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電気通信大学　2023年度　前期日程　情報理工学域

電通大 2023年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　三角関数・積分

2倍角の公式・絶対値による場合分け・3次関数の最大最小・絶対値のついた定積分当サイトの体感難易度：やや難

(i) $sin x sin 2 x$ を $cos x$ の式で表す

答 $sin x sin 2 x = 2 cos x - 2 cos^{3} x$

$sin 2 x = 2 sin x cos x$ を使うと $sin^{2} x$ が出るので、 $1 - cos^{2} x$ に直す。

sin x sin 2 x = sin x \cdot 2 sin x cos x = 2 sin^{2} x cos x

である。 $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ を入れると

sin x sin 2 x = 2 (1 - cos^{2} x) cos x = 2 cos x - 2 cos^{3} x

である。

これで $f (x) = 2 cos x - 2 cos^{3} x - ∣ cos x ∣ cos^{2} x$ となり、 $c = cos x$ だけの式になる。 $0 ≦ x ≦ π$ では $x \mapsto cos x$ が $[- 1, 1]$ への1対1の対応なので、以下は $c$ の問題として考えればよい。

$0 ≦ x ≦ π$ を $1001$ 点に分けて、両辺の差が $1 0^{- 15}$ 以下であることを確かめた。

(ii) $0 ≦ x ≦ π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ の個数 $N$ を求める

答 $N = 2$

$c = cos x$ とおき、 $c ≧ 0$ と $c < 0$ で $∣ c ∣$ を外して解く。

$c = cos x$ とおく。 $0 ≦ x ≦ π$ のとき $c$ は $1$ から $- 1$ まで1対1に動く。(i) より

f = 2 c - 2 c^{3} - ∣ c ∣ c^{2}

である。

$c ≧ 0$ のとき（ $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ ）

f = 2 c - 3 c^{3} = c (2 - 3 c^{2})

なので $c = 0$ または $c^{2} = \frac{2}{3}$ 、つまり $c = 0, \frac{6}{3}$ である。どちらも $[0, 1]$ に入る。

$c < 0$ のとき（ $\frac{π}{2} < x ≦ π$ ）

f = 2 c - 2 c^{3} + c^{3} = 2 c - c^{3} = c (2 - c^{2})

で、 $c < 0$ なら $c \neq = 0$ 、 $c^{2} ≦ 1 < 2$ なので $2 - c^{2} > 0$ である。よって $f < 0$ となり解はない。

したがって $c = 0$ （ $x = \frac{π}{2}$ ）と $c = \frac{6}{3}$ （ $x = arccos \frac{6}{3}$ ）の2つで、

N = 2

である。

$200$ 万点の全探索でも零点は $2$ 個だった。

$∣ cos x ∣$ があるので $x = \frac{π}{2}$ の前後で式が変わる。 $c = 0$ を二重に数えない。

(iii) $0 ≦ x ≦ π$ における $f (x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める

答 $M = \frac{4 2}{9}$ 、 $m = - \frac{4 6}{9}$

$c$ の3次関数として、 $[0, 1]$ と $[- 1, 0]$ で別々に調べる。

$0 ≦ c ≦ 1$ ： $h (c) = 2 c - 3 c^{3}$ とおくと

h^{'} (c) = 2 - 9 c^{2} = 0 ⟺ c = \frac{2}{3}

で、ここで最大になる。値は

h (\frac{2}{3}) = \frac{2 2}{3} - 3 \cdot \frac{2 2}{27} = \frac{6 2 - 2 2}{9} = \frac{4 2}{9}

である。端では $h (0) = 0$ 、 $h (1) = - 1$ である。

$- 1 ≦ c < 0$ ： $k (c) = 2 c - c^{3}$ とおくと

k^{'} (c) = 2 - 3 c^{2} = 0 ⟺ c = - \frac{6}{3}

（負のほう）で、 $c < - \frac{6}{3}$ では $k^{'} < 0$ 、 $- \frac{6}{3} < c < 0$ では $k^{'} > 0$ なのでここで最小になる。値は

k (- \frac{6}{3}) = - \frac{2 6}{3} + \frac{2 6}{9} = - \frac{4 6}{9}

である。端では $k (- 1) = - 1$ である。

$\frac{4 6}{9} = 1.088 \dots > 1$ なので、全体の最小は $- \frac{4 6}{9}$ 、最大は $\frac{4 2}{9}$ である。すなわち

