東京大学　2026年度　前期日程　理科

第5問複素数平面の解答・解説

3乗と偏角・円を見込む角・3倍角の公式・6回対称な領域の面積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $α = - 3$ のとき $sin θ$ のとりうる値の範囲を求める

答 $- \frac{23}{27} \leq sin θ \leq \frac{23}{27}$

方針 $z + 3$ は中心 $3$ ・半径 $1$ の円を動く。原点からこの円を見込む角が偏角の振れ幅で、 $3$ 乗すると偏角はちょうど3倍になる。

$ζ = z + 3$ は円 $∣ ζ - 3∣ = 1$ 上を動く。原点からこの円への接線が中心方向となす角を $β$ とすると $sin β = \frac{1}{3}$ で、 $ar g ζ$ は $[- β, β]$ をくまなく動く。

$w = ζ^{3}$ だから $θ = ar g w = 3 ar g ζ$ は $[- 3 β, 3 β]$ を動く。3倍角の公式から

sin 3 β = 3 sin β - 4 sin^{3} β = 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{1}{27} = \frac{23}{27}

$sin β = \frac{1}{3}$ より $β < \frac{π}{6}$ なので $3 β < \frac{π}{2}$ 。この範囲で $sin$ は増加だから、 $sin θ$ は $- \frac{23}{27}$ から $\frac{23}{27}$ までをくまなくとる。

検算

$β = 0.33984 \dots$ 、 $3 β = 1.01951 \dots < \frac{π}{2} = 1.5708$ 。 $sin 3 β = 0.85185 \dots = \frac{23}{27}$ で一致する。

答案で省略しない方がよい点

$3 β$ が $\frac{π}{2}$ を超えないことを確かめる。超えると $sin$ が単調でなくなり、最大値が $1$ になってしまう。
$ar g ζ$ の範囲は「円を見込む角」。 $ζ$ の実部・虚部を計算しにいくと遠回りになる。

(2)条件をみたす $R (α)$ の動く範囲の面積を求める

答 $43$

方針 $w = ζ^{3}$ が正の実数になるのは $ar g ζ$ が $0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ のとき、負の実数になるのは $\frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$ のとき。 $6 0^{\circ}$ ごとの6本の半直線を、円 $∣ ζ + α ∣ = 1$ が2本以上またぐかどうかで決まる。

$ζ = z - α$ は中心 $c = - α$ ・半径 $1$ の円 $K$ を動く。6本の半直線は $6 0^{\circ}$ おきに並び、隣り合う2本は必ず正と負で種類が違う。だから条件は「 $K$ が隣り合う2本（以上）と交わる」こと。

$∣ c ∣ \leq 1$ のとき … 原点が $K$ の内側か上にあるので、 $K$ はすべての方向（または半周ぶん）を覆い、条件を満たす
$∣ c ∣ > 1$ のとき … $K$ の見込む角は中心方向 $ψ$ のまわりの $\pm δ$ （ $sin δ = \frac{1}{∣ c ∣}$ ）。この幅に $6 0^{\circ}$ 刻みの点が2つ入ればよい

$ψ$ を $6 0^{\circ}$ で割った余りを $r$ とすると、2つ入る条件は $r \leq δ$ かつ $6 0^{\circ} - r \leq δ$ 、つまり $δ \geq max (r, 6 0^{\circ} - r)$ 。 $sin δ = \frac{1}{∣ c ∣}$ だから

∣ c ∣ \leq \frac{1}{s i n ( m a x ( r , 6 0 ^{\circ} - r ) )}

$max (r, 6 0^{\circ} - r)$ は $3 0^{\circ}$ 以上 $6 0^{\circ}$ 以下なので、右辺は $\frac{2}{3}$ 以上 $2$ 以下。 $∣ c ∣ \leq 1$ の場合もこの不等式に含まれる。領域は $6 0^{\circ}$ ごとに同じ形がくり返す、6つの尖りをもつ形になる。

極座標で面積を出す。 $0^{\circ} \leq ψ \leq 6 0^{\circ}$ での半径を $R (ψ)$ とすると

面積 = 6 \int_{0}^{π /3} \frac{R ( ψ ) ^{2}}{2} d ψ = 6 \int_{π /6}^{π /3} \frac{d ψ}{s i n ^{2} ψ} = 6 [- cot ψ]_{π /6}^{π /3}

= 6 (3 - \frac{1}{3}) = \frac{12}{3} = 43

$α = - c$ は原点に関する対称移動なので、 $R (α)$ の範囲も同じ面積。

検算

半直線の方向（ $ψ = 0^{\circ}$ ）では半径が $\frac{2}{3} = 1.1547$ 、半直線の中間（ $ψ = 3 0^{\circ}$ ）では $2$ 。面積 $43 = 6.928 \dots$ は、半径 $1.1547$ の円（ $4.19$ ）と半径 $2$ の円（ $12.57$ ）の間に収まる。格子で数え上げても同じ値になる。

答案で省略しない方がよい点

「正の実軸と負の実軸の両方」は、6本の半直線のうち隣り合う2本と交われば満たされる。離れた2本（同じ種類）では足りない。
$∣ c ∣ \leq 1$ の場合を別に確かめる。ここは見込む角が定義できないが、原点を内部に含むので無条件で成り立つ。
積分範囲が $\frac{π}{6}$ から $\frac{π}{3}$ になるのは、 $max (r, 6 0^{\circ} - r)$ が $3 0^{\circ}$ から $6 0^{\circ}$ を動くから。対称性で2つの区間が同じ積分にまとまる。