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電気通信大学　2023年度　前期日程　情報理工学域

第4問数列の解答・解説

等差数列の決定・和の公式・極限・部分分数分解による和当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i)すべての項が正の等差数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} a_{2} = 45$ 、 $a_{2} a_{3} = 105$ をみたすとき、一般項 $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = (2 n + 1) 3$

2式の差をとると $a_{2} (a_{3} - a_{1}) = 2 a_{2} d = 60$ 。

公差を $d$ とする。2式の差をとると

a_{2} a_{3} - a_{1} a_{2} = a_{2} (a_{3} - a_{1}) = 2 a_{2} d = 105 - 45 = 60

なので $a_{2} d = 30$ である。また $a_{1} = a_{2} - d$ だから

a_{1} a_{2} = (a_{2} - d) a_{2} = a_{2}^{2} - a_{2} d = a_{2}^{2} - 30 = 45

となり $a_{2}^{2} = 75$ である。すべての項が正なので $a_{2} = 53$ で、 $d = \frac{30}{5 3} = 23$ 、 $a_{1} = 53 - 23 = 33$ である。したがって

a_{n} = 33 + (n - 1) \cdot 23 = (2 n + 1) 3

である。

この式で $a_{1} a_{2} = 45$ 、 $a_{2} a_{3} = 105$ がどちらも成り立った。

$a_{3} - a_{1} = 2 d$ であって $d$ ではない。ここを間違えると $a_{2}^{2} = 105$ になってしまう。

(ii) $T_{n} = k = 1 \sum n a_{k} a_{k + 1}$ を $n$ で表す

答 $T_{n} = n (4 n^{2} + 18 n + 23)$

$a_{k} a_{k + 1} = 3 (2 k + 1) (2 k + 3) = 3 (4 k^{2} + 8 k + 3)$ を和の公式で足す。

a_{k} a_{k + 1} = 3 (2 k + 1) (2 k + 3) = 3 (4 k^{2} + 8 k + 3)

なので

T_{n} = 3 {4 \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + 8 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + 3 n}

である。整理すると

T_{n} = 2 n (n + 1) (2 n + 1) + 12 n (n + 1) + 9 n = n (4 n^{2} + 18 n + 23)

である。

直接足した値が $n = 1, 2, 3, 5$ でこの式と一致した（ $45, 150, 339, 1065$ ）。

(iii) $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とするとき、極限 $n \to \infty lim \frac{T _{n}}{n S _{n}}$ を求める

答 $\frac{4 3}{3}$

$S_{n} = 3 n (n + 2)$ 。分母分子とも $n^{3}$ の項を見る。

S_{n} = 3 k = 1 \sum n (2 k + 1) = 3 {n (n + 1) + n} = 3 n (n + 2)

である。よって

\frac{T _{n}}{n S _{n}} = \frac{n ( 4 n ^{2} + 18 n + 23 )}{3 n ^{2} ( n + 2 )} = \frac{4 n ^{2} + 18 n + 23}{3 n ( n + 2 )}

で、分母分子を $n^{2}$ で割ると

n \to \infty lim \frac{T _{n}}{n S _{n}} = \frac{4}{3} = \frac{4 3}{3}

である（ $2.309 \dots$ ）。

$n = 2 \times 1 0^{6}$ で $2.3094040$ となり、 $\frac{4 3}{3} = 2.3094011$ に近づいていた。

(iv) $U_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$ を $n$ で表す

答 $U_{n} = \frac{n}{9 ( 2 n + 3 )}$

$\frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3})$ 。

\frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{1}{3 ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{1}{6} (\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3})

である。中間が消えて

U_{n} = \frac{1}{6} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2 n + 3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 n}{3 ( 2 n + 3 )} = \frac{n}{9 ( 2 n + 3 )}

である。

$n = 1, 2, 5, 10$ で直接足した値と一致した（ $\frac{1}{45}$ など）。

(v)極限 $n \to \infty lim U_{n}$ を求める

答 $\frac{1}{18}$

(iv) の式で $n \to \infty$ 。

n \to \infty lim U_{n} = n \to \infty lim \frac{n}{9 ( 2 n + 3 )} = \frac{1}{18}

である（ $0.0555 \dots$ ）。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$ で、これは $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1 + 1}$ 、つまり最初に残る項そのもの。無限級数では「最初に残る項」だけが生き残る。

$n = 10$ で $0.0483092$ 、 $n \to \infty$ で $\frac{1}{18} = 0.0555556$ に近づく。

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問題文について

(i)すべての項が正の等差数列 {an​} が a1​a2​=45、a2​a3​=105 をみたすとき、一般項 an​ を求める

(ii)Tn​=k=1∑n​ak​ak+1​ を n で表す

(iii)Sn​=k=1∑n​ak​ とするとき、極限 n→∞lim​nSn​Tn​​ を求める

(iv)Un​=k=1∑n​ak​ak+1​1​ を n で表す

(v)極限 n→∞lim​Un​ を求める

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(ii) $T_{n} = k = 1 \sum n a_{k} a_{k + 1}$ を $n$ で表す

(iii) $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とするとき、極限 $n \to \infty lim \frac{T _{n}}{n S _{n}}$ を求める

(iv) $U_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$ を $n$ で表す

(v)極限 $n \to \infty lim U_{n}$ を求める