M = \frac{4 2}{9}, m = - \frac{4 6}{9}

である。

y = f(x) のグラフ（0 ≦ x ≦ π）。x = π/2 の前後で式が変わる。零点は x = arccos(√6/3) ≒ 0.615 と x = π/2 の2つ。塗った部分の面積の合計が (v) の J。

$200$ 万点の全探索で最大 $0.6285394$ 、最小 $- 1.0886621$ となり、式の値と一致した。

(iv)不定積分 $I = \int cos^{3} x d x$ を求める

答 $I = sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}$ （積分定数は省略）

$cos^{3} x = (1 - sin^{2} x) cos x$ として $u = sin x$ と置換する。

I = \int (1 - sin^{2} x) cos x d x

で、 $u = sin x$ とおくと $d u = cos x d x$ だから

I = \int (1 - u^{2}) d u = u - \frac{u ^{3}}{3} = sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}

である。

数値微分すると $cos^{3} x$ と一致した。

(v)定積分 $J = \int_{0}^{π} ∣ f (x) ∣ d x$ を求める

答 $J = \frac{12 + 4 3}{9}$

(ii) の零点で3つに分け、それぞれの符号で絶対値を外す。原始関数は (iv) から作る。

$p = arccos \frac{6}{3}$ とおく。(ii)(iii) の符号から

$0 ≦ x < p$ ： $c > \frac{6}{3}$ なので $2 - 3 c^{2} < 0$ 、よって $f < 0$
$p < x < \frac{π}{2}$ ： $0 < c < \frac{6}{3}$ なので $f > 0$
$\frac{π}{2} < x ≦ π$ ： $c < 0$ なので $f < 0$

である。原始関数は (iv) を使って作る。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $f = 2 cos x - 3 cos^{3} x$ なので

F_{1} (x) = 2 sin x - 3 (sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}) = sin^{3} x - sin x

であり、 $\frac{π}{2} ≦ x ≦ π$ では $f = 2 cos x - cos^{3} x$ なので

F_{2} (x) = 2 sin x - (sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}) = sin x + \frac{sin ^{3} x}{3}

である。 $cos p = \frac{6}{3}$ より $sin p = \frac{3}{3}$ 、 $sin^{3} p = \frac{3}{9}$ なので

F_{1} (p) = \frac{3}{9} - \frac{3}{3} = - \frac{2 3}{9}, F_{1} (0) = 0, F_{1} (\frac{π}{2}) = 0

F_{2} (\frac{π}{2}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}, F_{2} (π) = 0

である。したがって

J = - {F_{1} (p) - F_{1} (0)} + {F_{1} (\frac{π}{2}) - F_{1} (p)} - {F_{2} (π) - F_{2} (\frac{π}{2})}

= \frac{2 3}{9} + \frac{2 3}{9} + \frac{4}{3} = \frac{4 3}{9} + \frac{12}{9} = \frac{12 + 4 3}{9}

である（ $2.103 \dots$ ）。

$F_{1} (0) = F_{1} (\frac{π}{2}) = 0$ なので、前の2つの部分の面積はどちらも $\frac{2 3}{9}$ で等しい。

数値積分すると $2.103133692$ で、 $\frac{12 + 4 3}{9} = 2.103133692$ と一致した。

絶対値を外すときは $x = \frac{π}{2}$ でも式が変わる。零点だけでなく、場合分けの境い目でも切る。

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第2問　微分積分

商の微分・解がただ1つであることの証明・部分分数分解・部分積分当サイトの体感難易度：やや難

(i) $f (x) = \frac{lo g x}{( x + e ) ^{2}}$ （ $x > 0$ ）の導関数を $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ( x + e ) ^{3}}$ と表すとき、 $g (x)$ を求める

