なので $63 \cdot 1 = 63$ は奇数、したがって

63 (\frac{a}{m} + 1) \in 2 Z ⟺ \frac{63 a}{m} が奇数の整数

である。また $v = 1 ⟺ \frac{a}{m} + 1$ が偶数の整数 $⟺ \frac{a}{m}$ が奇数の整数であり、 $a \leq 6 < m + m$ かつ $m \geq 4$ から $\frac{a}{m} \leq \frac{6}{4} < 2$ なので、これは $\frac{a}{m} = 1$ 、つまり $a = m$ のときだけである。

以上より、求める条件は

\frac{63 a}{m} が奇数の整数 かつ a \neq = m

である。 $63 = 3^{2} \cdot 7$ に注意して $m$ ごとに調べる。

$m = 4$ （ $b = 1$ ）： $\frac{63 a}{4}$ が整数 $⟺ 4 ∣ a$ より $a = 4$ 。このとき $\frac{63 \cdot 4}{4} = 63$ は奇数だが $a = m$ なので不適。
$m = 5$ （ $b = 2$ ）： $5 ∣ a$ より $a = 5$ 。 $\frac{63 \cdot 5}{5} = 63$ は奇数だが $a = m$ なので不適。
$m = 6$ （ $b = 3$ ）： $\frac{63 a}{6} = \frac{21 a}{2}$ が整数 $⟺ a$ が偶数。 $a = 2$ なら $21$ （奇数）で適、 $a = 4$ なら $42$ （偶数）で不適、 $a = 6$ は $63$ だが $a = m$ で不適。よって $a = 2$ のみ。
$m = 7$ （ $b = 4$ ）： $\frac{63 a}{7} = 9 a$ はつねに整数で、奇数 $⟺ a$ が奇数。 $a = 1, 3, 5$ の3通り（ $a = m$ は起こらない）。
$m = 8$ （ $b = 5$ ）： $8 ∣ 63 a ⟺ 8 ∣ a$ だが $a \leq 6$ なのでなし。
$m = 9$ （ $b = 6$ ）： $\frac{63 a}{9} = 7 a$ はつねに整数で、奇数 $⟺ a$ が奇数。 $a = 1, 3, 5$ の3通り。

当てはまる $(a, b)$ は

(2, 3), (1, 4), (3, 4), (5, 4), (1, 6), (3, 6), (5, 6)

の7通りである。全部で $6 \times 6 = 36$ 通りなので、求める確率は

\frac{7}{36}

である。

$m = 4, 5$ では「 $\frac{63 a}{m}$ が奇数の整数」はみたすのに $a = m$ で落ちる、という引っかけになっている。 $v = 1$ のときは等比数列の和の公式が使えず $z_{63} = 63$ なので、必ず別扱いが要る。

$36$ 通りを全部まわして $z_{63} = 0$ になったのは $7$ 通りだった。

$v = 1$ の場合を分けないと、 $(a, b) = (4, 1), (5, 2), (6, 3)$ を数え込んで $\frac{10}{36}$ になってしまう。

$v^{63} = 1$ の条件は「偏角の $63$ 倍が $2 π$ の整数倍」。 $π$ の整数倍で止めると符号 $- 1$ の場合を拾ってしまう。

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問題文について

自然数 a,b に対し w=cos3+baπ​+isin3+baπ​ とおき、z1​=1、z2​=1−w、zn​=(1−w)zn−1​+wzn−2​（n≥3）で複素数 zn​ を定める。小問 (1)〜(3) に答える

(1)a=4、b=3 のとき、複素数平面上の点 z1​,…,z7​ をこの順に線分で結んでできる図形を図示する

(2)a=2、b=1 のとき z63​ を求める

(3)さいころを2回投げ、1回目の目を a、2回目の目を b とする。z63​=0 である確率を求める

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