東大理系 2026年度 数学の解答・解説

$\theta >0$ では $\theta >\sin \theta$、$\theta <0$ では $\theta <\sin \theta$ なので、$f^{\prime }$ は $\theta =0$ で最小。$f^{\prime }(0)=0$ だから $f^{\prime }(\theta )\ge 0$ で、等号は $\theta =0$ のときだけ。

よって $f$ は $[-1,1]$ で増加（狭義）。端での値が最大・最小になる。

後ろの項は $\frac{d}{dx}(-\sin (\cos x))=\cos (\cos x)\sin x$ だから

よって $I={\int }_0^{2\pi }\sin (\cos x)\cos xdx$ を評価すればよい。$\theta =\cos x$ とおくと $|\theta |\le 1$ なので、(1) の $f$ を使って

第1項の積分は

残りを評価する。$f$ は奇関数で増加だから $f(\theta )$ は $\theta$ と同じ符号をもち、$f(\cos x)\cos x\ge 0$。さらに $|f(\theta )|\le M$ なので

${\int }_0^{2\pi }|\cos x|dx=4$ だから

以上を足して $\frac{7}{8}\pi \le I\le \frac{7}{8}\pi +4M$。

$3n$ 個の点から3点を選ぶ総数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{3}\right)$。一直線上に並ぶ組を数える。

1. 縦（$x$ が同じ）… 各列に $n$ 個なので $3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$ 通り
2. それ以外 … 列が3本しかないので、縦でない直線は各列から1点ずつ。$(1,a),(2,b),(3,c)$ が一直線上 $⟺2b=a+c$

$2b=a+c$ は「$a,b,c$ がこの順に等差数列」。$a,c$ を決めれば $b=\frac{a+c}{2}$ が決まり、$1\le a,c\le n$ なら $b$ も自動的に範囲に入る。だから$a\equiv c(\mathrm{mod}2)$ をみたす $(a,c)$ の個数を数えればよい（$a=c$ のときが横一直線）。

$n=5$ なら、奇数は $1,3,5$ の3個、偶数は $2,4$ の2個なので $3^2+2^2=13$ 通り。縦は $3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=30$ 通り。合わせて $43$ 通り。

$n=2m$ では奇数・偶数がそれぞれ $m$ 個なので、$a\equiv c(\mathrm{mod}2)$ をみたす $(a,c)$ は $m^2+m^2=2m^2$ 通り。縦は

一直線上に並ぶ組は合わせて

総数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6m}{3}\right)=2m(6m-1)(3m-1)$ だから

$\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は $xy$ 平面上の $S$ 上、つまり円 $x^2+y^2=25,z=0$ 上にある。$\mathrm{M}(u,v,0)$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(2u,2v,0)$ で、重心の条件から

$\mathrm{R}$ も $S$ 上なので $|\mathrm{R}|=5$、すなわち

逆に、この円上の $\mathrm{M}$ に対して、$\mathrm{M}$ を中点とする弦 $\mathrm{PQ}$ が取れるのは $|\mathrm{OM}|<5$ のとき（$\mathrm{P}\ne \mathrm{Q}$ が要る）。この円上では

$1\le u\le 5$ より $|\mathrm{OM}{|}^2\le 25$ で、等号は $u=5$ すなわち $\mathrm{M}(5,0)$ のときだけ。そこを除く。

中点 $\mathrm{M}$ の弦は $\mathrm{OM}$ に垂直なので、$\mathrm{X}(x,y)$ がその弦上にある条件は $\overrightarrow{\mathrm{OX}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=|\mathrm{OM}{|}^2$ かつ $|\mathrm{OX}|\le 5$。

$\mathrm{M}(u,v)$ は (1) の円上なので $u=3+2\cos \phi ,v=2\sin \phi$ と書ける。$|\mathrm{OM}{|}^2=6u-5$ を使って整理すると

これをみたす $\phi$ が存在する条件は、合成して

両辺を2乗して整理すると

これと $x^2+y^2\le 25$ を合わせたものが通過範囲。双曲線 $\frac{(x-3{)}^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ の2つの分枝に挟まれた側（頂点は $(1,0)$ と $(5,0)$）を、半径 $5$ の円板で切り取った形になる。

点 $(5,0)$ は $x=5$ を代入すると $\phi$ の条件が $\mathrm{M}=(5,0)$ を要求するので、(1) で除いた分だけここでも除かれる。

接線は $y=(3s^2-k)x-2s^3$。原点（$s=0$）での傾きは $-k$ なので、$t=\tan \theta =-k$ とおく。$\mathrm{P},\mathrm{Q}$ の接線の傾きはそれぞれ $\tan \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right),\tan \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)$ でなければならない。

$\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $p$ とすると $3p^2-k=\tan \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$、つまり $3p^2=\tan \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)-t$。$p\ne 0$ が要るので、これが正であることが条件。(1) を使って

同じように $\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$ を使って

$\sqrt{3}(1+t^2)>0$ だから、2つとも正になる条件は $1-\sqrt{3}t>0$ かつ $1+\sqrt{3}t<0$、すなわち $t<-\frac{1}{\sqrt{3}}$。$t=-k$ より

3本の接線 $y=m_{i}x+c_i$ が作る三角形の面積は

$\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ の接線は $(m,c)=(-k,0),(3p^2-k,-2p^3),(3q^2-k,-2q^3)$。代入して整理すると

$p^2,q^2$ は (2) で決まった値に固定され、動けるのは符号だけ。$p_0,q_0>0$ を $|p|=p_0,|q|=q_0$ とすると、$\frac{|p-q|}{|p+q|}$ は