答 $g (x) = x + e - 2 x lo g x$

商の微分をして、分母を $x (x + e)^{3}$ にそろえる。

f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} ( x + e ) ^{2} - lo g x \cdot 2 ( x + e )}{( x + e ) ^{4}} = \frac{\frac{x + e}{x} - 2 lo g x}{( x + e ) ^{3}}

である。分子分母に $x$ を掛けると

f^{'} (x) = \frac{x + e - 2 x lo g x}{x ( x + e ) ^{3}}

なので $g (x) = x + e - 2 x lo g x$ である。

$x = 0.5, 1.5, 3$ で、この式と数値微分が $1 0^{- 10}$ まで一致した。

(ii) $g (x)$ の極値を求め、 $x > 0$ で $g (x) = 0$ がただ1つの実数解をもつことを示す

答 $x = e^{- \frac{1}{2}}$ で極大値 $e + 2 e^{- \frac{1}{2}}$ （極小値はない）。 $g$ は増加してから減少し、 $x \to + 0$ で $e > 0$ 、 $x \to \infty$ で $- \infty$ なので解はただ1つ

$g^{'} = - 1 - 2 lo g x$ 。 $x \to + 0$ では $x lo g x \to 0$ を使う。

g^{'} (x) = 1 - 2 (lo g x + 1) = - 1 - 2 lo g x

である。 $g^{'} = 0$ は $lo g x = - \frac{1}{2}$ 、すなわち $x = e^{- \frac{1}{2}}$ で、 $x < e^{- \frac{1}{2}}$ では $g^{'} > 0$ 、 $x > e^{- \frac{1}{2}}$ では $g^{'} < 0$ である。よってここで極大になり

g (e^{- \frac{1}{2}}) = e^{- \frac{1}{2}} + e - 2 e^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2}) = e + 2 e^{- \frac{1}{2}}

が極大値である（ $3.93 \dots$ ）。極小値はない。

解がただ1つであること。端のようすを見る。

x \to + 0 lim g (x) = 0 + e - 2 x \to + 0 lim x lo g x = e > 0

x \to \infty lim g (x) = x \to \infty lim {x (1 - 2 lo g x) + e} = - \infty

である。 $g$ は $(0, e^{- \frac{1}{2}}]$ で増加するので、この区間では $g (x) > e > 0$ となり解はない。 $[e^{- \frac{1}{2}}, \infty)$ では連続かつ狭義単調減少で、値は $e + 2 e^{- \frac{1}{2}} > 0$ から $- \infty$ まで動くので、中間値の定理によりこの区間にただ1つ解をもつ。したがって $x > 0$ での解はただ1つである。（証明終わり）

その解は実は $x = e$ である。 $g (e) = e + e - 2 e lo g e = 2 e - 2 e = 0$ となる。(iii) ではこれを使う。

極大値は $3.931343148$ で $e + 2 e^{- \frac{1}{2}} = 3.931343148$ 、また $g (e) = 0$ がちょうど成り立った。

(iii) $f (x)$ の極値を求める

答 $x = e$ で極大値 $\frac{1}{4 e ^{2}}$ （極小値はない）

$f^{'}$ の符号は $g$ の符号。(ii) の解が $x = e$ だと気づけばよい。

$x > 0$ では $x (x + e)^{3} > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $g$ の符号と同じである。

$g (e) = e + e - 2 e lo g e = 0$ であり、(ii) より $g = 0$ の解はただ1つなので、その解は $x = e$ である。(ii) の増減から $g$ は $x < e$ で正、 $x > e$ で負なので、 $f$ は $x = e$ で極大になる。極小値はない。

f (e) = \frac{lo g e}{( e + e ) ^{2}} = \frac{1}{4 e ^{2}}

が極大値である（ $0.0338 \dots$ ）。

y = f(x) のグラフ（x > 0）。x = 1 で x 軸と交わり、x = e で極大 1/(4e²)。塗った部分が (v) の S で、右端は直線 x = e。

$f (e) = 0.0338338208$ で、 $\frac{1}{4 e ^{2}} = 0.0338338208$ と一致した。

(iv)定積分 $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x ( x + e )} d x$ を求める

答 $I = \frac{1}{e} lo g \frac{1 + e}{2}$

$\frac{1}{x ( x + e )} = \frac{1}{e} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + e})$ と分ける。

