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電気通信大学　2023年度　前期日程　情報理工学域

第1問三角関数・積分の解答・解説

2倍角の公式・絶対値による場合分け・3次関数の最大最小・絶対値のついた定積分当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(i) $sin x sin 2 x$ を $cos x$ の式で表す

答 $sin x sin 2 x = 2 cos x - 2 cos^{3} x$

$sin 2 x = 2 sin x cos x$ を使うと $sin^{2} x$ が出るので、 $1 - cos^{2} x$ に直す。

sin x sin 2 x = sin x \cdot 2 sin x cos x = 2 sin^{2} x cos x

である。 $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ を入れると

sin x sin 2 x = 2 (1 - cos^{2} x) cos x = 2 cos x - 2 cos^{3} x

である。

これで $f (x) = 2 cos x - 2 cos^{3} x - ∣ cos x ∣ cos^{2} x$ となり、 $c = cos x$ だけの式になる。 $0 ≦ x ≦ π$ では $x \mapsto cos x$ が $[- 1, 1]$ への1対1の対応なので、以下は $c$ の問題として考えればよい。

$0 ≦ x ≦ π$ を $1001$ 点に分けて、両辺の差が $1 0^{- 15}$ 以下であることを確かめた。

(ii) $0 ≦ x ≦ π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ の個数 $N$ を求める

答 $N = 2$

$c = cos x$ とおき、 $c ≧ 0$ と $c < 0$ で $∣ c ∣$ を外して解く。

$c = cos x$ とおく。 $0 ≦ x ≦ π$ のとき $c$ は $1$ から $- 1$ まで1対1に動く。(i) より

f = 2 c - 2 c^{3} - ∣ c ∣ c^{2}

である。

$c ≧ 0$ のとき（ $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ ）

f = 2 c - 3 c^{3} = c (2 - 3 c^{2})

なので $c = 0$ または $c^{2} = \frac{2}{3}$ 、つまり $c = 0, \frac{6}{3}$ である。どちらも $[0, 1]$ に入る。

$c < 0$ のとき（ $\frac{π}{2} < x ≦ π$ ）

f = 2 c - 2 c^{3} + c^{3} = 2 c - c^{3} = c (2 - c^{2})

で、 $c < 0$ なら $c \neq = 0$ 、 $c^{2} ≦ 1 < 2$ なので $2 - c^{2} > 0$ である。よって $f < 0$ となり解はない。

したがって $c = 0$ （ $x = \frac{π}{2}$ ）と $c = \frac{6}{3}$ （ $x = arccos \frac{6}{3}$ ）の2つで、

N = 2

である。

$200$ 万点の全探索でも零点は $2$ 個だった。

$∣ cos x ∣$ があるので $x = \frac{π}{2}$ の前後で式が変わる。 $c = 0$ を二重に数えない。

(iii) $0 ≦ x ≦ π$ における $f (x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める

答 $M = \frac{4 2}{9}$ 、 $m = - \frac{4 6}{9}$

$c$ の3次関数として、 $[0, 1]$ と $[- 1, 0]$ で別々に調べる。

$0 ≦ c ≦ 1$ ： $h (c) = 2 c - 3 c^{3}$ とおくと

h^{'} (c) = 2 - 9 c^{2} = 0 ⟺ c = \frac{2}{3}

で、ここで最大になる。値は

h (\frac{2}{3}) = \frac{2 2}{3} - 3 \cdot \frac{2 2}{27} = \frac{6 2 - 2 2}{9} = \frac{4 2}{9}

である。端では $h (0) = 0$ 、 $h (1) = - 1$ である。

$- 1 ≦ c < 0$ ： $k (c) = 2 c - c^{3}$ とおくと

k^{'} (c) = 2 - 3 c^{2} = 0 ⟺ c = - \frac{6}{3}

（負のほう）で、 $c < - \frac{6}{3}$ では $k^{'} < 0$ 、 $- \frac{6}{3} < c < 0$ では $k^{'} > 0$ なのでここで最小になる。値は

k (- \frac{6}{3}) = - \frac{2 6}{3} + \frac{2 6}{9} = - \frac{4 6}{9}

である。端では $k (- 1) = - 1$ である。

$\frac{4 6}{9} = 1.088 \dots > 1$ なので、全体の最小は $- \frac{4 6}{9}$ 、最大は $\frac{4 2}{9}$ である。すなわち

