東京大学　2026年度　前期日程　理科

第6問整数の解答・解説

約数の個数・mod 3 での分類・乗法性・偶数乗の条件当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (2800), g (2800)$ を求める

答 $f (2800) = 16, g (2800) = 14$

方針 $2800 = 2^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7$ 。 $3$ の倍数の素因数がないので、どの約数も $3$ で割って $1$ か $2$ 余る。 $mod 3$ では $2 \equiv 2, 5 \equiv 2, 7 \equiv 1$ なので、 $2$ と $5$ の指数の和の偶奇だけで決まる。

約数は $2^{a} 5^{b} 7^{c} (0 \leq a \leq 4, 0 \leq b \leq 2, 0 \leq c \leq 1)$ で、 $mod 3$ では

2^{a} 5^{b} 7^{c} \equiv 2^{a} \cdot 2^{b} \cdot 1^{c} = 2^{a + b} (mod 3)

$2^{k} \equiv 1 (k 偶)$ 、 $2^{k} \equiv 2 (k 奇)$ 。 $a + b$ が偶数になる $(a, b)$ は、ともに偶数が $3 \times 2 = 6$ 通り、ともに奇数が $2 \times 1 = 2$ 通りで計 $8$ 通り。奇数は $15 - 8 = 7$ 通り。

f (2800) = 8 \times 2 = 16, g (2800) = 7 \times 2 = 14

検算

約数は全部で $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$ 個。 $16 + 14 = 30$ で合う。

答案で省略しない方がよい点

$c$ （ $7$ の指数）は $mod 3$ の値に影響しない。 $7 \equiv 1$ だから、ただ $2$ 倍するだけ。

(2) $f (n) \geq g (n)$ を示す

答 $f (n) - g (n) = p \equiv 1 \prod (e_{p} + 1) \times p \equiv 2 \prod {10 (e_{p} 偶) (e_{p} 奇) \geq 0$

方針 $3$ で割った余りが $1$ なら $+ 1$ 、 $2$ なら $- 1$ を与える重みを考えると、積について掛け算が成り立つ。約数の和が素因数ごとの積にほどける。

$n = 3^{e} m$ （ $m$ は $3$ と互いに素）と書くと、 $3$ の倍数の約数は余りが $0$ なので数に入らない。よって $f (n) = f (m), g (n) = g (m)$ で、 $m$ だけ考えればよい。

約数 $d$ に対し、 $d \equiv 1$ なら $χ (d) = 1$ 、 $d \equiv 2$ なら $χ (d) = - 1$ と定める。 $mod 3$ の掛け算から $χ (d e) = χ (d) χ (e)$ なので

f (m) - g (m) = \sum_{d ∣ m} χ (d) = \prod_{p^{e} ∥ m} (1 + χ (p) + \dots + χ (p)^{e})

$p \equiv 1 (mod 3)$ … $χ (p) = 1$ なので因子は $e + 1 > 0$
$p \equiv 2 (mod 3)$ … $χ (p) = - 1$ なので因子は $1 - 1 + 1 - \dots$ で、 $e$ が偶数なら $1$ 、奇数なら $0$

どの因子も $0$ 以上だから積も $0$ 以上。よって $f (n) \geq g (n)$ 。

答案で省略しない方がよい点

$χ$ が掛け算を保つことが鍵。 $mod 3$ で $2 \times 2 = 4 \equiv 1$ なので、 $(- 1) \times (- 1) = 1$ と符合する。

(3) $g (n) = 15$ のとき $f (n)$ のとりうる値を求める

答 $f (n) = 15, 16, 18, 20, 30$

方針 $A = f - g$ （(2) の積）と $d = f + g$ （ $m$ の約数の個数）で書き直す。 $A$ の因子の作られ方から、 $d = A \cdot B$ （ $B$ は奇数）という形に縛られる。

(2) の記号で $A = f - g \geq 0$ 、 $d = f + g$ とおくと $f = \frac{d + A}{2}, g = \frac{d - A}{2}$ 。 $g = 15$ より $d - A = 30$ 。

$A = 0$ のとき。 $d = 30$ 、 $f = 15$ 。 $3$ で割って $2$ 余る素因数が奇数乗であればよく、たとえば $m = 2^{29}$ で実現できる。

$A > 0$ のとき。 $3$ で割って $2$ 余る素因数はすべて偶数乗なので、その部分の約数個数 $B = p \equiv 2 \prod (e_{p} + 1)$ は奇数の積、すなわち奇数。一方 $A = p \equiv 1 \prod (e_{p} + 1)$ で、 $d = A B$ 。よって

d - A = A (B - 1) = 30

$B$ は奇数だから $B - 1$ は偶数。 $B - 1$ は $30$ の偶数の約数、すなわち $2, 6, 10, 30$ に限られ

$B = 3, A = 15$ … $d = 45, f = 30$ （例： $m = 7^{14} \cdot 2^{2}$ ）
$B = 7, A = 5$ … $d = 35, f = 20$
$B = 11, A = 3$ … $d = 33, f = 18$
$B = 31, A = 1$ … $d = 31, f = 16$ （例： $m = 2^{30}$ ）

$3$ で割って $1$ 余る素数も $2$ 余る素数も無数にあるので、どの $(A, B)$ も実際に作れる。よって $f (n)$ のとりうる値は $15, 16, 18, 20, 30$ 。

検算

$m = 2^{30}$ なら約数は $2^{j} (0 \leq j \leq 30)$ で、 $j$ が偶数の $16$ 個が余り $1$ 、奇数の $15$ 個が余り $2$ 。確かに $g = 15, f = 16$ 。 $m = 7^{14} \cdot 2^{2}$ なら $f = 30, g = 15$ 。