\frac{1}{x ( x + e )} = \frac{1}{e} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + e})

なので

I = \frac{1}{e} [lo g \frac{x}{x + e}]_{1}^{e} = \frac{1}{e} (lo g \frac{e}{2 e} - lo g \frac{1}{1 + e})

である。整理すると

I = \frac{1}{e} (lo g \frac{1}{2} + lo g (1 + e)) = \frac{1}{e} lo g \frac{1 + e}{2}

である（ $0.228 \dots$ ）。

数値積分すると $0.228127378$ で、式の値 $0.228127378$ と一致した。

(v)曲線 $y = f (x)$ 、 $x$ 軸および直線 $x = e$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{1}{e} lo g \frac{1 + e}{2} - \frac{1}{2 e}$

$1 ≦ x ≦ e$ で $f ≧ 0$ 。部分積分すると (iv) がそのまま出てくる。

$f (x) = 0$ は $x = 1$ だけで、 $x > 1$ では $f > 0$ である。よって囲まれる部分は $1 ≦ x ≦ e$ の部分で

S = \int_{1}^{e} \frac{lo g x}{( x + e ) ^{2}} d x

である。 $(- \frac{1}{x + e})^{'} = \frac{1}{( x + e ) ^{2}}$ を使って部分積分すると

S = [- \frac{lo g x}{x + e}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x ( x + e )} d x

である。第1項は $lo g 1 = 0$ なので

[- \frac{lo g x}{x + e}]_{1}^{e} = - \frac{1}{2 e} - 0 = - \frac{1}{2 e}

で、第2項は (iv) の $I$ そのものである。したがって

S = \frac{1}{e} lo g \frac{1 + e}{2} - \frac{1}{2 e}

である（ $0.0442 \dots$ ）。

(iv) は (v) の下ごしらえ。部分積分で $lo g x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ が出て、ちょうど $\frac{1}{x ( x + e )}$ の形になる。

数値積分すると $0.044187658$ で、式の値 $0.044187658$ と一致した。

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第3問　媒介変数表示・積分法

媒介変数で表された曲線・不等式の証明・媒介変数のままの接線・媒介変数のままの面積当サイトの体感難易度：やや難

(i) $t ≧ \frac{1}{2}$ で $f (t) = t t$ 、 $g (t) = t (2 t - 1)$ とし、 $C : x = f (t), y = g (t)$ とする。 $C$ と $x$ 軸の共有点の座標を求める

答 $(\frac{2}{4}, 0)$

$y = 0$ は $t (2 t - 1) = 0$ 。 $t ≧ \frac{1}{2}$ より $t = \frac{1}{2}$ 。

$y = 0$ は $t (2 t - 1) = 0$ 、つまり $t = 0$ または $t = \frac{1}{2}$ である。 $t ≧ \frac{1}{2}$ なので $t = \frac{1}{2}$ だけで

x = \frac{1}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

である。よって共有点は $(\frac{2}{4}, 0)$ である。

$t = \frac{1}{2}$ で $(0.3535534, 0)$ となり、 $\frac{2}{4} = 0.3535534$ と一致した。

(ii) $C$ と直線 $y = x$ の共有点の座標を求める

答 $(1, 1)$

$f (t) = g (t)$ を2乗すると $t (t - 1)^{2} = 0$ 。

どちらも $0$ 以上なので、2乗して

t^{3} = 2 t^{2} - t, t^{3} - 2 t^{2} + t = 0, t (t - 1)^{2} = 0

である。 $t ≧ \frac{1}{2}$ より $t = 1$ で、このとき $x = 1$ 、 $y = 1 \cdot 1 = 1$ である。よって共有点は $(1, 1)$ である。