1. 同符号のとき … $r=\frac{|p_0-q_0|}{p_0+q_0}(<1)$
2. 異符号のとき … $\frac{1}{r}$

$p_0\ne q_0$ なので $r\ne 1$。よって $\frac{M}{m}=\frac{1}{r^2}$ で、$M=4m$ は $r=\frac{1}{2}$ と同じこと。$q_0>p_0$ として $\frac{q_0-p_0}{q_0+p_0}=\frac{1}{2}$ から $q_0=3p_0$、つまり $\frac{q_0^2}{p_0^2}=9$。

(2) の計算から（$t=-k$ を入れて）

したがって

$\frac{5\sqrt{3}}{12}>\frac{4\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ なので (2) の範囲に入っている。$p_0>q_0$ の場合は $k<0$ となり範囲外。

$\zeta =z+3$ は円 $|\zeta -3|=1$ 上を動く。原点からこの円への接線が中心方向となす角を $\beta$ とすると $\sin \beta =\frac{1}{3}$ で、$\arg \zeta$ は $[-\beta ,\beta ]$ をくまなく動く。

$w={\zeta }^3$ だから $\theta =\arg w=3\arg \zeta$ は $[-3\beta ,3\beta ]$ を動く。3倍角の公式から

$\sin \beta =\frac{1}{3}$ より $\beta <\frac{\pi }{6}$ なので $3\beta <\frac{\pi }{2}$。この範囲で $\sin$ は増加だから、$\sin \theta$ は $-\frac{23}{27}$ から $\frac{23}{27}$ までをくまなくとる。

$\zeta =z-\alpha$ は中心 $c=-\alpha$・半径 $1$ の円 $K$ を動く。6本の半直線は $60^{\circ }$ おきに並び、隣り合う2本は必ず正と負で種類が違う。だから条件は「$K$ が隣り合う2本（以上）と交わる」こと。

1. $|c|\le 1$ のとき … 原点が $K$ の内側か上にあるので、$K$ はすべての方向（または半周ぶん）を覆い、条件を満たす
2. $|c|>1$ のとき … $K$ の見込む角は中心方向 $\psi$ のまわりの $\pm \delta$（$\sin \delta =\frac{1}{|c|}$）。この幅に $60^{\circ }$ 刻みの点が2つ入ればよい

$\psi$ を $60^{\circ }$ で割った余りを $r$ とすると、2つ入る条件は $r\le \delta$ かつ $60^{\circ }-r\le \delta$、つまり $\delta \ge \max (r,60^{\circ }-r)$。$\sin \delta =\frac{1}{|c|}$ だから

$\max (r,60^{\circ }-r)$ は $30^{\circ }$ 以上 $60^{\circ }$ 以下なので、右辺は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 以上 $2$ 以下。$|c|\le 1$ の場合もこの不等式に含まれる。領域は $60^{\circ }$ ごとに同じ形がくり返す、6つの尖りをもつ形になる。

極座標で面積を出す。$0^{\circ }\le \psi \le 60^{\circ }$ での半径を $R(\psi )$ とすると

$\alpha =-c$ は原点に関する対称移動なので、$\mathrm{R}(\alpha )$ の範囲も同じ面積。

約数は $2^a{5}^b{7}^c(0\le a\le 4,0\le b\le 2,0\le c\le 1)$ で、$\mathrm{mod}3$ では

$2^k\equiv 1(k\text{ 偶})$、$2^k\equiv 2(k\text{ 奇})$。$a+b$ が偶数になる $(a,b)$ は、ともに偶数が $3\times 2=6$ 通り、ともに奇数が $2\times 1=2$ 通りで計 $8$ 通り。奇数は $15-8=7$ 通り。

$n=3^{e}m$（$m$ は $3$ と互いに素）と書くと、$3$ の倍数の約数は余りが $0$ なので数に入らない。よって $f(n)=f(m),g(n)=g(m)$ で、$m$ だけ考えればよい。

約数 $d$ に対し、$d\equiv 1$ なら $\chi (d)=1$、$d\equiv 2$ なら $\chi (d)=-1$ と定める。$\mathrm{mod}3$ の掛け算から $\chi (de)=\chi (d)\chi (e)$ なので

1. $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ … $\chi (p)=1$ なので因子は $e+1>0$
2. $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ … $\chi (p)=-1$ なので因子は $1-1+1-\cdots$ で、$e$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$

どの因子も $0$ 以上だから積も $0$ 以上。よって $f(n)\ge g(n)$。

(2) の記号で $A=f-g\ge 0$、$d=f+g$ とおくと $f=\frac{d+A}{2},g=\frac{d-A}{2}$。$g=15$ より $d-A=30$。

$A=0$ のとき。 $d=30$、$f=15$。$3$ で割って $2$ 余る素因数が奇数乗であればよく、たとえば $m=2^{29}$ で実現できる。

$A>0$ のとき。 $3$ で割って $2$ 余る素因数はすべて偶数乗なので、その部分の約数個数 $B=\prod _{p\equiv 2}(e_p+1)$ は奇数の積、すなわち奇数。一方 $A=\prod _{p\equiv 1}(e_p+1)$ で、$d=AB$。よって

$B$ は奇数だから $B-1$ は偶数。$B-1$ は $30$ の偶数の約数、すなわち $2,6,10,30$ に限られ

1. $B=3,A=15$ … $d=45,f=30$（例：$m=7^{14}\cdot 2^2$）
2. $B=7,A=5$ … $d=35,f=20$
3. $B=11,A=3$ … $d=33,f=18$
4. $B=31,A=1$ … $d=31,f=16$（例：$m=2^{30}$）

$3$ で割って $1$ 余る素数も $2$ 余る素数も無数にあるので、どの $(A,B)$ も実際に作れる。よって $f(n)$ のとりうる値は $15,16,18,20,30$。