独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問5問・無料

電気通信大学　2023年度　前期日程　情報理工学域

第3問媒介変数表示・積分法の解答・解説

媒介変数で表された曲線・不等式の証明・媒介変数のままの接線・媒介変数のままの面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(i) $t ≧ \frac{1}{2}$ で $f (t) = t t$ 、 $g (t) = t (2 t - 1)$ とし、 $C : x = f (t), y = g (t)$ とする。 $C$ と $x$ 軸の共有点の座標を求める

答 $(\frac{2}{4}, 0)$

$y = 0$ は $t (2 t - 1) = 0$ 。 $t ≧ \frac{1}{2}$ より $t = \frac{1}{2}$ 。

$y = 0$ は $t (2 t - 1) = 0$ 、つまり $t = 0$ または $t = \frac{1}{2}$ である。 $t ≧ \frac{1}{2}$ なので $t = \frac{1}{2}$ だけで

x = \frac{1}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

である。よって共有点は $(\frac{2}{4}, 0)$ である。

$t = \frac{1}{2}$ で $(0.3535534, 0)$ となり、 $\frac{2}{4} = 0.3535534$ と一致した。

(ii) $C$ と直線 $y = x$ の共有点の座標を求める

答 $(1, 1)$

$f (t) = g (t)$ を2乗すると $t (t - 1)^{2} = 0$ 。

どちらも $0$ 以上なので、2乗して

t^{3} = 2 t^{2} - t, t^{3} - 2 t^{2} + t = 0, t (t - 1)^{2} = 0

である。 $t ≧ \frac{1}{2}$ より $t = 1$ で、このとき $x = 1$ 、 $y = 1 \cdot 1 = 1$ である。よって共有点は $(1, 1)$ である。

$t = 1$ で $(1, 1)$ になった。

(iii) $C$ が不等式 $y ≦ x$ の表す領域に含まれることを示す

答 $f (t)^{2} - g (t)^{2} = t (t - 1)^{2} ≧ 0$ から

どちらも $0$ 以上なので、2乗の差を見ればよい。

$t ≧ \frac{1}{2}$ では $f (t) > 0$ 、 $g (t) ≧ 0$ である。2乗の差をとると

f (t)^{2} - g (t)^{2} = t^{3} - (2 t^{2} - t) = t (t - 1)^{2}

である。 $t ≧ \frac{1}{2} > 0$ かつ $(t - 1)^{2} ≧ 0$ なので、これは $0$ 以上である。両方とも $0$ 以上だから

g (t) ≦ f (t), つまり y ≦ x

である。よって $C$ は領域 $y ≦ x$ に含まれる。（証明終わり）

等号は $t = 1$ 、つまり (ii) の共有点 $(1, 1)$ のときだけ。ここで $C$ は直線 $y = x$ に接している。

$t$ を $\frac{1}{2}$ から $10.5$ まで $100$ 万点刻みで走査すると $g - f$ の最大は $0$ だった。

(iv) $C$ 上の点 $(55, 35)$ における接線の方程式を求める

答 $y = \frac{19}{45} x + \frac{8 5}{9}$

$x = 55 = 5^{\frac{3}{2}}$ から $t = 5$ 。 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ 。

$x = t^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ より $t = 5$ で、このとき $y = 5 \cdot 9 = 35$ となり確かに与えられた点である。

\frac{d x}{d t} = \frac{3}{2} t, \frac{d y}{d t} = \frac{4 t - 1}{2 2 t ^{2} - t}

なので、 $t = 5$ では

\frac{d x}{d t} = \frac{3 5}{2}, \frac{d y}{d t} = \frac{19}{2 \cdot 3 5} = \frac{19}{6 5}

である。よって

\frac{d y}{d x} = \frac{19}{6 5} \cdot \frac{2}{3 5} = \frac{38}{90} = \frac{19}{45}

である。接線は

y - 35 = \frac{19}{45} (x - 55)

で、整理すると

y = \frac{19}{45} x + 35 - \frac{19 5}{9} = \frac{19}{45} x + \frac{27 5 - 19 5}{9} = \frac{19}{45} x + \frac{8 5}{9}

である。

数値で傾き $0.4222222 = \frac{19}{45}$ 、切片 $1.9876160 = \frac{8 5}{9}$ になった。

(v) $C$ 、直線 $y = x$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{1}{10}$

$y$ で積分する。 $\int_{0}^{1} x d y$ を $t$ の積分に直すと、がきれいに消える。

(i)(ii)(iii) より、 $t$ が $\frac{1}{2}$ から $1$ まで動くと $C$ は $(\frac{2}{4}, 0)$ から $(1, 1)$ へ動き、ずっと直線 $y = x$ の右下にある。したがって囲まれる部分は

{(x, y) ∣ 0 ≦ y ≦ 1, y ≦ x ≦ X (y)}

（ $X (y)$ は $C$ の $x$ 座標）である。よって

S = \int_{0}^{1} X (y) d y - \int_{0}^{1} y d y = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (t) \frac{d y}{d t} d t - \frac{1}{2}

である。被積分関数は

t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{4 t - 1}{2 t 2 t - 1} = \frac{t ( 4 t - 1 )}{2 2 t - 1}

と簡単になる。 $u = 2 t - 1$ （ $t = \frac{u + 1}{2}$ 、 $d t = \frac{d u}{2}$ ）とおくと $4 t - 1 = 2 u + 1$ で

\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{t ( 4 t - 1 )}{2 2 t - 1} d t = \int_{0}^{1} \frac{( u + 1 ) ( 2 u + 1 )}{8 u} d u = \frac{1}{8} \int_{0}^{1} (2 u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}}) d u

である。計算すると

= \frac{1}{8} (\frac{4}{5} + 2 + 2) = \frac{1}{8} \cdot \frac{24}{5} = \frac{3}{5}

なので

S = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

である。

曲線 C（太線）と直線 y = x。C は t = 1/2 で x 軸に達し、t = 1 で直線に接する。塗った部分が (v) の S。点線は (iv) の接点がある t = 5 のあたりまでの C の続き。

曲線を細かい折れ線にして面積を求めると $0.100000000$ で、 $\frac{1}{10}$ と一致した。

$x$ で積分しようとすると、 $C$ の下側と直線で挟まれた部分の上下関係が分かりにくい。 $y$ で積分するほうが素直。

2023年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる電通大数学 2027

電通大数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・138ページ・2026年8月16日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(i)t≧21​ で f(t)=tt​、g(t)=t(2t−1)​ とし、C:x=f(t), y=g(t) とする。C と x 軸の共有点の座標を求める

(ii)C と直線 y=x の共有点の座標を求める

(iii)C が不等式 y≦x の表す領域に含まれることを示す

(iv)C 上の点 (55​, 35​) における接線の方程式を求める

(v)C、直線 y=x および x 軸で囲まれた部分の面積 S を求める