$t = 1$ で $(1, 1)$ になった。

(iii) $C$ が不等式 $y ≦ x$ の表す領域に含まれることを示す

答 $f (t)^{2} - g (t)^{2} = t (t - 1)^{2} ≧ 0$ から

どちらも $0$ 以上なので、2乗の差を見ればよい。

$t ≧ \frac{1}{2}$ では $f (t) > 0$ 、 $g (t) ≧ 0$ である。2乗の差をとると

f (t)^{2} - g (t)^{2} = t^{3} - (2 t^{2} - t) = t (t - 1)^{2}

である。 $t ≧ \frac{1}{2} > 0$ かつ $(t - 1)^{2} ≧ 0$ なので、これは $0$ 以上である。両方とも $0$ 以上だから

g (t) ≦ f (t), つまり y ≦ x

である。よって $C$ は領域 $y ≦ x$ に含まれる。（証明終わり）

等号は $t = 1$ 、つまり (ii) の共有点 $(1, 1)$ のときだけ。ここで $C$ は直線 $y = x$ に接している。

$t$ を $\frac{1}{2}$ から $10.5$ まで $100$ 万点刻みで走査すると $g - f$ の最大は $0$ だった。

(iv) $C$ 上の点 $(55, 35)$ における接線の方程式を求める

答 $y = \frac{19}{45} x + \frac{8 5}{9}$

$x = 55 = 5^{\frac{3}{2}}$ から $t = 5$ 。 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ 。

$x = t^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$ より $t = 5$ で、このとき $y = 5 \cdot 9 = 35$ となり確かに与えられた点である。

\frac{d x}{d t} = \frac{3}{2} t, \frac{d y}{d t} = \frac{4 t - 1}{2 2 t ^{2} - t}

なので、 $t = 5$ では

\frac{d x}{d t} = \frac{3 5}{2}, \frac{d y}{d t} = \frac{19}{2 \cdot 3 5} = \frac{19}{6 5}

である。よって

\frac{d y}{d x} = \frac{19}{6 5} \cdot \frac{2}{3 5} = \frac{38}{90} = \frac{19}{45}

である。接線は

y - 35 = \frac{19}{45} (x - 55)

で、整理すると

y = \frac{19}{45} x + 35 - \frac{19 5}{9} = \frac{19}{45} x + \frac{27 5 - 19 5}{9} = \frac{19}{45} x + \frac{8 5}{9}

である。

数値で傾き $0.4222222 = \frac{19}{45}$ 、切片 $1.9876160 = \frac{8 5}{9}$ になった。

(v) $C$ 、直線 $y = x$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{1}{10}$

$y$ で積分する。 $\int_{0}^{1} x d y$ を $t$ の積分に直すと、がきれいに消える。

(i)(ii)(iii) より、 $t$ が $\frac{1}{2}$ から $1$ まで動くと $C$ は $(\frac{2}{4}, 0)$ から $(1, 1)$ へ動き、ずっと直線 $y = x$ の右下にある。したがって囲まれる部分は

{(x, y) ∣ 0 ≦ y ≦ 1, y ≦ x ≦ X (y)}

（ $X (y)$ は $C$ の $x$ 座標）である。よって

S = \int_{0}^{1} X (y) d y - \int_{0}^{1} y d y = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (t) \frac{d y}{d t} d t - \frac{1}{2}

である。被積分関数は

t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{4 t - 1}{2 t 2 t - 1} = \frac{t ( 4 t - 1 )}{2 2 t - 1}

と簡単になる。 $u = 2 t - 1$ （ $t = \frac{u + 1}{2}$ 、 $d t = \frac{d u}{2}$ ）とおくと $4 t - 1 = 2 u + 1$ で

\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{t ( 4 t - 1 )}{2 2 t - 1} d t = \int_{0}^{1} \frac{( u + 1 ) ( 2 u + 1 )}{8 u} d u = \frac{1}{8} \int_{0}^{1} (2 u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}}) d u

である。計算すると

= \frac{1}{8} (\frac{4}{5} + 2 + 2) = \frac{1}{8} \cdot \frac{24}{5} = \frac{3}{5}

なので

S = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

である。

曲線 C（太線）と直線 y = x。C は t = 1/2 で x 軸に達し、t = 1 で直線に接する。塗った部分が (v) の S。点線は (iv) の接点がある t = 5 のあたりまでの C の続き。

