東京大学　2026年度　前期日程　理科

第2問確率・場合の数の解答・解説

余事象・一直線上に並ぶ3点・等差数列・偶奇で数える当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $p_{5}$ を求める

答 $p_{5} = \frac{412}{455}$

方針三角形にならない＝一直線上に並ぶ。余事象で数える。列が3本しかないので、縦・横・斜めの3通りしか起こらず、斜めは「等差数列」になる場合だけ。

$3 n$ 個の点から3点を選ぶ総数は $(3 3 n)$ 。一直線上に並ぶ組を数える。

縦（ $x$ が同じ）… 各列に $n$ 個なので $3 (3 n)$ 通り
それ以外 … 列が3本しかないので、縦でない直線は各列から1点ずつ。 $(1, a), (2, b), (3, c)$ が一直線上 $⟺ 2 b = a + c$

$2 b = a + c$ は「 $a, b, c$ がこの順に等差数列」。 $a, c$ を決めれば $b = \frac{a + c}{2}$ が決まり、 $1 \leq a, c \leq n$ なら $b$ も自動的に範囲に入る。だから $a \equiv c (mod 2)$ をみたす $(a, c)$ の個数を数えればよい（ $a = c$ のときが横一直線）。

$n = 5$ なら、奇数は $1, 3, 5$ の3個、偶数は $2, 4$ の2個なので $3^{2} + 2^{2} = 13$ 通り。縦は $3 (3 5) = 30$ 通り。合わせて $43$ 通り。

p_{5} = 1 - \frac{43}{( 3 15 )} = 1 - \frac{43}{455} = \frac{412}{455}

答案で省略しない方がよい点

横一直線（ $a = b = c$ ）は「各列から1点ずつ」に含まれている。縦と別に足すと二重に数える。
列が3本しかないことが効いている。縦でない直線には、1つの列から2点以上は乗らない。

(2) $m \geq 2$ のとき $p_{2 m}$ を求める

答 $p_{2 m} = \frac{m ( 16 m - 7 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )}$

方針(1) と数え方は同じ。 $n = 2 m$ は偶数なので、 $1$ から $n$ までに奇数も偶数もちょうど $m$ 個ずつあり、 $a \equiv c$ の個数が $m^{2} + m^{2}$ ときれいに出る。

$n = 2 m$ では奇数・偶数がそれぞれ $m$ 個なので、 $a \equiv c (mod 2)$ をみたす $(a, c)$ は $m^{2} + m^{2} = 2 m^{2}$ 通り。縦は

3 (3 2 m) = \frac{( 2 m ) ( 2 m - 1 ) ( 2 m - 2 )}{2} = 2 m (2 m - 1) (m - 1)

一直線上に並ぶ組は合わせて

2 m (2 m - 1) (m - 1) + 2 m^{2} = 2 m {(2 m - 1) (m - 1) + m} = 2 m (2 m^{2} - 2 m + 1)

総数は $(3 6 m) = 2 m (6 m - 1) (3 m - 1)$ だから

p_{2 m} = 1 - \frac{2 m ^{2} - 2 m + 1}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )} = \frac{18 m ^{2} - 9 m + 1 - ( 2 m ^{2} - 2 m + 1 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )} = \frac{m ( 16 m - 7 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )}

検算

$m = 2$ （ $n = 4$ ）とすると $\frac{2 \cdot 25}{11 \cdot 5} = \frac{10}{11}$ 。実際、 $12$ 点から3点を選ぶ $220$ 通りのうち、縦 $3 (3 4) = 12$ 通り、 $a \equiv c$ が $2 \cdot 2^{2} = 8$ 通りで、 $1 - \frac{20}{220} = \frac{10}{11}$ と合う。

答案で省略しない方がよい点

$(3 6 m)$ を展開するとき $\frac{6 m ( 6 m - 1 ) ( 6 m - 2 )}{6} = 2 m (6 m - 1) (3 m - 1)$ 。 $6 m - 2 = 2 (3 m - 1)$ を使うと約分が通る。
$n$ が奇数のときは奇数・偶数の個数が $1$ 個ずれるので、 $(2)$ の式はそのままでは使えない。 $(1)$ で $n = 5$ を別に数えたのはこのため。