第2問 微分積分の解答・解説

である。分子分母に $x$ を掛けると

なので $g\left(x\right)=x+e-2x\log x$ である。

である。$g^{\prime }=0$ は $\log x=-\frac{1}{2}$、すなわち $x=e^{-\frac{1}{2}}$ で、$x<e^{-\frac{1}{2}}$ では $g^{\prime }>0$、$x>e^{-\frac{1}{2}}$ では $g^{\prime }<0$ である。よってここで極大になり

が極大値である（$3.93\dots$）。極小値はない。

解がただ1つであること。端のようすを見る。

である。$g$ は $\left(0,e^{-\frac{1}{2}}\right]$ で増加するので、この区間では $g\left(x\right)>e>0$ となり解はない。$\left[e^{-\frac{1}{2}},\infty \right)$ では連続かつ狭義単調減少で、値は $e+2e^{-\frac{1}{2}}>0$ から $-\infty$ まで動くので、中間値の定理によりこの区間にただ1つ解をもつ。したがって $x>0$ での解はただ1つである。（証明終わり）

その解は実は $x=e$ である。$g\left(e\right)=e+e-2e\log e=2e-2e=0$ となる。(iii) ではこれを使う。

$x>0$ では $x{\left(x+e\right)}^3>0$ なので、$f^{\prime }$ の符号は $g$ の符号と同じである。

$g\left(e\right)=e+e-2e\log e=0$ であり、(ii) より $g=0$ の解はただ1つなので、その解は $x=e$ である。(ii) の増減から $g$ は $x<e$ で正、$x>e$ で負なので、$f$ は $x=e$ で極大になる。極小値はない。

が極大値である（$0.0338\dots$）。

なので

である。整理すると

である（$0.228\dots$）。

$f\left(x\right)=0$ は $x=1$ だけで、$x>1$ では $f>0$ である。よって囲まれる部分は $1\leqq x\leqq e$ の部分で

である。${\left(-\frac{1}{x+e}\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\left(x+e\right)}^2}$ を使って部分積分すると

である。第1項は $\log 1=0$ なので

で、第2項は (iv) の $I$ そのものである。したがって

である（$0.0442\dots$）。

(iv) は (v) の下ごしらえ。部分積分で $\log x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ が出て、ちょうど $\frac{1}{x\left(x+e\right)}$ の形になる。