曲線を細かい折れ線にして面積を求めると $0.100000000$ で、 $\frac{1}{10}$ と一致した。

$x$ で積分しようとすると、 $C$ の下側と直線で挟まれた部分の上下関係が分かりにくい。 $y$ で積分するほうが素直。

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第4問　数列

等差数列の決定・和の公式・極限・部分分数分解による和当サイトの体感難易度：標準

(i)すべての項が正の等差数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} a_{2} = 45$ 、 $a_{2} a_{3} = 105$ をみたすとき、一般項 $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = (2 n + 1) 3$

2式の差をとると $a_{2} (a_{3} - a_{1}) = 2 a_{2} d = 60$ 。

公差を $d$ とする。2式の差をとると

a_{2} a_{3} - a_{1} a_{2} = a_{2} (a_{3} - a_{1}) = 2 a_{2} d = 105 - 45 = 60

なので $a_{2} d = 30$ である。また $a_{1} = a_{2} - d$ だから

a_{1} a_{2} = (a_{2} - d) a_{2} = a_{2}^{2} - a_{2} d = a_{2}^{2} - 30 = 45

となり $a_{2}^{2} = 75$ である。すべての項が正なので $a_{2} = 53$ で、 $d = \frac{30}{5 3} = 23$ 、 $a_{1} = 53 - 23 = 33$ である。したがって

a_{n} = 33 + (n - 1) \cdot 23 = (2 n + 1) 3

である。

この式で $a_{1} a_{2} = 45$ 、 $a_{2} a_{3} = 105$ がどちらも成り立った。

$a_{3} - a_{1} = 2 d$ であって $d$ ではない。ここを間違えると $a_{2}^{2} = 105$ になってしまう。

(ii) $T_{n} = k = 1 \sum n a_{k} a_{k + 1}$ を $n$ で表す

答 $T_{n} = n (4 n^{2} + 18 n + 23)$

$a_{k} a_{k + 1} = 3 (2 k + 1) (2 k + 3) = 3 (4 k^{2} + 8 k + 3)$ を和の公式で足す。

a_{k} a_{k + 1} = 3 (2 k + 1) (2 k + 3) = 3 (4 k^{2} + 8 k + 3)

なので

T_{n} = 3 {4 \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + 8 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + 3 n}

である。整理すると

T_{n} = 2 n (n + 1) (2 n + 1) + 12 n (n + 1) + 9 n = n (4 n^{2} + 18 n + 23)

である。

直接足した値が $n = 1, 2, 3, 5$ でこの式と一致した（ $45, 150, 339, 1065$ ）。

(iii) $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とするとき、極限 $n \to \infty lim \frac{T _{n}}{n S _{n}}$ を求める

答 $\frac{4 3}{3}$

$S_{n} = 3 n (n + 2)$ 。分母分子とも $n^{3}$ の項を見る。

S_{n} = 3 k = 1 \sum n (2 k + 1) = 3 {n (n + 1) + n} = 3 n (n + 2)

である。よって

\frac{T _{n}}{n S _{n}} = \frac{n ( 4 n ^{2} + 18 n + 23 )}{3 n ^{2} ( n + 2 )} = \frac{4 n ^{2} + 18 n + 23}{3 n ( n + 2 )}

で、分母分子を $n^{2}$ で割ると

n \to \infty lim \frac{T _{n}}{n S _{n}} = \frac{4}{3} = \frac{4 3}{3}

である（ $2.309 \dots$ ）。

$n = 2 \times 1 0^{6}$ で $2.3094040$ となり、 $\frac{4 3}{3} = 2.3094011$ に近づいていた。

(iv) $U_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$ を $n$ で表す

答 $U_{n} = \frac{n}{9 ( 2 n + 3 )}$

$\frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3})$ 。

\frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{1}{3 ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{1}{6} (\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3})

である。中間が消えて

U_{n} = \frac{1}{6} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2 n + 3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 n}{3 ( 2 n + 3 )} = \frac{n}{9 ( 2 n + 3 )}

である。

$n = 1, 2, 5, 10$ で直接足した値と一致した（ $\frac{1}{45}$ など）。

(v)極限 $n \to \infty lim U_{n}$ を求める

答 $\frac{1}{18}$

(iv) の式で $n \to \infty$ 。

n \to \infty lim U_{n} = n \to \infty lim \frac{n}{9 ( 2 n + 3 )} = \frac{1}{18}

である（ $0.0555 \dots$ ）。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$ で、これは $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1 + 1}$ 、つまり最初に残る項そのもの。無限級数では「最初に残る項」だけが生き残る。