M = \frac{4 2}{9}, m = - \frac{4 6}{9}

である。

y = f(x) のグラフ（0 ≦ x ≦ π）。x = π/2 の前後で式が変わる。零点は x = arccos(√6/3) ≒ 0.615 と x = π/2 の2つ。塗った部分の面積の合計が (v) の J。

$200$ 万点の全探索で最大 $0.6285394$ 、最小 $- 1.0886621$ となり、式の値と一致した。

(iv)不定積分 $I = \int cos^{3} x d x$ を求める

答 $I = sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}$ （積分定数は省略）

$cos^{3} x = (1 - sin^{2} x) cos x$ として $u = sin x$ と置換する。

I = \int (1 - sin^{2} x) cos x d x

で、 $u = sin x$ とおくと $d u = cos x d x$ だから

I = \int (1 - u^{2}) d u = u - \frac{u ^{3}}{3} = sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}

である。

数値微分すると $cos^{3} x$ と一致した。

(v)定積分 $J = \int_{0}^{π} ∣ f (x) ∣ d x$ を求める

答 $J = \frac{12 + 4 3}{9}$

(ii) の零点で3つに分け、それぞれの符号で絶対値を外す。原始関数は (iv) から作る。

$p = arccos \frac{6}{3}$ とおく。(ii)(iii) の符号から

$0 ≦ x < p$ ： $c > \frac{6}{3}$ なので $2 - 3 c^{2} < 0$ 、よって $f < 0$
$p < x < \frac{π}{2}$ ： $0 < c < \frac{6}{3}$ なので $f > 0$
$\frac{π}{2} < x ≦ π$ ： $c < 0$ なので $f < 0$

である。原始関数は (iv) を使って作る。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $f = 2 cos x - 3 cos^{3} x$ なので

F_{1} (x) = 2 sin x - 3 (sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}) = sin^{3} x - sin x

であり、 $\frac{π}{2} ≦ x ≦ π$ では $f = 2 cos x - cos^{3} x$ なので

F_{2} (x) = 2 sin x - (sin x - \frac{sin ^{3} x}{3}) = sin x + \frac{sin ^{3} x}{3}

である。 $cos p = \frac{6}{3}$ より $sin p = \frac{3}{3}$ 、 $sin^{3} p = \frac{3}{9}$ なので

F_{1} (p) = \frac{3}{9} - \frac{3}{3} = - \frac{2 3}{9}, F_{1} (0) = 0, F_{1} (\frac{π}{2}) = 0

F_{2} (\frac{π}{2}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}, F_{2} (π) = 0

である。したがって

J = - {F_{1} (p) - F_{1} (0)} + {F_{1} (\frac{π}{2}) - F_{1} (p)} - {F_{2} (π) - F_{2} (\frac{π}{2})}

= \frac{2 3}{9} + \frac{2 3}{9} + \frac{4}{3} = \frac{4 3}{9} + \frac{12}{9} = \frac{12 + 4 3}{9}

である（ $2.103 \dots$ ）。

$F_{1} (0) = F_{1} (\frac{π}{2}) = 0$ なので、前の2つの部分の面積はどちらも $\frac{2 3}{9}$ で等しい。

数値積分すると $2.103133692$ で、 $\frac{12 + 4 3}{9} = 2.103133692$ と一致した。

絶対値を外すときは $x = \frac{π}{2}$ でも式が変わる。零点だけでなく、場合分けの境い目でも切る。

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問題文について

(i)sinxsin2x を cosx の式で表す

(ii)0≦x≦π で f(x)=0 をみたす x の個数 N を求める

(iii)0≦x≦π における f(x) の最大値 M と最小値 m を求める

(iv)不定積分 I=∫cos3xdx を求める

(v)定積分 J=∫0π​∣f(x)∣dx を求める

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