$n = 10$ で $0.0483092$ 、 $n \to \infty$ で $\frac{1}{18} = 0.0555556$ に近づく。

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問題文について

(i)sinxsin2x を cosx の式で表す

(ii)0≦x≦π で f(x)=0 をみたす x の個数 N を求める

(iii)0≦x≦π における f(x) の最大値 M と最小値 m を求める

(iv)不定積分 I=∫cos3xdx を求める

(v)定積分 J=∫0π​∣f(x)∣dx を求める

(i)f(x)=(x+e)2logx​（x>0）の導関数を f′(x)=x(x+e)3g(x)​ と表すとき、g(x) を求める

(ii)g(x) の極値を求め、x>0 で g(x)=0 がただ1つの実数解をもつことを示す

(iii)f(x) の極値を求める

(iv)定積分 I=∫1e​x(x+e)1​dx を求める

(v)曲線 y=f(x)、x 軸および直線 x=e で囲まれた部分の面積 S を求める

(i)t≧21​ で f(t)=tt​、g(t)=t(2t−1)​ とし、C:x=f(t), y=g(t) とする。C と x 軸の共有点の座標を求める

(ii)C と直線 y=x の共有点の座標を求める

(iii)C が不等式 y≦x の表す領域に含まれることを示す

(iv)C 上の点 (55​, 35​) における接線の方程式を求める

(v)C、直線 y=x および x 軸で囲まれた部分の面積 S を求める

(i)すべての項が正の等差数列 {an​} が a1​a2​=45、a2​a3​=105 をみたすとき、一般項 an​ を求める

(ii)Tn​=k=1∑n​ak​ak+1​ を n で表す

(iii)Sn​=k=1∑n​ak​ とするとき、極限 n→∞lim​nSn​Tn​​ を求める

(iv)Un​=k=1∑n​ak​ak+1​1​ を n で表す

(v)極限 n→∞lim​Un​ を求める

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(i) $sin x sin 2 x$ を $cos x$ の式で表す

(ii) $0 ≦ x ≦ π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ の個数 $N$ を求める

(iii) $0 ≦ x ≦ π$ における $f (x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める

(iv)不定積分 $I = \int cos^{3} x d x$ を求める

(v)定積分 $J = \int_{0}^{π} ∣ f (x) ∣ d x$ を求める

(i) $f (x) = \frac{lo g x}{( x + e ) ^{2}}$ （ $x > 0$ ）の導関数を $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ( x + e ) ^{3}}$ と表すとき、 $g (x)$ を求める

(ii) $g (x)$ の極値を求め、 $x > 0$ で $g (x) = 0$ がただ1つの実数解をもつことを示す

(iii) $f (x)$ の極値を求める

(iv)定積分 $I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x ( x + e )} d x$ を求める

(v)曲線 $y = f (x)$ 、 $x$ 軸および直線 $x = e$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

(i) $t ≧ \frac{1}{2}$ で $f (t) = t t$ 、 $g (t) = t (2 t - 1)$ とし、 $C : x = f (t), y = g (t)$ とする。 $C$ と $x$ 軸の共有点の座標を求める

(ii) $C$ と直線 $y = x$ の共有点の座標を求める

(iii) $C$ が不等式 $y ≦ x$ の表す領域に含まれることを示す

(iv) $C$ 上の点 $(55, 35)$ における接線の方程式を求める

(v) $C$ 、直線 $y = x$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

(i)すべての項が正の等差数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} a_{2} = 45$ 、 $a_{2} a_{3} = 105$ をみたすとき、一般項 $a_{n}$ を求める

(ii) $T_{n} = k = 1 \sum n a_{k} a_{k + 1}$ を $n$ で表す

(iii) $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とするとき、極限 $n \to \infty lim \frac{T _{n}}{n S _{n}}$ を求める

(iv) $U_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$ を $n$ で表す

(v)極限 $n \to \infty lim U_{n}$ を求める